Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 2: Cực trị của hàm số

Tìm cực trị của hàm số sau:

a) \(y=-2x^2+7x-5\);

b) \(y=x^3-3x^2-24x+7\);

c) \(y=(x+2)^2(x-3)^3\).

Phương pháp giải

- Tính y'

- Tính y''

- Tính giá trị của y'' tại các điểm làm cho y'=0 và kết luận.

+ Các điểm làm cho y''<0 thì đó là điểm cực đại.

+ Các điểm làm cho y''>0 thì đó là điểm cực tiểu.

Hướng dẫn giải

a) 

TXĐ: R

\(\eqalign{ & y' = - 4x + 7\cr &y' = 0 \Leftrightarrow - 4x + 7 = 0 \Leftrightarrow x = {7 \over 4} \cr & y'' = - 4 \Rightarrow y''({7 \over 4}) = - 4 < 0 \cr} \)

Vậy \(x = {7 \over 4}\) là điểm cực đại của hàm số

\({y_{CD}} = - 2.{\left( {\frac{7}{4}} \right)^2} + 7.\frac{7}{4} - 5 = \frac{9}{8}\)

b) 

TXĐ: R

\(y' = 3{x^2} - 6x - 24 = 3({x^2} - 2x - 8)\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 2 \hfill \cr x = 4 \hfill \cr} \right.\)

y'' = 6x - 6

Vì y''( - 2) = 6.(-2)-6= - 18 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = - 2 và y_CĐ = y(-2) = 35.

y''(4) =6.4-6= 18 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 4 và y_CT = y(4) = -73.

c) TXĐ: R

\(y' = 2(x + 2){(x - 3)^3} + 3{(x + 2)^2}{(x - 3)^2}\)

\(= \left( {x + 2} \right){\left( {x - 3} \right)^2}\left[ {2\left( {x - 3} \right) + 3\left( {x + 2} \right)} \right] \\ = \left( {x + 2} \right){\left( {x - 3} \right)^2}\left( {2x - 6 + 3x + 6} \right)\)

\(= 5x(x + 2){(x - 3)^2}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 2 \hfill \cr x = 0 \hfill \cr x = 3 \hfill \cr} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ đó suy ra y_CĐ = y(-2) = 0 ; y_CT = y(0) = -108.

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) \(y=\dfrac{x+1}{x^2+8}\)

b) \(y=\dfrac{x^2-2x+3}{x-1}\)

c) \(y=\dfrac{x^2+x-5}{x+1}\)

d) \(y=\dfrac{(x-4)^2}{x^2-2x+5}\)

Phương pháp giải

- Tìm TXĐ

- Tính \( y'\).

- Tính y' = 0

- Bảng biến thiên

-Nhìn bảng kết luận các điểm cực trị của hàm số.

Hướng dẫn giải

a) \(y=\dfrac{x+1}{{{x}^{2}}+8} . TXĐ: \mathbb{R}\)

\(\begin{aligned} & y'=\dfrac{{{x}^{2}}+8-2x\left( x+1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+8 \right)}^{2}}}=\dfrac{-{{x}^{2}}-2x+8}{{{\left( {{x}^{2}}+8 \right)}^{2}}} \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-4 \\ & x=2 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = 2, cực tiểu tại x = -4 và

