Giải bài tập SBT Toán 10 Bài 1: Mệnh đề

Trong các câu sau, câu nào là một mệnh đề, câu nào là một mệnh đề chứa biến?

a) 1 + 1 = 3

b) 4 + x < 3

c) \({3 \over 2}\) có phải là một số nguyên không?

d) \(\sqrt 5\) là một số vô tỉ.

Phương pháp giải

Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai, Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

Với mỗi giá trị của biến thuộc một tập hợp nào đó, mệnh đề chứa biến trở thành một mệnh đề.

Hướng dẫn giải

a) Là một mệnh đề

b) Là một mệnh đề chứa biến

c) Không là mệnh đề, không là mệnh đề chứa biến

d) Là một mệnh đề.

Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau và phát biểu phủ định của nó.

a) \(\sqrt 3 + \sqrt 2 = {1 \over {\sqrt 3 - \sqrt 2 }}\)

b) \({(\sqrt 2 - \sqrt {18} )^2} > 8\)

c) \({(\sqrt 3 + \sqrt {12} )^2}\) là một số hữu tỉ

d) x =2 là một nghiệm của phương trình \({{{x^2} - 4} \over {x - 2}} = 0\)

Phương pháp giải

Phủ định \(\overline P\) của mệnh đề P là đúng khi P sai và là sai khi P đúng.

Hướng dẫn giải

a) Mệnh đề đúng. Phủ định là “\(\sqrt 3 + \sqrt 2 \ne {1 \over {\sqrt 3 - \sqrt 2 }}\)”, mệnh đề này sai.

b) Mệnh đề sai, vì \({(\sqrt 2 - \sqrt {18} )^2} = 8\)

Phủ định là “\({(\sqrt 2 - \sqrt {18} )^2} \le 8\)”, mệnh đề này đúng.

c) Mệnh đề đúng, vì \({(\sqrt 2 - \sqrt {18} )^2}\) là một số vô tỉ”, mệnh đề này sai.

d) Mệnh đề sai.

Phủ định là “x = 2 không là nghiệm của phương trình \({{{x^2} - 4} \over {x - 2}} = 0\)”, mệnh đề này đúng.

Tìm hai giá trị thực của x để từ mỗi câu sau ta được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.

a) x <  - x

b) \(x < {1 \over x}\)

c) x = 7x

d) \({x^2} \le 0\)

Phương pháp giải

Với mỗi giá trị của x thuộc tập số thực ta được một mệnh đề.

Hướng dẫn giải

a) Với x = -1 ta được mệnh đề -1 < 1 (đúng)

Với x = 1 ta được mệnh đề 1 < -1 (sai)

b) Với \(x = {1 \over 2}\) ta được mệnh đề \({1 \over 2} < 2\) (đúng)

Với x = 2 ta được mệnh đề \(2 < {1 \over 2}\) (sai)

c) x = 0, x = 1

d) x = 0, x = 1

Phát biểu phủ định của các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng.

a)P: “15 không chia hết cho 3”

b)Q: "\(\sqrt 2 > 1\)" 

Phương pháp giải

Phủ định \(\overline P\) của mệnh đề P là đúng khi P sai và là sai khi P đúng.

Hướng dẫn giải

a) \(\overline P\) là mệnh đề “15 chia hết cho 3”; P sai,  \(\overline P\) đúng.

b) \(\overline Q\) là mệnh đề "\(\sqrt 2 \le 1\)". Q đúng, \(\overline Q\) sai.

Lập mệnh đề P ⇒ Q và xét tính đúng sai của nó, với

a)P: “2 < 3”,                Q: “-4 < -6”;

b)P: “4 = 1”,                Q: “3 = 0”;

Phương pháp giải

Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) sai khi P đúng và Q sai (trong mọi trường hợp khác \(P \Rightarrow Q\) đều đúng)

Hướng dẫn giải

a) “Nếu 2 < 3 thì -4 < -6”. Mệnh đề sai.

b) “Nếu 4 = 1 thì 3 = 0”. Mệnh đề đúng.

