Giải bài tập SBT Toán 10 Bài 3: Tích của vec tơ với một số

a) $\overrightarrow a = \overrightarrow b \ne \overrightarrow 0$

b) $\overrightarrow a = \overrightarrow { - b} \,\, và \,\,\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0$

c) $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ cùng hướng và $\left| {\overrightarrow a } \right| = 20,\left| {\overrightarrow b } \right| = 5$

d) $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ ngược hướng và $\left| {\overrightarrow a } \right| = 5,\left| {\overrightarrow b } \right| = 15$

e) $\overrightarrow a = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0$

g) $\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b = \overrightarrow 0$

h) $\overrightarrow a = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b = \overrightarrow 0$

Phương pháp giải

- Phân phối với phép cộng vec tơ:

$k (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) = k \overrightarrow{a}+ k\overrightarrow{b}$

- Phân phối với phép cộng các số:

$(h+k)\overrightarrow{a} = h \overrightarrow{a} +k\overrightarrow{a}$

- Kết hợp:

$h(k\overrightarrow{a}) = (h.k)\overrightarrow{a}$

-  $1. \overrightarrow{a} = \overrightarrow{a}; (-1)\overrightarrow{a}= -\overrightarrow{a}$

Hướng dẫn giải

a) $\vec a = \vec b \Rightarrow m = 1$

b) $\vec a = - \vec b \Rightarrow m = - 1$

c) $\vec a,\vec b$ cùng hướng => m > 0 và $\left| m \right| = {{\left| {\vec a} \right|} \over {\left| {\vec b} \right|}} = {{20} \over 5} = 4$

Vậy m = 4.

d) $\vec a,\vec b$ ngược hướng => m < 0 và $\left| m \right| = {{\left| {\vec a} \right|} \over {\left| {\vec b} \right|}} = {5 \over {15}} = {1 \over 3}$

Vậy $m = - {1 \over 3}$

e)

$\eqalign{ & \vec a = \vec 0 \Rightarrow \left| {\vec a} \right| = 0 \cr & \Rightarrow \left| m \right| = {{\left| {\vec a} \right|} \over {\left| {\vec b} \right|}} = {0 \over {\left| {\vec b} \right|}} = 0 \Rightarrow m = 0 \cr}$

g) $\vec b = \vec 0 \Rightarrow \left| {\vec b} \right| = 0 \Rightarrow \left| m \right| = {{\left| {\vec a} \right|} \over {\left| {\vec b} \right|}} = {{\left| {\vec a} \right|} \over 0}$

=> không tồn tại m.

h) $\vec a = \vec b = \vec 0 \Rightarrow$ mọi giá trị của m đều thỏa mãn.

Chứng minh rằng:

a) Nếu $\overrightarrow a = \overrightarrow b$ thì $m\overrightarrow a = m\overrightarrow b$

b) $m\overrightarrow a = m\overrightarrow b$ và $m \ne 0$ thì $\overrightarrow a = \overrightarrow b$

c) Nếu $m\overrightarrow a = n\overrightarrow a$ và $\overrightarrow a \ne 0$ thì m = n

Phương pháp giải

Sử dụng tinh chất: Nếu $\overrightarrow a = \overrightarrow b$ thì hai véc tơ cùng hướng và cùng độ dài.

Hướng dẫn giải

a) $\overrightarrow a = \overrightarrow b = > \left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right|$ và $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ cùng hướng. Ta có $\left| {m\overrightarrow a } \right| = \left| m \right|\left| {\overrightarrow a } \right|,\left| {m\overrightarrow b } \right| = \left| m \right|\left| {\overrightarrow b } \right|$ do đó $\left| {m\overrightarrow a } \right| = \left| {m\overrightarrow b } \right|$

$m\overrightarrow a ,m\overrightarrow b$ cùng hướng. Vậy $m\overrightarrow a = m\overrightarrow b$

b) $m\overrightarrow a = m\overrightarrow b = > \left| {m\overrightarrow a } \right| = \left| {m\overrightarrow b } \right| = > \left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right|$ vì $m \ne 0$

$m\overrightarrow a ,m\overrightarrow b$ cùng hướng => $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng hướng.

Vậy $\overrightarrow a = \overrightarrow b$

c) $m\overrightarrow a = n\overrightarrow a = > \left| {m\overrightarrow a } \right| = \left| {n\overrightarrow a } \right| = > \left| m \right| = \left| n \right|$ vì $\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0$

$m\overrightarrow a ,n\overrightarrow a$ cùng hướng => m và n cùng dấu.

Vậy m = n.

Chứng minh rằng tổng của n véc tơ $\overrightarrow a$ bằng $n\overrightarrow a$ (n là số nguyên dương).

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất $\left( {k + l} \right)\overrightarrow a = k\overrightarrow a + l\overrightarrow a$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow a + \overrightarrow a + ... + \overrightarrow a = (1 + 1 + ... + 1)\overrightarrow a = n\overrightarrow a$

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$ thì G là trọng tâm của tam giác ABC.

Phương pháp giải

- Gọi I là trung điểm của BC.