 \({{y}_{\text{CĐ}}}=y\left( 2 \right)=\dfrac{1}{4};\,{{y}_{CT}}=y\left( -4 \right)=-\dfrac{1}{8}\) .
b) \(y=\dfrac{{{x}^{2}}-2x+3}{x-1}\)
Hàm số xác định và có đạo hàm với mọi \(x\ne 1\)
\(\begin{aligned} & y'=\dfrac{{{x}^{2}}-2x-1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}} \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=1-\sqrt{2} \\ & x=1+\sqrt{2} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại \(x=1-\sqrt{2}\) , đạt cực tiểu tại \(x=1+\sqrt{2}\)
Ta có: \(y{_{\text{CĐ}}}=y\left( 1-\sqrt{2} \right)=-2\sqrt{2};\,{{y}_{CT}}=y\left( 1+\sqrt{2} \right)=2\sqrt{2}\)
c) \(y=\dfrac{{{x}^{2}}+x-5}{x+1}\) .TXĐ: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\} \)
\(y'=\dfrac{{{x}^{2}}+2x+6}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}>0\,\,,\,\forall x\ne -1\)
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-1 \right),\left( -1;+\infty \right)\) và do đó không có cực trị.
d) \(y=\dfrac{{{\left( x-4 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}-2x+5}\)
Vì \({{x}^{2}}-2x+5\) luôn dương nên hàm số xác định trên \(\left( -\infty ;+\infty \right)\)
\(\begin{aligned} & y'=\dfrac{2\left( x-4 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+5 \right)-{{\left( x-4 \right)}^{2}}\left( 2x-2 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-2x+5 \right)}^{2}}}=\dfrac{2\left( x-4 \right)\left( 3x+1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-2x+5 \right)}^{2}}} \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-\dfrac{1}{3} \\ & x=4 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại \(x=-\dfrac{1}{3}\) , đạt cực tiểu tại x = 4 và \({{y}_{\text{CĐ}}}=y\left( -\dfrac{1}{3} \right)=\dfrac{13}{4};\,\,{{y}_{CT}}=y\left( 4 \right)=0 \)

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) \(y=x-6\sqrt[3]{{{x}^{2}}}\)

b) \(y=\left( 7-x \right)\sqrt[3]{x+5} \)

c) \(y=\dfrac{x}{\sqrt{10-x^2}}\)

d) \(y=\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2-6}}\)

Phương pháp giải

- Tìm TXĐ

- Tính y'

- Tính y' = 0

- Bảng biến thiên

-Nhìn bảng kết luận các điểm cực trị của hàm số.

Hướng dẫn giải

a) TXĐ: R

\(\begin{array}{l} y = x - 6{x^{\frac{2}{3}}}\\ y' = 1 - 6.\frac{2}{3}{x^{ - \frac{1}{3}}} = 1 - 4.\frac{1}{{{x^{\frac{1}{3}}}}}\\ = 1 - \frac{4}{{\sqrt[3]{x}}} = \frac{{\sqrt[3]{x} - 4}}{{\sqrt[3]{x}}}\\ y' = 0 \Leftrightarrow \sqrt[3]{x} - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt[3]{x} = 4 \Leftrightarrow x = 64 \end{array}\)

Bảng biến thiên:

Vậy ta có yCĐ = y(0) = 0 và yCT = y(64) = -32.

b) 

Hàm số xác định trên R.

\(\begin{array}{l} y = \left( {7 - x} \right){\left( {x + 5} \right)^{\frac{1}{3}}}\\ y' = \left( {7 - x} \right)'{\left( {x + 5} \right)^{\frac{1}{3}}} + \left( {7 - x} \right)\left[ {{{\left( {x + 5} \right)}^{\frac{1}{3}}}} \right]'\\ = - {\left( {x + 5} \right)^{\frac{1}{3}}} + \left( {7 - x} \right).\frac{1}{3}{\left( {x + 5} \right)^{ - \frac{2}{3}}} \end{array}\)

\(= - \root 3 \of {x + 5} + {{7 - x} \over {3\root 3 \of {{{(x + 5)}^2}} }} \) \( = \frac{{ - 3\left( {x + 5} \right) + 7 - x}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}}}} = \frac{{ - 4x - 8}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}}}}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow - 4x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = - 2\)

Bảng biến thiên:

Vậy \({y_{CD}} = y( - 2) = 9\root 3 \of 3\)

c) TXĐ: \(D=( - \sqrt {10} ;\sqrt {10} )\)