Cho a là số tự nhiên, xét các mệnh đề P :“a có tận cùng là 0”, Q: “a chia hết cho 5”.

a) Phát biểu mệnh đề P => Q và mệnh đề đảo của nó;

b) Xét tính đúng sai của cả hai mệnh đề trên.

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức số học đã biết để nhận biết tính đúng, sai của các mệnh đề.

Lấy phản ví dụ cho mệnh đề sai.

Mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) là \(Q \Rightarrow P\)

Hướng dẫn giải

a) (P =>Q): “Nếu a có tận cùng bằng 0 thì a chia hết cho 5”. Mệnh đề đảo (Q=>P): “Nếu a chia hết cho 5 thì a có tận cùng bằng 0”.

b) (P=>Q) đúng, (Q=>P) sai.

Với mỗi số thực x, xét các mệnh đề P: “\({x^2} = 1\)”, Q: “x = 1”

a)Phát biểu mệnh đề P => Q và mệnh đề đảo của nó;

b)Xét tính đúng sai của mệnh đề Q => P;

c)Chỉ ra một giá trị của x mà mệnh đề P => Q sai.

Phương pháp giải

Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) sai khi P đúng và Q sai (trong mọi trường hợp khác \(P \Rightarrow Q\) đều đúng)

Mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) là \(Q \Rightarrow P\)

Với mỗi giá trị của x thuộc tập số thực ta được một mệnh đề.

Hướng dẫn giải

a )(P=>Q): "Nếu \({x^2} = 1\) thì x =1”. Mệnh đề đảo là: “Nếu x = 1 thì \({x^2} = 1\)”.

b) Mệnh đề đảo “Nếu x = 1 thì  \({x^2} = 1\)” là đúng.

c)Với x = -1 thì mệnh đề (P=>Q) sai.

Cho tam giác ABC. Xét các mệnh đề P: “AB = AC”, Q: “Tam giác ABC cân”.

a)Phát biểu mệnh đề P => Q và mệnh đề đảo của nó;

b)Xét tính đúng, sai của cả hai mệnh đề trên.

Phương pháp giải

Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) sai khi P đúng và Q sai (trong mọi trường hợp khác \(P \Rightarrow Q\) đều đúng)

Mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) là \(Q \Rightarrow P\)

Hướng dẫn giải

a) (P =>Q): “Nếu AB = AC thì tam giác ABC cân”.

Mệnh đề đảo (Q =>P): “Nếu tam giác ABC cân thì AB = AC”.

b)(P=>Q) đúng, (Q=>P) sai

Cho đa thức f(x) = ax² + bx + c. Xét mệnh đề "Nếu a + b + c = 0 thì f(x) có một nghiệm bằng 1". Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề đảo của mệnh đề trên. Nêu một điều kiện cần và đủ f(x) có một nghiệm bằng 1

Phương pháp giải

Mệnh đề đảo của mệnh đề P => Q là Q => P

P là điều kiện đủ để có Q , hoặc Q là điều kiện cần để có P

Hướng dẫn giải

Mệnh đề đảo là “Nếu f(x) có một nghiệm bằng 1 thì a + b + c = 0”.

“Điều kiện cần và đủ f(x) = ax² + bx + c có một nghiệm bằng 1 là a + b + c = 0”.

Dùng kí hiệu ∀ hoặc ∃ để viết các mệnh đề sau

a) Có một số nguyên bằng bình phương của nó

b) Mọi số (thực) cộng với 0 đều bằng chính nó

c) Có một số hữu tỉ nhỏ hơn nghịch đảo của nó

d) Mọi số tự nhiên đều lớn hơn 0.

Phương pháp giải

Kí hiệu ∀ đọc là với mọi. Kí hiệu ∃ đọc là tồn tại ít nhất một.

