Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm

Giải bài tập trang 163 - 166 SBT Toán 12 Bài Nguyên hàm giúp các em học sinh sẽ dễ dàng ôn tập lại các kiến thức đã học, rèn luyện khả năng tính toán nhanh và chính xác. Sau đây mời các em cùng tham khảo lời giải tương ứng với từng bài tập SGK.

Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm

Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm

1. Giải bài 3.1 trang 163 SBT Giải tích 12

Kiểm tra xem hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại trong mỗi cặp hàm số sau: 

a) f(x)=ln(x+1+x2) và g(x)=11+x2

b) f(x)=esinxcosx và g(x)=esinx

c) f(x)=sin21x và g(x)=1x2sin2x

Phương pháp giải

hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu 

F’(x) =F(x) với mọi x thuộc K

Hướng dẫn giải

a) Hàm số f(x)=ln(x+1+x2)là một nguyên hàm của g(x)=11+x2.

b) Hàm số  g(x)=esinx là một nguyên hàm của hàm số  f(x)=esinxcosx

c) Hàm số  f(x)=sin21x là một nguyên hàm của hàm số  g(x)=1x2sin2x

2. Giải bài 3.2 trang 163 SBT Giải tích 12

Chứng minh rằng các hàm số F(x) và G(x) sau đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số:

a) F(x)=x2+6x+12x3 và G(x)=x2+102x3

b) F(x)=1sin2x và G(x)=10+cot2x

Phương pháp giải

hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu

F’(x) =F(x) với mọi x thuộc K

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 

F(x)=(x2+6x+1)(2x3)(x2+6x+1)(2x3)(2x3)2=(2x+6)(2x3)2(x2+6x+1)(2x3)2=2x26x20(2x3)2

Mà F(x)=x2+6x+12x3=x2+102x3+3=G(x)+3 nên F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f(x)=2x26x20(2x3)2

b) Ta có: 

G(x)=(10+cot2x)=2.cotx.(cotx)=2cotx.1sin2x=2cosxsin3x

Mà G(x)=10+cot2x=1sin2x+9=F(x)+9 nên F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f(x)=2cosxsin3x

3. Giải bài 3.3 trang 164 SBT Giải tích 12

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f(x)=(x9)4

b) f(x)=1(2x)2

c) f(x)=x1x2

d) f(x)=12x+1

Phương pháp giải

Nếu f(u)du=F(u)+C và u=u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

f(u(x))u(x)dx=F(u(x))+C

Hướng dẫn giải

a) f(x)=(x9)4

(x9)4dx=15(x9)5+C

b) f(x)=1(2x)2

Đặt u = 2 - x. Ta có du = -dx

1(2x)2dx=duu2=1u+C=12x+C

c) f(x)=x1x2

Đặt 1x2=u1x2=u2

2xdx=2uduxdx=udu

x1x2dx=uduu=du=u+C=1x2+C

d) f(x)=12x+1

Đặt 2x+1=u2x+1=u2

2dx=2ududx=udu

12x+1dx=uduu=du=u+C=2x+1+C

4. Giải bài 3.4 trang 164 SBT Giải tích 12

Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:

a) x231+x3dx  với x>1 (đặt t=1+x3 )

b)  xex2dx    (đặt t=x2 )

c) x(1+x2)2dx (đặt t=1+x2)

d) 1(1x)xdx (đặt t=x)

e) sin1x.1x2dx (đặt t=1x)

g) (lnx)2xdx (đặt t=x )

h) sinx3cos2xdx   (đặt t=cosx)