\(y' = \frac{{\left( x \right)'.\sqrt {10 - {x^2}} - x.\left( {\sqrt {10 - {x^2}} } \right)'}}{{\left( {\sqrt {10 - {x^2}} } \right)'}}\)

\(= {{\sqrt {10 - {x^2}} + {{{x^2}} \over {\sqrt {10 - {x^2}} }}} \over {10 - {x^2}}} \) \( = \frac{{\frac{{10 - {x^2} + {x^2}}}{{\sqrt {10 - {x^2}} }}}}{{10 - {x^2}}}\) \(= {{10} \over {(10 - {x^2})\sqrt {10 - {x^2}} }}\)

Vì y’ > 0 với mọi \(x\in ( - \sqrt {10} ;\sqrt {10} )\) nên hàm số đồng biến trên khoảng đó và do đó không có cực trị.

d) TXĐ: \(D = ( - \infty ; - \sqrt 6 ) \cup (\sqrt 6 ; + \infty )\)

\(\eqalign{ & y' = \frac{{\left( {{x^3}} \right)'\sqrt {{x^2} - 6} + {x^3}\left( {\sqrt {{x^2} - 6} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} - 6} } \right)}^2}}}\cr &= {{3{x^2}\sqrt {{x^2} - 6} - {{{x^4}} \over {\sqrt {{x^2} - 6} }}} \over {{x^2} - 6}} \cr & = {{3{x^2}({x^2} - 6) - {x^4}} \over {\sqrt {{{({x^2} - 6)}^3}} }} \cr & = \frac{{3{x^4} - 18{x^2} - {x^4}}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} - 6} \right)}^3}} }} = \frac{{2{x^4} - 18{x^2}}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} - 6} \right)}^3}} }}\cr &= {{2{x^2}({x^2} - 9)} \over {\sqrt {{{({x^2} - 6)}^3}} }} \cr} \)

\(y' = 0\Leftrightarrow 2{x^2}\left( {{x^2} - 9} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x^2 = 0\\ {x^2} - 9 = 0 \end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \notin D\\ x = \pm 3 \in D \end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = -3, đạt cực tiểu tại x =3 và \({y_{CT}} = y(3) = 9\sqrt 3 ;{y_{CD}} = y( - 3) = - 9\sqrt 3\)

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) \(y=\sin2x\);

b) \(y=\cos x-\sin x\);

c) \(y=\sin^2x\).

Phương pháp giải

Do tính tuần hoàn của hàm số nên ta chỉ xét trên đoạn \({\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}\)

- Tính y', tìm nghiệm trong đoạn \({\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}\)

- Tính y'' và xét dấu của y'' tại các điểm tìm được ở trên.

- Kết luận:

+ Tại điểm mà y'' mang dấu âm thì là điểm cực đại.

+ Tại điểm mà y'' mang dấu dương thì là điểm cực tiểu.

Hướng dẫn giải

a) y = sin 2x               

Hàm số có chu kỳ \(T = \pi \)

Xét hàm số y = sin 2x trên đoạn \({\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\) , ta có:

y' = 2cos 2x

\(y' = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \) \(\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\)

Mà \( x\in [0;\pi] \Rightarrow \left[ \matrix{ x = {\pi \over 4} \hfill \cr x = {{3\pi } \over 4} \hfill \cr} \right.\)

Lại có: y'' =  - 4sin 2x

\(y''\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = - 4\sin \left( {2.\dfrac{\pi }{4}} \right) = - 4 < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại \(x = \dfrac{\pi }{4}\) và \({y_{CD}} = y({\pi \over 4}) = 1\)

\(y''\left( {\dfrac{3\pi }{4}} \right) = - 4\sin \left( {2.\dfrac{3\pi }{4}} \right) = 4 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \dfrac{3\pi }{4}\) và \({y_{CT}} = y({{3\pi } \over 4}) = - 1\)

Vậy trên R ta có:

\({y_{CĐ}} = y({\pi \over 4} + k\pi ) = 1\)