Hướng dẫn giải

a) ∃ a ∈ Z: a = a²

b) ∀ x ∈ R: x + 0 = x

c) ∃ x ∈ Q: x < \(\frac{1}{x}\)

d) ∀ n ∈ N: n > 0

Phát biểu thành lời các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng.

a) \(\forall x \in R:{x^2} \le 0\)

b) \(\exists x \in R:{x^2} \le 0\)

c) \(\forall x \in R:{{{x^2} - 1} \over {x - 1}} = x + 1\)

d) \(\exists x \in R:{{{x^2} - 1} \over {x - 1}} = x + 1\)

e) \(\forall x \in R:{x^2} + x + 1 > 0\)

g) \(\exists x \in R:{x^2} + x + 1 > 0\)

Phương pháp giải

Kí hiệu ∀ đọc là với mọi. Kí hiệu ∃ đọc là tồn tại ít nhất một.

Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai, Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

Hướng dẫn giải

a) Bình phương của mọi số thực đều nhỏ hơn hoặc bằng 0 (mệnh đề sai).

b) Có một số thực mà bình phương của nó nhỏ hơn hoặc bằng 0 (mệnh đề đúng).

c) Với mọi số thực x, \({{{x^2} - 1} \over {x - 1}} = x + 1\) (mệnh đề sai)

d) Có một số thực x, mà \({{{x^2} - 1} \over {x - 1}} = x + 1\) (mệnh đề đúng)

e) Với mọi số thực x, \({x^2} + x + 1 > 0\) (mệnh đề đúng)

g) Có một số thực x, mà \({x^2} + x + 1 > 0\) (mệnh đề đúng)

Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó.

a) ∀ x ∈ R: x.1 = x

b) ∀ x ∈ R: x.x = 1

c) ∀ n ∈ Z: n ≤ n²

Phương pháp giải

Phủ định \(\overline P\) của mệnh đề P là đúng khi P sai và là sai khi P đúng.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(\forall x \in X,P\left( x \right)\) là \(\exists x \in X,\overline {P\left( x \right)}\)

Hướng dẫn giải

a) ∀ x ∈ R: x.1 = x. Mệnh đề sai

b) ∀ x ∈ R: x.x = 1. Mệnh đề đúng

c) ∀ n ∈ Z: n ≤ n². Mệnh đề đúng

Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó.

a) Mọi hình vuông đều là hình thoi

b) Có một tam giác cân không phải là tam giác đều

Phương pháp giải

Phủ định \(\overline P\) của mệnh đề P là đúng khi P sai và là sai khi P đúng.

Hướng dẫn giải

 a) Có ít nhất một hình vuông không phải là hình thoi. Mệnh đề sai.

b) Mọi tam giác cân là tam giác đều. Mệnh đề sai.

Với giá trị nào của x thì mệnh đề chứa biến “\(141{x^2} - 87x - 54 = 0\)” trở thành một mệnh đề đúng?

A. x = 3                  B. x =  - 1

C. \(x = \dfrac{{ - 18}}{{47}}\)           D. \(x = \dfrac{{18}}{{47}}\)

Phương pháp giải

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) với điều kiện a + b + c = 0 có nghiệm là x = 1 và \(x = \dfrac{c}{a}\)

Hướng dẫn giải

Ta có: 141 - 87 - 54 = 0

Suy ra phương trình \(141{x^2} - 87x - 54 = 0\) có nghiệm là x = 1 và \(x = \dfrac{{ - 54}}{{141}} = \dfrac{{ - 18}}{{47}}\)

Trong 4 đáp án ta thấy chỉ có đáp án C thỏa mãn.

Đáp án đúng C

Cho tam giác ABC và các mệnh đề

P: ABC là một tam giác cân

Q: ABC là một tam giác đều

Mệnh đề nào là đúng trong các mệnh đề sau?

