Giải bài tập SBT Toán 10 Bài 1: Các định nghĩa

Hãy tính số các vec tơ (khác $\overrightarrow 0$) mà các điểm đầu và điểm cuối được lấy từ các điểm phân biệt đã cho trong các trường hợp sau:

a) Hai điểm 

b) Ba điểm

c) Bốn điểm

Phương pháp giải

Liệt kê các véc tơ có thể có được từ các điểm đã cho và kết luận.

Hướng dẫn giải

a) Với hai điểm A, B có hai vec tơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BA}$

b) Với ba điểm A, B, C có 6 vec tơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CB}$

c) Với bốn điểm A, B, C, D có 12 véc tơ là:

$\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {DA} ,\overrightarrow {DB} ,\overrightarrow {DC}$

Cho hình vuông ABCD có tâm O. Liệt kê tất cả các vec tơ bằng nhau (khác $\overrightarrow 0$) nhận đỉnh và tâm của hình vuông làm điểm đầu và điểm cuối.

Phương pháp giải

Hai véc tơ bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và độ lớn.

Hướng dẫn giải

Ta thấy:

$\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {CB} = \overrightarrow {DA}$

$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CD}$

$\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {DO} ,\overrightarrow {BO} = \overrightarrow {OD}$

$\overrightarrow {AO} = \overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {CO} = \overrightarrow {OA}$

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD và DA. Chứng minh $\overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MQ}$ và $\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {NM}$

Phương pháp giải

Chứng minh MNPQ là hình bình hành, từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Hướng dẫn giải

Ta thấy, MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN//AC và $MN = \dfrac{1}{2}AC$

$PQ$ là đường trung bình của tam giác ADC nên PQ//AC và $PQ = \dfrac{1}{2}AC$

Do đó NM//PQ và MN = PQ

Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành nên $\overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MQ} ,\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {NM}$

Cho tam giác ABC. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. So sánh độ dài của hai vec tơ $\overrightarrow {NM}$ và $\overrightarrow {BC}$. Vì sao có thể nói hai vec tơ này cùng phương?

Phương pháp giải

Nhận xét các đoạn thẳng MN,BC dựa vào kiến thức đã biết, từ đó suy ra kết luận.

Hướng dẫn giải

Vì MN là đường trung bình của $\Delta ABC$ nên MN//BC và $MN = \dfrac{1}{2}BC$, hay $\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \dfrac{1}{2}\left| {\overrightarrow {BC} } \right|$

Vì MN//BC nên $\overrightarrow {NM}$ và $\overrightarrow {BC}$ cùng phương.

Cho tứ giác ABCD, chứng minh rằng $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$ thì $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}$

Phương pháp giải

Nhận xét tính chất của tứ giác ABCD và từ đó suy ra kết luận.

Hướng dẫn giải

Tứ giác ABCD có $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$ nên AB = DC và AB//DC. Do đó ABCD là hình bình hành, suy ra $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}$

Xác định vị trí tương đối của ba điểm phân biệt A,B và C. Trong các trường hợp sau:

a) $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ cùng hướng, $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| > \left| {\overrightarrow {AC} } \right|$

b) $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ ngược hướng;

c) $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ cùng phương.

Phương pháp giải

Dựng hình và nhận xét.

Hướng dẫn giải

a) Nếu $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ cùng hướng, $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| > \left| {\overrightarrow {AC} } \right|$ thì điểm C nằm giữa hai điểm A và B.

b) Nếu $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ ngược hướng thì điểm A nằm giữa hai điểm B và C.

c) Nếu $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

Trường hợp $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ cùng hướng:

-Nếu $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| > \left| {\overrightarrow {AC} } \right|$ thì C nằm giữa A và B.

-Nếu $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| < \left| {\overrightarrow {AC} } \right|$ thì B nằm giữa A và C.

Trường hợp $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ ngược hướng thì A nằm giữa B và C.

Cho hình bình hành ABCD. Dựng $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {BA} , \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {DA}$, $\overrightarrow {NP} = \overrightarrow {DC}$,  $\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {BC}$.

Chứng minh $\overrightarrow {AQ} = \overrightarrow 0$

Phương pháp giải

Dựng hình và chứng minh như sau:

- Chứng minh tứ giác AMNP là hình bình hành. (1)

- Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành (2).

- Từ (1) và (2) suy ra A = Q hay $\overrightarrow {AQ} = \overrightarrow 0$

Hướng dẫn giải