\({y_{CT}} = y({{3\pi } \over 4} + k\pi ) = - 1,k \in Z\)

b) Hàm số tuần hoàn chu kỳ \(\pi\) nên ta xét trên đoạn \({\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}\)

Ta có: \(y' = - \sin x - \cos x = 0\) \( \Leftrightarrow \sin x = - \cos x\) \( \Leftrightarrow \tan x = - 1 \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi\)

Do \(x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]\) nên \(\left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{4}\\x = \dfrac{{3\pi }}{4}\end{array} \right.\)

Lại có \(y'' = - \cos x + \sin x\)

+) \(y''\left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) = - \cos \left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) + \sin \left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) = - \sqrt 2 < 0\) nên \(x = - \dfrac{\pi }{4}\) là điểm cực đại của hàm số và \({y_{CD}} = y\left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2\)

+) \(y''\left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) = - \cos \left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) + \sin \left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) = \sqrt 2 > 0\) nên \(x = \dfrac{{3\pi }}{4}\) là điểm cực tiểu của hàm số và \({y_{CT}} = y\left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) = - \sqrt 2\)

Vậy trên R thì \({x_{CD}} = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \) là điểm cực đại của hàm số và \({y_{CD}} = y\left( { - \dfrac{\pi }{4} + k\pi } \right) = \sqrt 2; {x_{CT}} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi\) là điểm cực tiểu của hàm số và \({y_{CT}} = y\left( {\dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi } \right) = - \sqrt 2\)

c) Ta có: \(y = {\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x\)

Do đó, hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ \(\pi \).

Ta xét hàm số \(y = {1 \over 2} - {1 \over 2}\cos 2x\) trên đoạn \({\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\).

y′ = sin2x

\(y' = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{k\pi }}{2}\)

Vì \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\) nên \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{\pi }{2}\\x = \pi \end{array} \right.\)

Lập bảng biến thiên trên đoạn \(\left[ {0,\pi } \right]\)

Từ đó, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = k.{\pi \over 2}\) với k chẵn, đạt cực đại tại \(x = k.{\pi \over 2}\) với k lẻ, và \({y_{CT}} = y(2m\pi ) = 0; {y_{CĐ}} = y((2m + 1){\pi \over 2}) = 1(m \in Z)\)

Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau có cực trị:

\(y=x^3+2mx^2+mx-1\).

Phương pháp giải

- Tính y'

- Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên R.

Hướng dẫn giải

TXĐ: \(D=\mathbb{R} \)
\(y'=3{{x}^{2}}+4mx+m \)
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ đổi dấu trên \(\mathbb{R} \)
\(\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+4mx+m\) có hai nghiệm phân biệt
\(\begin{aligned} & \Leftrightarrow \Delta '=4{{m}^{2}}-3m>0\Leftrightarrow m\left( 4m-3 \right)>0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & m<0 \\ & m>\dfrac{3}{4} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Vậy hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu khi m < 0 hoặc \(m>\dfrac{3}{4} \)

Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(y=x^2-2x^2+mx+1\) đạt cực tiểu tại \(x=1\).

Phương pháp giải

- Tính y'.

- Tìm m từ điều kiện: Điểm \(x = {x_0}\) là điểm cực trị của hàm số thì \(y'\left( {{x_0}} \right) = 0\)

- Thay m vào hàm số và kiểm tra lại theo yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\) 
\(\begin{align} & y'=3{{x}^{2}}-4x+m \\ & y'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-4x+m=0 \\ \end{align} \)
Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khi
\(\Delta '=4-3m>0\Leftrightarrow m<\dfrac{4}{3} \)     (*)
Hàm số có cực trị tại \(x=1\) thì
\(y'\left( 1 \right)=3-4+m=0\Rightarrow m=1\) (thỏa mãn điều kiện (*))
Mặt khác, vì \(y''=6x-4\Rightarrow y''(1)=6-4=2>0\) nên tại \(x=1\), hàm số đạt cực tiểu.
Vậy, với \(m=1\), hàm số đã cho có cực tiểu tại \(x=1\).

Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(y=x^3-mx^2+\left(m-\dfrac{2}{3} \right)x+5\) có cực trị tại \(x=1\). Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay đạt cực đại? Tính cực trị tương ứng.

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp điều kiện cần:

- Thay x = 1 vào phương trình y' = 0 tìm m

- Thay m vừa tìm được vào hàm số và kiểm tra.

Hướng dẫn giải

\(y={{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( m-\dfrac{2}{3} \right)x+5 \)
Ta biết hàm số \(y=f(x)\) có cực trị khi phương trình \(y’=0\) có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.  Ta có:
\(y'=3{{x}^{2}}-2mx+\left( m-\dfrac{2}{3} \right)\) 
Xét \(y’=0\), ta có: \(\Delta '={{m}^{2}}-3\left( m-\dfrac{2}{3} \right)={{m}^{2}}-3m+2 \)
\(\Delta '>0\) khi m < 1 hoặc m > 2       (*)
Để hàm số có cực trị tại \(x=1\) thì
\(y'\left( 1 \right)=3-2m+m-\dfrac{2}{3}=0\Leftrightarrow m=\dfrac{7}{3}\) (thỏa mãn điều kiện (*))
Với \(m=\dfrac{7}{3}\)  thì hàm số đã cho trở thành
\(\begin{align} & y={{x}^{3}}-\dfrac{7}{3}{{x}^{2}}+\dfrac{5}{3}x+5 \\ & \\ \end{align}\) 
Ta có 
\(\begin{align} & y'=3{{x}^{2}}-\dfrac{14}{3}x+\dfrac{5}{3}; \\ & y''=6x-\dfrac{14}{3} \\ \end{align} \)
Vì \(y''\left( 1 \right)=6-\dfrac{14}{3}>0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\) và \({{y}_{CT}}=y\left( 1 \right)=\dfrac{16}{3}\) .

Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & -2x\,\,\text{nếu}\,\,x\ge 0 \\ & \sin \dfrac{x}{2}\,\,\text{nếu}\,\,x<0 \\ \end{align} \right. \)

không có đạo hàm tại \(x=0\) nhưng đạt cực đại tại điểm đó.

Phương pháp giải

- Xét sự tồn tại của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\) và suy ra sự tồn tại của đạo hàm tại điểm x = 0.

- Hàm số đạt cực đại tại x = 0 nếu đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua điểm đó.

Hướng dẫn giải

Hàm số 
\(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & -2x\,\,\text{nếu}\,\,x\ge 0 \\ & \sin \dfrac{x}{2}\,\,\text{nếu}\,\,x<0 \\ \end{align} \right. \)
Không có đạo hàm tại \(x=0\) vì:
\(\begin{align} & \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop \lim }\,\dfrac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop \lim }\,\dfrac{-2x}{x}=\,-2, \\ & \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop \lim }\,\dfrac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop \lim }\,\dfrac{\sin \dfrac{x}{2}}{x}=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop \lim }\,\dfrac{\sin \dfrac{x}{2}}{2\dfrac{x}{2}}=\dfrac{1}{2} \\ \end{align} \)
Mặt khác, với \(x<0\) thì \(y'=\dfrac{1}{2}cos\dfrac{x}{2}\) , với \(x>0\) thì \(y’=-2<0\)
Bảng biến thiên

Từ đó, ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x=0\) và \(y{_{\text{CĐ}}}=y\left( 0 \right)=0 \)

Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau không có cực trị

\(y=\dfrac{x^2+2mx-3}{x-m}\)

