Giải bài tập SBT Toán 10 Bài 3: Hàm số bậc hai

Xác định trục đối xứng, tọa độ đỉnh, giao điểm với trục tung và trục hoành của parabol.

a) \(y = 2{x^2} - x - 2\)

b)  \(y = - 2{x^2} - x + 2\)

Phương pháp giải

Đồ thị của hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\) là một parabol có đỉnh là điểm \(I\left( { - \dfrac{b}{{2a}};\dfrac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)\), có trục đối xứng là \(x = - \dfrac{b}{{2a}}\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có a = 2; b =  - 1; c =  - 2.Ta có \(\Delta = {( - 1)^2} - 4.2.( - 2) = 17\)

Trục đối xứng là đường thẳng \(x = \dfrac{1}{4} \,\, đỉnh \,\, I(\dfrac{1}{4}; - \dfrac{{17}}{8})\); giao với trục tung tại điểm (0;-2)

Để tìm giao điểm với trục hoành ta giải phương trình

\(2{x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow {x_{1,2}} = \dfrac{{1 \pm \sqrt {17} }}{4}\)

Vậy các giao điểm với trục hoành là \((\dfrac{{1 + \sqrt {17} }}{4};0)\) và \((\dfrac{{1 - \sqrt {17} }}{4};0)\)

b) Ta có a =  - 2; b =  - 1; c = 2.Ta có \(\Delta = {( - 1)^2} - 4.2.( - 2) = 17\)

Trục đối xứng là đường thẳng \(x = - \dfrac{1}{4} \,\, đỉnh \,\, I( - \dfrac{1}{4}; - \dfrac{{17}}{8})\); giao với trục tung tại điểm (0;-2)

Để tìm giao điểm với trục hoành ta giải phương trình

\(- 2{x^2} - x + 2 = 0 \Leftrightarrow \) \({x_{1,2}} = \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt {17} }}{4}\)

Vậy các giao điểm với trục hoành là

\(\left( {\dfrac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{4};0} \right) \,\, và \,\, \left( {\dfrac{{ - 1 - \sqrt {17} }}{4};0} \right)\)

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc hai

a) \(y = 2{x^2} + 4x - 6\)

b) \(y = - 3{x^2} - 6x + 4\)

c) \(y = \sqrt 3 {x^2} + 2\sqrt 3 x + 2\)

d) \(y = - 2({x^2} + 1)\)

Phương pháp giải

Nếu a > 0 thì hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\)

+) Nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{b}{{2a}}} \right)\)

+) Đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\)

Nếu a < 0 thì hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\)

+) Đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{b}{{2a}}} \right)\)

+) Nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\)

Hướng dẫn giải

a) Hàm số bậc hai đã cho có a = 2; b = 4;c = −6

Vậy \( - \frac{b}{{2a}} = - 1;\Delta = {b^2} - 4ac = 64; - \frac{\Delta }{{4a}} = - 8\)

Vì a > 0, ta có bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;−1), đồng biến trên khoảng (−1;+∞).

Để vẽ đồ thị ta có trục đối xứng là đường thẳng x = −1; đỉnh I(−1;−8); giao với tục tung tại điểm (0;−6); giao với trục hoành tại các điểm (−3;0) và (1;0).

Đồ thị của hàm số y = 2x2+4x−6 được vẽ trên hình 

b) Hàm số bậc hai đã cho có a = −3; b = −6; c = 4

Vậy \( - \frac{b}{{2a}} = - 1,\Delta = {b^2} - 4ac = 84, - \frac{\Delta }{{4a}} = 7\)

Vì a < 0, ta có bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;−1) và nghịch biến trên khoảng (−1;+∞).

Để vẽ đồ thị ta có trục đối xứng là đường thẳng x = −1; đỉnh I(−1;7) giao với tục tung tại điểm (0;4)

c) Hàm số bậc hai đã cho có \(a = \sqrt 3 ;b = 2\sqrt 3 ,c = 2\)

Vậy \(- \frac{b}{{2a}} = - 1,\Delta = {b^2} - 4ac = 12 - 8\sqrt 3 , - \frac{\Delta }{{4a}} = 2 - \sqrt 3 \)

Vì a > 0, ta có bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;−1) và đồng biến trên khoảng (−1;+∞).

Để vẽ đồ thị ta có trục đối xứng là đường thẳng x = −1; đỉnh \(I\left( { - 1;2 - \sqrt 3 } \right)\) giao với tục tung tại điểm (0;2)

Viết phương trình của parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) ứng với mỗi đồ thị dưới đây

Phương pháp giải

Xác định các hệ số a, b, c dựa vào đồ thị của hàm số.