A. \(P \Rightarrow Q\)             B. \(P \Rightarrow \overline Q\)

C. \(Q \Rightarrow P\)             D. \(\overline Q \Rightarrow P\)

Phương pháp giải

Phát biểu các mệnh đề ở mỗi đáp án và nhận xét tính đúng sai dựa vào kiến thức hình học.

Hướng dẫn giải

Xét đáp án A: "Nếu tam giác ABC cân thì nó đều". Mệnh đề này sai, chẳng hạn các tam giác cân mà có độ dài cạnh bên khác cạnh đáy thì không đều.

Xét đáp án B: "Nếu tam giác ABC cân thì nó không đều". Mệnh đề này sai, chẳng hạn các tam giác cân mà có độ dài cạnh bên bằng cạnh đáy thì nó đều.

Xét đáp án C: "Nếu tam giác ABC đều thì nó cân". Mệnh đề này đúng.

Đáp án đúng: C

Cho tứ giác ABCD và các mệnh đề

P: Tứ giác ABCD là một hình vuông

Q: Tứ giác ABCD là một hình chữ nhật

Mệnh đề nào là đúng trong các mệnh đề sau?

A. \(Q \Rightarrow P\)                 B. \(P \Rightarrow \overline Q\)

C. \(\overline P \Rightarrow Q\)                 D. \(\overline Q \Rightarrow \overline P\)

Phương pháp giải

Phát biểu và xét tính đúng sai của từng mệnh đề ở mỗi đáp án và kết luận.

Hướng dẫn giải

Đáp án A: "Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì nó là hình vuông". Mệnh đề này sai.

Đáp án B: "Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì nó không là hình chữ nhật". Mệnh đề này sai vì một hình vuông chắc chắn là hình chữ nhật.

Đáp án C: Nếu tứ giác ABCD không là hình vuông thì nó là hình chữ nhật". Mệnh đề này sai vì nếu tứ giác không là hình vuông thì có thể là tứ giác thường, hình thang,...

Đáp án D: đúng vì một hình không là hình chữ nhật thì chắc chắn nó không là hình vuông.

Đáp án đúng: D

Cho số thực a và các mệnh đề

P: a là một số hữu tỉ

Q: a là một số vô tỉ

Mệnh đề nào là đúng trong các mệnh đề sau?

A. \(P \Rightarrow Q\)                     B. \(Q \Rightarrow P\)

C. \(\overline P \Rightarrow Q\)                    D. \(\overline P = \overline Q\)

Phương pháp giải

Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) sai khi P đúng và Q sai (trong mọi trường hợp khác \(P \Rightarrow Q\) đều đúng)

Hướng dẫn giải

Mỗi số thực hoặc là một số hữu tỉ hoặc là một số vô tỉ, suy ra một số là số hữu tỉ thì không thể là số vô tỉ và một số không là số hữu tỉ thì chắc chắn nó là số vô tỉ, suy ra đáp án A, B, D sai.

Đáp án đúng: C

Cho hai số thực a, b và các mệnh đề

P: \(a \ge b\)

Q: a > b

Mệnh đề nào là đúng trong các mệnh đề sau?

A. \(P \Rightarrow Q\)                   B. \(Q \Rightarrow P\)

C. \(\overline P = Q\)                   D. \(\overline Q \Rightarrow \overline P \)

Phương pháp giải

- Tìm các mệnh đề chứa biến \(\overline P ,\overline Q\)

- Xét tính đúng sai của mỗi đáp án bằng cách sử dụng kiến thức đại số.

Hướng dẫn giải

Đáp án A: “Nếu \(a \ge b\) thì a > b”. Mệnh đề này sai, chẳng hạn a = b

Đáp án B: “Nếu a > b thì \(a \ge b\)”. Mệnh đề này đúng.

Đáp án C: \(\overline P :a < b\), Q: a > b nên \(\overline P \ne Q\). Do đó C sai.

Đáp án D: “Nếu \(a \le b\) thì a < b”. Mệnh đề này sai, chẳng hạn a = b

Chọn B