Phương pháp giải

Hàm số không có cực trị khi đạo hàm của nó không đổi dấu trên tập xác định R\{m}

Hướng dẫn giải

Ta có 
\(\begin{align} & y=\dfrac{{{x}^{2}}+2mx-3}{x-m} \\ & y'=\dfrac{\left( 2x+2m \right)\left( x-m \right)-\left( {{x}^{2}}+2mx-3 \right)}{{{\left( x-m \right)}^{2}}} \\ & \,\,\,\,\,=\dfrac{2{{x}^{2}}-2{{m}^{2}}-{{x}^{2}}-2mx+3}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}=\dfrac{{{x}^{2}}-2mx-2{{m}^{2}}+3}{{{\left( x-m \right)}^{2}}} \\ \end{align} \)
Xét \(g\left( x \right)={{x}^{2}}-2mx-2{{m}^{2}}+3\) ,
\(\begin{align} & \Delta {{'}_{g}}={{m}^{2}}+2{{m}^{2}}-3=3\left( {{m}^{2}}-1 \right) \\ & \Delta {{'}_{g}}\le 0\,\,khi\,\,-1\le m\le 1. \\ \end{align} \)
Khi -1 < m < 1 thì phương trình g(x) = 0 vô nghiệm hay y' = 0 vô nghiệm và y' > 0 trên tập xác định. Khi đó,hàm số không có cực trị.
Khi m = 1 hoặc m = - 1, hàm số đã cho trở thành y = x + 3 (với \(x\ne 1\) ) hoặc y = x - 3 (với \(x\ne -1\)). Các hàm số này không có cực trị.
Vậy hàm số đã cho không có cực trị khi   . 

Hàm số \(y=(x+1)^3(5-x)\) có mấy điểm cực trị?

A. 0

B. 1 

C. 2   

D. 3

Phương pháp giải

- Tính y' và tìm nghiệm của y' = 0.

- Tìm số nghiệm bội lẻ của phương trình y' = 0 và kết luận.

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(y' = 3{\left( {x + 1} \right)^2}\left( {5 - x} \right) - {\left( {x + 1} \right)^3}\) \( = {\left( {x + 1} \right)^2}\left[ {3\left( {5 - x} \right) - x - 1} \right] \\ = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {14 - 4x} \right)\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = \dfrac{7}{2}\end{array} \right.\)

Ta thấy x =  - 1 là nghiệm bội hai nên y' không đổi dấu qua x =  - 1; \(x = \dfrac{7}{2}\) là nghiệm đơn nên y' đổi dấu qua \(x = \dfrac{7}{2}\)

Vậy hàm số chỉ có 1 điểm cực trị.

Chọn B

Hàm số \(y=x^4-5x^2+4\) có mấy điểm cực đại?

A. 0

B. 1 

C. 2   

D. 3

Phương pháp giải

- Tính y' và tìm các nghiệm của y' = 0

- Tính y'' và tính giá trị của y'' tại các điểm trên.

- Kết luận dựa vào dấu của y'': Các điểm làm cho y'' mang dấu âm là điểm cực đại của hàm số.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 10x = x\left( {4{x^2} - 10} \right)\); \(y'' = 12{x^2} - 10\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \dfrac{{\sqrt {10} }}{2}\end{array} \right.\)

+) \(y''\left( 0 \right) = - 10 < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại x = 0

+) \(y''\left( { \pm \dfrac{{\sqrt {10} }}{2}} \right) = 20 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \pm \dfrac{{\sqrt {10} }}{2}\)

Vậy hàm số chỉ có 1 điểm cực đại.

Chọn D.

Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(y=x^3-3x^2+mx-5\) có cực trị:

Phương pháp giải

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y' đổi dấu trên R

Hướng dẫn giải

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6x + m\)

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y' đổi dấu trên R

\(\Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow \Delta ' = 9 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < 3\)

Chọn C.

Xác định giá trị của tham số m để hàm số \(y=\dfrac{x^2-2mx+5}{x-m}\) có cực trị.

Phương pháp giải

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y' đổi dấu trên TXĐ \(D\).