- Sử dụng tính chất tring điểm của tính chất trọng tâm của tam giác để chứng minh.

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của BC

$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GI} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {GA} = - 2\overrightarrow {GI}$

Từ đó suy ra ba điểm A, G, I thẳng hàng, trong đó GA = 2GI, G nằm giữa A và I.

Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.

Cho hai tam giác ABC và A'B'C'. Chứng minh rằng nếu $\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow 0$ thì hai tam giác đó có cùng trọng tâm.

Phương pháp giải

- Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A'B'C'.

- Xen điểm thích hợp và chứng minh $\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow 0$

Hướng dẫn giải

Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A'B'C'. Ta có:

$\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'A'}$

$\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'B'}$

$\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'C'}$

Cộng từng vế của ba đẳng thức trên ta được:

$\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'}$$= \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} } \right) + 3\overrightarrow {GG'} + \left( {\overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} } \right)$$= \overrightarrow 0 + 3\overrightarrow {GG'} + \overrightarrow 0 = 3\overrightarrow {GG'}$

Do đó, nếu $\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow 0$ thì $\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow 0$ hay $G \equiv G'$

Chú ý: Từ chứng minh trên cũng suy ra rằng nếu hai tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm thì $\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow 0$

Cho hai vec tơ không cùng phương $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$. Dựng các vec tơ:

a) $2\overrightarrow a + \overrightarrow b$

b) $\overrightarrow a - 2\overrightarrow b$

c) $- \overrightarrow a + {1 \over 2}\overrightarrow b$

Phương pháp giải

Dựng các véc tơ ở mỗi biểu thức rồi thực hiện cộng, trừ các véc tơ thu được véc tơ tổng, hiệu.

Hướng dẫn giải

a) 

b) 

c) 

Cho lục giác đều ABCDEF tâm O có cạnh a.

a) Phân tích vec tơ $\overrightarrow {AD}$ theo hai vec tơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AF}$

b) Tính độ dài của vec tơ ${1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {1 \over 2}\overrightarrow {BC}$ theo a.

Phương pháp giải

a) Dựng hình

Ta có: $\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AO} = 2(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AF} )= 2\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AF}$

b) Chứng minh $\left| {\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right| = \dfrac{1}{2}\left| {\overrightarrow {AC} } \right|$

Tứ giác AOCB là hình thoi nên $AC = 2AH = a\sqrt 3$

Suy ra độ dài của vec tơ ${1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {1 \over 2}\overrightarrow {BC}$ theo a.

Hướng dẫn giải

a)

$\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AO} = 2(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AF} ) = 2\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AF}$

b) 

$\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC}$$\Rightarrow \left| {\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right| = \dfrac{1}{2}\left| {\overrightarrow {AC} } \right|$

Dễ thấy tam giác OAB đều có $AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Tứ giác AOCB là hình thoi nên $AC = 2AH = a\sqrt 3$

Vậy  $\left| {\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right| = \dfrac{1}{2}\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM (M là trung điểm của BC). Phân tích vec tơ $\overrightarrow {AM}$ theo hai vec tơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$

Phương pháp giải

- Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC.

- Sử dụng tính chất hình bình hành để suy ra kết quả.

Hướng dẫn giải

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC.

ME là đường trung bình tam giác nên ME//AC và $ME= \frac{1}{2}AC$

Mà $AF = \frac{1}{2}AC$ nên ME=AF.

Lại có ME//AF nên tứ giác AFME là hình bình hành nên $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC}$

Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NA = 2NC. Gọi K là trung điểm của MN. Phân tích vec tơ $\overrightarrow {AK}$ theo $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc trung điểm và mối quan hệ giữa các véc tơ để biểu diễn.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\overrightarrow {AK} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} } \right)$$= \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right)$$= \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC}$

Cho tam giác ABC. Dựng $\overrightarrow {A'B} = \overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {C'A} = \overrightarrow {AB} \,\, và \,\,\overrightarrow {BC'} = \overrightarrow {CA}$

a) Chứng minh rằng A là trung điểm của B'C'

b) Chứng minh các đường thẳng AA', BB', CC' đồng quy

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AC'} = \overrightarrow 0$

b) Chứng minh AA',BB',CC' đồng quy tại trọng tâm G của tam giác ABC

Hướng dẫn giải

a)

$\overrightarrow {BC'} = \overrightarrow {CA} \Rightarrow$Tứ giác ACBC' là hình bình hành $\Rightarrow \overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {CB}$

$\overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {BB} = \overrightarrow 0 \Rightarrow A\,\, là\,\, trung\,\, điểm\,\, của \,\,B'C'$

b) Vì tứ giác ACBC' là hình bình hành nên CC' chứa trung tuyến của tam giác ABC xuất phát từ đỉnh C

Tương tự như vậy với AA' và BB'.

Cụ thể AA' chứa trung tuyến của tam giác ABC kẻ từ A.

BB' chứa trung tuyến của tam giác ABC kẻ từ B.

Mà ba trung tuyến đồng quy tại trọng tâm của tam giác ABC.

Do đó AA',BB',CC' đồng quy tại trọng tâm G của tam giác ABC.