Hướng dẫn giải

a) Dựa trên đồ thị (h.22) ta thấy parabol có đỉnh I( - 3;0) và đi qua điểm (0; - 4)

Như vậy \(c = - 4; - \dfrac{b}{{2a}} = - 3 \Leftrightarrow b = 6a\)

Thay c =  - 4 và b = 6a vào biểu thức

\(\Delta = {b^2} - 4ac = 0 = > 36{a^2} + 16a = 0 = > a = - \dfrac{4}{9}\,\, (vì a \ne 0) \,\, và \,\, b = - \dfrac{8}{3}\)

Vậy phương trình của parabol là \(y = - \dfrac{4}{9}{x^2} - \dfrac{8}{3}x - 4\)

b) Dựa trên đồ thị (h.23) ta thấy parabol có đỉnh I( - 1; - 1) và đi qua điểm \(\left( {\dfrac{1}{2};0} \right)\)

Như vậy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{1}{4}a + \dfrac{1}{2}b + c = 0}\\{ - \dfrac{b}{{2a}} = - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 2a}\\{c = - \dfrac{5}{4}a}\end{array}} \right.\)

Thay vào biểu thức

\(\Delta = {b^2} - 4ac = - 1 = > 4{a^2} + 5a + 1 = 0 = > a = \dfrac{4}{9}\,\, (vì \,\,a > 0)\Rightarrow b = \dfrac{8}{9};c = \dfrac{{ - 5}}{9}\)

\(y = \dfrac{4}{9}{x^2} + \dfrac{8}{9}x - \dfrac{5}{9}\)

Một chiếc ăng – ten chảo parabol có chiều cao h = 0,5 m và đường kính d = 4 m. Ở mặt cắt qua trục ta được một parabol dạng \(y = a{x^2}\)(h.24). Hãy xác định hệ số a.

Phương pháp giải

Dựa vào hình vẽ tìm điểm mà đồ thị hàm số đi qua.

Hướng dẫn giải

Đồ thị hàm số \(y = a{x^2}\) nhận đường thẳng x = 0 làm trục đối xứng và đồ thị đi qua điểm \(\left( {2;\dfrac{1}{2}} \right)\)

Suy ra \(4a = \dfrac{1}{2} \Rightarrow a = \dfrac{1}{8}\)

Hệ số \(a = \dfrac{1}{8}\)

Một chiếc cổng hình parabol dạng \(y = - \dfrac{1}{2}{x^2}\) có chiều rộng d = 8m. Hãy tính chiều cao h của cổng (hình dưới).

Phương pháp giải

Dựa vào hình vẽ tìm điểm mà đồ thị hàm số đi qua.

Hướng dẫn giải

Đồ thị hàm số \(y = - \dfrac{1}{2}{x^2}\) nhận đường thẳng x = 0 làm trục đối xứng và đồ thị đi qua điểm \(\left( {4; - h} \right)\)

Suy ra \(- h = - \dfrac{1}{2}{.4^2} \Rightarrow h = 8\)

Chiều cao của cổng h = 8m

Tọa độ đỉnh của paranol \(y = - \dfrac{1}{2}{x^2} + 6x + 1\) là

A. \(I\left( {6;19} \right)\)

B. \(I\left( {6;17} \right)\)

C. \(I\left( { - 6; - 43} \right)\)

D. \(I\left( { - 6;41} \right)\)

Phương pháp giải

Đồ thị của hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\) là một parabol có đỉnh là điểm \(I\left( { - \dfrac{b}{{2a}};\dfrac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(a = - \dfrac{1}{2};b = 6;c = 1. \,\, Suy \,\, ra \,\, - \dfrac{b}{{2a}} = 6;\Delta = {b^2} - 4ac = 38; - \dfrac{\Delta }{{4a}} = 19\)

Vậy đỉnh của parabol là \(I\left( {6;19} \right)\)

Đáp án đúng A

Trục đối xứng của parabol \(y = \dfrac{1}{5}{x^2} + 2x + 7\) là

A. y =  - 3

B. y =  - 5

C. x =  - 5

D. x = 5

Phương pháp giải

Đồ thị của hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\) là một parabol có có trục đối xứng là \(x = - \dfrac{b}{{2a}}\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(a = \dfrac{1}{5};b = 2;c = 7\). Suy ra \(- \dfrac{b}{{2a}} = - 5\)

Vậy trục đối xứng của parabol là x =  - 5

Đáp án đúng C

Hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx - 6\) có đồ thị đi qua hai điểm \(A\left( {1;1} \right)\) và \(B\left( {2;2} \right)\) là

A. \(y = 2{x^2} + 5x - 6\)

B. \(y = - 3{x^2} + 10x - 6\)

C. \(y = - 2{x^2} + 8x - 6\)

D. \(y = 3{x^2} + 3x - 6\)

Phương pháp giải

Thay tọa độ của các điểm thuộc đồ thị vào hàm số để tìm ra các hệ số a, b

Hướng dẫn giải

Do đồ thị đi qua hai điểm \(A\left( {1;1} \right)\) và \(B\left( {2;2} \right)\) nên ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b - 6 = 1}\\{4a + 2b - 6 = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 3}\\{b = 10}\end{array}} \right.\)

Đáp án đúng B

Hàm số bậc hai \(y = a{x^2} - 2x + c\) có đồ thị với đỉnh \(I\left( {2; - 1} \right)\) là

A. \(y = \dfrac{1}{2}{x^2} - 2x + 1\)

B. \(y = \dfrac{1}{2}{x^2} - 2x + 3\)

C. \(y = {x^2} - 2x - 1\)

D. \(y = 2{x^2} - 2x - 5\)

Phương pháp giải

Đồ thị của hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\) là một parabol có đỉnh là điểm \(I\left( { - \dfrac{b}{{2a}};\dfrac{{ - \Delta }}{{4a}}} \right)\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(- \dfrac{b}{{2a}} = 2 \Rightarrow - \dfrac{{ - 2}}{{2a}} = 2 \Rightarrow a = \dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{{ - \Delta }}{{4a}} = - 1 \Rightarrow {b^2} - 4ac = 4a = 2 \Rightarrow 4 - 2c = 2 \Rightarrow c = 1\)

Đáp án đúng A