Hướng dẫn giải

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\)

Có \(y' = \dfrac{{{x^2} - 2mx + 2{m^2} - 5}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\)

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y' đổi dấu trên TXĐ: D

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 2{m^2} - 5 = 0\) có hai nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - 2{m^2} + 5 > 0\) \( \Leftrightarrow 5 - {m^2} > 0 \Leftrightarrow - \sqrt 5 < m < \sqrt 5 \)

Chọn D.

Cho hàm số \(y=-x^4+4x^2-3\). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số có một cực đại và hai cực tiểu.

B. Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu.

C. Hàm số chỉ có một cực tiểu.

D. Hàm số chỉ có một cực đại.

Phương pháp giải

- Tính y' và tìm nghiệm của phương trình y' = 0

- Tính y'' và tính giá trị của y'' tại các nghiệm ở trên rồi kết luận:

+ Điểm làm cho y'' mang dấu âm là điểm cực đại của hàm số.

+ Điểm làm cho y'' mang dấu dương là điểm cực tiểu của hàm số.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(y' = - 4{x^3} + 8x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\)

\(y'' = - 12{x^2} + 8\) và \(y''\left( 0 \right) = 8 > 0\) nên x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số.

\(y''\left( { \pm \sqrt 2 } \right) = - 16 < 0\) nên \(x = \pm \sqrt 2\) là điểm cực đại của hàm số.

Vậy hàm số có 2 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu.

Chọn B.

Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau không có cực trị.

\(y=\dfrac{1}{3}mx^3+mx^2+2(m-1)x-2\)

Phương pháp giải

Xét với m = 0 và \(m\ne 0\)

Hàm số y không có cực trị khi và chỉ khi y’=0 không có hai nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải

-Nếu m = 0 thì y = -2x-2, hàm số không có cực trị.

-Nếu \(m\ne 0\) hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình \(y'=m{{x}^{2}}+2mx+2\left( m-1 \right)=0\) không có 2 nghiệm phân biệt. Muốn vậy, phải có:

\(\Delta '={{m}^{2}}-2m\left( m-1 \right)=-{{m}^{2}}+2m\le 0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m<0 \\ & m\ge 2 \\ \end{align} \right.\)

Chọn A

Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau có cực trị

 \(y=x^3-3(m-1)x^2-3(m+3)x-5\)

A. \(m\ge0\)   

B. \(m\in\mathbb{R}\)     

C. \(m<0\)  

D. \(m\in [-5;5]\)

Phương pháp giải

Hàm số y có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi

\(y'=3{{x}^{2}}-6\left( m-1 \right)x-3\left( m+3 \right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow \Delta '={{\left( m-1 \right)}^{2}}+\left( m+3 \right)={{m}^{2}}-m+4>0\)

Ta thấy dấu tam thức \(\Delta '={{m}^{2}}-m+4\) luôn dương với mọi m vì

\(\delta =1-16=-15<0,\,a=1>0\)

Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị với mọi \(m\in \mathbb{R}\)

Chọn B.

Cho hàm số \(y=x^3+\dfrac{3}{2}x^2\). Khoảng cách d giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A. \(d=2\sqrt{5}\)                        

B. \(d=\dfrac{\sqrt{5}}{4}\)                       

C. \(d=\sqrt{5}\)                          

D. \(d=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)

Phương pháp giải

- Tìm hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

- Tính khoảng cách theo công thức \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(y' = 3{x^2} + 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\end{array} \right.\)

\(y'' = 6x + 3\);\(y''\left( 0 \right) = 3 > 0,y''\left( { - 1} \right) = - 3 < 0\)

Do đó x = 0 là điểm cực tiểu \(\Rightarrow {y_{CT}} = 0 \Rightarrow O\left( {0;0} \right)\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

x =  - 1 là điểm cực đại của hàm số \(\Rightarrow {y_{CD}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow A\left( { - 1;\dfrac{1}{2}} \right)\) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Vậy khoảng cách \(d = OA = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\)

Chọn D.