Cho tam giác ABC. Điểm I trên cạnh AC sao cho $CI = \dfrac{1}{4}CA$, J là điểm mà $\overrightarrow {BJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AB}$

a) Chứng minh $\overrightarrow {BI} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB}$

b) Chứng minh B, I, J thẳng hàng.

c) Hãy dựng điểm J thỏa mãn điều kiện đề bài.

Phương pháp giải

a) Xen điểm và biểu diễn các véc tơ thích hợp.

b) Chứng minh $\overrightarrow {BJ} = k\overrightarrow {BI}$

c) Dựng hình dựa vào ý b.

Hướng dẫn giải

a) 

$\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AI} = - \overrightarrow {AB} + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AC}$

b) 

Ta có:

$\begin{array}{l} \overrightarrow {BJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \\ \overrightarrow {BI} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \\ \Rightarrow \frac{2}{3}\overrightarrow {BI} = \frac{2}{3}\left( {\frac{3}{4}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\\ = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BJ} \\ \Rightarrow \overrightarrow {BJ} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BI} \end{array}$

Vậy ba điểm B, J, I thẳng hàng.

c) Do $\overrightarrow {BJ} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {BI}$ nên ta dựng được hình như hình vẽ trên.

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng với điểm M bất kì ta có $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO}$

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc trung điểm, chú ý O là trung điểm mỗi đoạn thẳng AC,BD.

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MO}$ ( Vì O là trung điểm của AC)

$\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} = 2\overrightarrow {MO}$ ( Vì O là trung điểm của BD)

Vậy $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO}$

Cho tứ giác ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = 2\overrightarrow {IJ}$

Phương pháp giải

Xen điểm vào véc tơ $\overrightarrow {IJ}$ rồi thực hiện cộng các véc tơ.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BJ}$

$\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DJ}$

Cộng từng vế hai đẳng thức trên ta được

$2\overrightarrow {IJ} = \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} } \right) + \left( {\overrightarrow {BJ} + \overrightarrow {DJ} } \right) + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD}$ $= \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD}$

Cho tứ giác ABCD. Các điểm M, N , P và Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.

Phương pháp giải

- Gọi G là trọng tâm của tam giác ANP.

- Chứng minh $\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GQ} = \overrightarrow 0$ và kết luận.

Hướng dẫn giải

Gọi G là trọng tâm của tam giác ANP.

Khi đó $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} = \overrightarrow 0$

Ta có:

$\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GQ}$$= \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {PQ}$ $= (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} ) + \overrightarrow {AC} + (\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {PQ} )$

$= \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0$

(Vì $\overrightarrow {NM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {PQ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CA}$ nên $\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {CA}$).

Vậy $\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GQ} = \overrightarrow 0$

Suy ra G là trọng tâm của tam giác CMQ.

Cho tam giác ABC.

a) Tìm điểm K sao cho $\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow {CB}$

b) Tìm điểm M sao cho $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0$

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KB} + \overrightarrow {KC} = \overrightarrow 0$

Suy ra K là trọng tâm của tam giác ABC.

b) $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow M C = \overrightarrow 0$ (I là trung điểm của AB)

Hay  $\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0\Leftrightarrow M$ là trung điểm của IC.

Hướng dẫn giải

a) $\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow {CB}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KB} + \overrightarrow {KB} = \overrightarrow {CB}$

$\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KB} } \right) + \left( {\overrightarrow {KB} - \overrightarrow {CB} } \right) = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KB} + \left( {\overrightarrow {KB} + \overrightarrow {BC} } \right) = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {KA} + \overrightarrow {KB} + \overrightarrow {KC} = \overrightarrow 0$

Suy ra K là trọng tâm của tam giác ABC.

b) $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow {MI} + 2\overrightarrow M C = \overrightarrow 0$ (I là trung điểm của AB)

Hay là trung điểm của IC.

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác, D là điểm đối xứng của A qua O.

a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành.

b) Chứng minh: $\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HD} = 2\overrightarrow {HO}$

$\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO}$

$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH}$

c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

Chứng minh $\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG}$

Từ đó có kết luận gì về ba điểm O, H, G?

Phương pháp giải

a) Chứng mình tứ giác có hai cặp cạnh đối diện song song.

b) Sử dụng tính chất của hình bình hành và tính chất trung điểm suy ra điều phải chứng minh.

c) Sử dụng kết quả câu trên suy ra kết luận.

Hướng dẫn giải

a) 

Vì AD là đường kính của đường tròn tâm O nên $BD \bot AB,DC \bot AC$

Ta có $CH \bot AB,BH \bot AC$ nên suy ra CH // BD và BH // DC.

Vậy tứ giác HCDB là hình bình hành.

b) Vì O là trung điểm của AD nên $\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HD} = 2\overrightarrow {HO}$ (1)

Vì tứ giác HCDB là hình bình hành nên ta có $\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HD}$(2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO}$ (3)

Theo quy tắc ba điểm, từ (3) suy ra $\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {HO}$

Vậy $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH}$ (4).

c) G là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG}$

Từ (4) suy ra $\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG}$. Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.