Giải bài tập SBT Toán 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vec tơ

Cho năm điểm A, B, C, D và E. Hãy xác định tổng $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE}$

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc ba điểm $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE}$$= \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE}$ $= \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AE}$

Cho bốn điểm A, B, C và D. Chứng minh $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD}$

Phương pháp giải

Chuyển vế và sử dụng quy tắc ba điểm $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD}$$\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD}\,\, (luôn \,\,đúng)$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Cho hai vec tơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ sao cho $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow 0$

a) Dựng $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b$. Chứng minh O là trung điểm của AB.

b) Dựng $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b$. Chứng minh $O \equiv B$

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc ba điểm $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$

Hướng dẫn giải

a) $\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {OB} = - \overrightarrow {OA} \Rightarrow OB = OA$

Do đó ba điểm A, O, B thẳng hàng và điểm O ở giữa A và B.

Suy ra O là trung điểm của AB.

b)

$\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0 \Rightarrow B \equiv O$

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0$

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất trọng tâm: $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$

Hướng dẫn giải

Trong tam giác đều ABC, tâm O của đường tròn ngoại tiếp cũng là trọng tâm của tam giác.

Vậy $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0$

Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng

$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0$

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất trung điểm $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0$

Hướng dẫn giải

ABCD là hình bình hành nên:

+) O là trung điểm AC $\Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0$

+) O là trung điểm BD $\Rightarrow \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0$

Khi đó,

$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD}$$= \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} } \right)$ $= \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0$

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F sao cho AE = EF= FC; BE cắt AM tại N. Chứng minh $\overrightarrow {NA}$ và $\overrightarrow {NM}$ là hai vec tơ đối nhau.

Phương pháp giải

Chứng minh EN là đường trung bình của tam giác AFM

Từ đó suy ra N là trung điểm của AM 

Vậy ta chứng minh được $\overrightarrow {NA}$ và $\overrightarrow {NM}$ là hai vec tơ đối nhau.

Hướng dẫn giải

FM // BE vì FM là đường trung bình của tam giác CEB.

Ta có EA = EF. Vậy EN là đường trung bình của tam giác AFM

Do đó N là trung điểm của AM và $\overrightarrow {NA} = - \overrightarrow {NM}$

Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm M thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a) $\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA}$

b) $\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB}$

c) $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0$

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức tính hiệu hai véc tơ $\overrightarrow{a}- \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{b})$

- Sử dụng tính chất trung điểm $\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0$

Hướng dẫn giải

a) $\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA} \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BA}$

Vậy mọi điểm M đều thỏa mãn bài toán.

b) $\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {AB} \Leftrightarrow A \equiv B,$ vô lí.

Vậy không có điểm M nào thỏa mãn bài toán.

c) $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} = - \overrightarrow {MB}$

Vậy M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu $\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} } \right|$ thì tam giác ABC là tam giác vuông tại C.

Phương pháp giải

- Dựng hình bình hành CADB.

- Sử dụng quy tắc hình bình hành quy tắc trừ véc tơ để nhận xét độ dài các véc tơ.

Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$

Công thức tính hiệu hai véc tơ  $\overrightarrow{a}- \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{b})$

Hướng dẫn giải

Vẽ hình bình hành CADB. Ta có $\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CD}$, do đó $\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| = CD$

Vì $\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {BA}, \,\,Do \,\,đó \,\, \left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} } \right| = BA$

Từ $\left| {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} } \right|$ suy ra CD = AB

Vậy tứ giác CADB là hình chữ nhật. Ta có tam giác ABC vuông tại C.

Cho ngũ giác ABCDE. Chứng minh $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {DE}$

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc ba điểm $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$  và  $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB}$

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {DE}$$\Leftrightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {ED}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AD}$

Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Với điều kiện nào thì vec tơ $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB}$ nằm trên đường phân giác của góc $\widehat {AOB}$?

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC}$ trong đó OACB là hình bình hành.

OC là phân giác góc $\widehat {AOB}$ khi và chỉ khi OACB là hình thoi, tức là OA = OB

Cho hai lực $\overrightarrow {{F_1}}$ và $\overrightarrow {{F_2}}$ có điểm đặt O và tạo với nhau góc ${60^0}$. Tìm cường độ tổng hợp lực của hai lực ấy biết rằng cường độ của hai lực $\overrightarrow {{F_1}}$ và $\overrightarrow {{F_2}}$ đều là 100N.

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$

Hướng dẫn giải

Cố định điểm O, dựng véc tơ $\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {{F_2}}$

Dựng hình bình hành OBAC ta có:

$\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA}$ $\Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = OA$

Xét hình bình hành OBAC có OB = OC = 100 nên là hình thoi.

$\Rightarrow OA \bot BC$ tại H.

Mà $\widehat {BOC} = {60^0}$ nên tam giác BOC đều.

Do đó BC=100 và $BH = \frac{1}{2}BC = 50$

Theo pitago $OH = \sqrt {O{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{{100}^2} - {{50}^2}} = 50\sqrt 3$

Vậy cường độ của hợp lực là $OA = 2OH = 100\sqrt 3 N$

Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là một điểm bất kì trên đường chéo AC. Qua O kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành. Các đường thẳng này cắt AB và DC lần lượt tại M và N, cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD}$

b) $\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {FN}$

Phương pháp giải

a) Chuyển vế và thực hiện phép trừ các véc tơ.

b) Sử dụng quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$

Hướng dẫn giải

a) 

$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} ; \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD}$

Vì $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$ nên ta có $\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD}$

Vậy $\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC}$

b) Tứ giác AMOE là hình bình hành nên ta có $\overrightarrow {ME} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MO}$  (1)

Tứ giác OFCN là hình bình hành nên ta có $\overrightarrow {FN} = \overrightarrow {FO} + \overrightarrow {FC}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow {ME} + \overrightarrow {FN}$

$= \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {FO} + \overrightarrow {FC}$

$=(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {FO} ) + (\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {FC})$

$\begin{array}{l} = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {BM} } \right) + \left( {\overrightarrow {BF} + \overrightarrow {FC} } \right)\\ = \left( {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {BF} + \overrightarrow {FC} } \right) \end{array}$

(Vì $\overrightarrow {FO} = \overrightarrow {BM} ,\overrightarrow {MO} = \overrightarrow {BF}$)

$= \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BD}$

Vậy $\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {FN}$