Giải bài tập SBT Toán 10 Bài 2: Tập hợp

Kí hiệu T là tập hợp các học sinh của trường, 10A là tập hợp các học sinh lớp 10A của trường. Biết rằng An là một học sinh của lớp 10A. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề đúng?

a) An ∈ T

b) An ⊂ 10A

c) An ∈ 10A

d) 10A ∈ T

e) 10A ⊂ T

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về tập hợp và tập hợp con đã học.

- Tập hợp là một khái niệm cơ bản (không định nghĩa) của toán học.

+ Một tập hợp có thể được cho bằng cách liệt kê các phần tử của nó hoặc được cho bằng cách nêu tính chất đặc trưng của các phần tử của nó.

+ Một tập hợp không có phần tử nào được gọi là tập hợp rỗng, kí hiệu Ø

- Ta gọi A là tập hợp con của B, kí hiệu A ⊂ B ⇔ x ∈ A => x ∈ B\)

Hướng dẫn giải

a) Đúng vì An là một học sinh của trường.

b) Sai vì An không phải là tập hợp con cùa tập hợp T mà chỉ là một phần tử của tập hợp T.

c)  Đúng vì An là một học sinh của lớp 10A

d) Sai vì 10A là một tập hợp con của tập hợp T.

e) Đúng vì 10A là tập hợp con của T.

Tìm một tích chất đặc trưng cho các phần tử của  mỗi tập hợp sau:

a) \(A = {\rm{\{ }}\dfrac{1}{2}{\rm{,}}\dfrac{1}{6}{\rm{,}}\dfrac{1}{{12}},\dfrac{1}{{20}},\dfrac{1}{{30}}{\rm{\} }}\)

b) \(A = {\rm{\{ }}\dfrac{2}{3}{\rm{,}}\dfrac{3}{8}{\rm{,}}\dfrac{4}{{15}},\dfrac{5}{{24}},\dfrac{6}{{35}}{\rm{\} }}{\rm{}}\)

Phương pháp giải

Dự đoán dựa vào kiến thức số học và sử dụng kiến thức về cách xác định tập hợp.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 2 = 1.2; 6 = 2.3; 12 = 3.4; 20 = 4.5; 30 = 5.6 

Suy ra số hạng tổng quát của dãy là \(\dfrac{1}{n(n+1)}\) với \(1 \le n \le 5\)

Vậy \(A = {\rm{\{ }}\dfrac{1}{{n(n + 1)}}{\rm{|n}} \in N,1 \le n \le 5{\rm{\} }}\)

b) Ta có: \(3=2^2-1; 8=3^2-1; 15=4^2-1; 24=5^2-1; 35=6^2-1\)

Suy ra số hạng tổng quát của dãy là \(\dfrac{n}{{{n^2} - 1}}\) với  \(2 \le n \le 6\)

Vậy \(A = {\rm{\{ }}\dfrac{n}{{{n^2} - 1}}{\rm{|n}} \in N,2 \le n \le 6{\rm{\} }}\)

Liệt kê các phần tử của tập hợp

a) \(A = {\rm{\{ }}3k - 1\backslash k \in Z, - 5 \le k \le 3{\rm{\} }}\)

b) \(A = {\rm{\{ }}x \in Z||x| < 10{\rm{\} }}\)

c) \(C = {\rm{\{ x}} \in Z,3 < |x| \le \dfrac{{19}}{2}{\rm{\} }}\)

Phương pháp giải

Dự đoán dựa vào kiến thức đại số và sử dụng kiến thức về cách xác định tập hợp.

Hướng dẫn giải

a) A = {-16, -13, -10, -7, -4, -1, 2, 5, 8}

b) B = {-9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

c) C = {-9, -8, -7, -6, -5, -4, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

1. Tìm tất cả các tập hợp con của các tập hợp sau:

a) A = {a}

b) B = {a, b}

c) ∅

2. Tập hợp A có bao nhiêu tập hợp con, nếu

a) A có 1 phần tử?

b) A có 2 phần tử?

c) A có 3 phần tử?

Phương pháp giải

1. Liệt kê các tập con của A và kết luận.

2. Lấy ví dụ minh họa một tập hợp thỏa mãn tính chất bài toán và liệt kê, đếm số tập con.

Hướng dẫn giải

1. 

a) A có hai tập hợp con là \(\emptyset \) và A.

b) \(B = {\rm{\{ }}a,b\}\). Các tập hợp con của B là \(\emptyset ,\left\{ a \right\},\left\{ b \right\},B\)

c) \(\emptyset \) có duy nhất một tập hợp con là chính nó.

2. 

a) Giả sử A={a} thì A có hai tập hợp con là \(\emptyset \) và {a}.

b) Giả sử  tập hợp \(A = \left\{ {a,b} \right\}\). Theo cách làm câu a) ta có A có 4 tập con;

c) Giả sử tập hợp \(A = \left\{ {a,b,c} \right\}\)

Suy ra các tập hợp con của A là:\(\emptyset ,\left\{ a \right\},\left\{ b \right\},\left\{ c \right\},\left\{ {a,b} \right\},\left\{ {a,c} \right\},\left\{ {b,c} \right\},A\)

Vậy A có 8 tập con.

Chú ý: Số tập con của một tập hợp gồm n phần tử là \(2^n\)

Cho hai tập hợp

\(A = {\rm{\{ }}3k + 1|k \in Z{\rm{\} }}, B = {\rm{\{ }}6m + 4|m \in Z{\rm{\} }}\)

Chứng tỏ rằng \(B \subset A\)

Phương pháp giải

\(B \subset A \Leftrightarrow \left( {\forall x:x \in B \Rightarrow x \in A} \right)\)

Hướng dẫn giải

Giả sử \(x \in B,x = 6m + 4,m \in Z\). Khi đó ta có thể viết x = 3(2m + 1) + 1

Đặt k = 2m + 1 thì \(k \in Z\) và ta có x = 3k + 1, suy ra \(x \in A\)

Như vậy \(x \in B = > x \in A\)

Hay \(B \subset A\)