Phương pháp giải

Nếu f(u)du=F(u)+C và u=u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

f(u(x))u(x)dx=F(u(x))+C

Hướng dẫn giải

a)     x231+x3dx  với x>1

 Đặt t=1+x3 dt=3x2dx hay x2dx=dt3

Ta có: 

x231+x3dx=133tdt=13.34t43+C=14(1+x3)43+C

b)    xex2dx   

Đặt t=x2dt=2xdx

xex2dx=etdt2=et2+C=ex22+C

c)    x(1+x2)2dx 

Đặt t=1+x2dt=2xdx

x(1+x2)2dx=dt2t2=12t+C=12(1+x2)+C

d)     1(1x)xdx 

Đặt t=xdt=dx2x 

1(1x)xdx=2dt1t2=(11t+11+t)dt=ln|1t|+ln|1+t|+C

=ln|1+t1t|+C=ln|1+x1x|+C

e)    sin1x.1x2dx 

Đặt t=1xdt=dxx2

sin1x.1x2dx=sint.dt=cost+C=cos1x+C

g)       (lnx)2xdx 

Đặt t=lnxdt=dxx 

(lnx)2xdx=t2dt=t33+C=(lnx)33+C

h)      sinx3cos2xdx   

Đặt t=cosxdt=sinxdx

sinx3cos2xdx=dtt23=3t13+C=33cosx+C

5. Giải bài 3.5 trang 164 SBT Giải tích 12

Áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

a) (12x)exdx

b) xexdx;

c) xln(1x)dx

d) xsin2xdx

Phương pháp giải

Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì

u(x)v(x)dx=u(x)v(x)u(x)v(x)dx

Hay udv=uvvdu

Hướng dẫn giải

a) I=(12x)exdx

Đặt {u=12xdv=exdx{du=2dxv=ex

Ta có:

I=(12x)ex+2exdx+C=ex2xex+2ex+C=(32x)ex+C

b) J=xexdx

Đặt {u=xdv=exdx{du=dxv=ex

Ta có:

I=xex+exdx+C=xexex+C=(1+x)ex+C

c) G=xln(1x)dx

Đặt {u=ln(1x)dv=xdx{du=1x1dxv=x22

Ta có: 

G=x22ln(1x)12x2x1dx=x22ln(1x)12(x+1+1x1)dx=x22ln(1x)12[x22+x+ln(1x)]+C=x22ln(1x)12ln(1x)14x212x+C

d)Ta có:

H=xsin2xdx=x.1cos2x2dx=x2412xcos2xdx=x2412I

Đặt {u=xdv=cos2xdx{du=dxv=12sin2x

Suy ra:

I=12xsin2x12sin2xdx=12xsin2x+14cos2x+C

Vậy H=x2412(12xsin2x+14cos2x)+C

6. Giải bài 3.6 trang 164 SBT Giải tích 12

Tính các nguyên hàm sau:

a) x(3x)5dx

b) (2x3x)2dx

c) x25xdx

d) ln(cosx)cos2xdx

e) xsin2xdx

g) x+1(x2)(x+3)dx

h) 11xdx

i) sin3xcos2xdx

Phương pháp giải

Phương pháp đổi biến số

Nếu f(u)du=F(u)+C và u=u(x)) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

f(u(x))u(x)dx=F(u(x))+C

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần: Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì

u(x)v(x)dx=u(x)v(x)u(x)v(x)dx

Hay udv=uvvdu

Hướng dẫn giải

a) I1=x(3x)5dx

Đặt 3x=udx=du, ta có:

I1=(u3)u5du=(u63u5)du=17u712u6+C=17(3x)712(3x)6+C

b) Ta có:

 (2x3x)2dx=(22x2.2x3x+32x)dx=4xdx26xdx+9xdx=4xln426xln6+9xln9+C

c) I2=x25xdx

Đặt 25x=u25x=u2dx=25udu

Ta có: x=2u5 nên

I2=2u5.u.25udu=(425u2+225u3)du=475u3+150u4+C=475(25x)32+150(25x)2+C

c) I3=ln(cosx)cos2xdx

Đặt {u=ln(cosx)dv=1cos2xdx{du=sinxcosxdxv=tanx

Ta có: 

I3=tanxln(cosx)+tanx.sinxcosxdx=tanxln(cosx)+sin2xcos2xdx=tanxln(cosx)+1cos2xcos2xdx=tanxln(cosx)+(1cos2x1)dx=tanxln(cosx)+tanxx+C

e) I4=xsin2xdx

Đặt {u=xdv=1sin2xdx{du=dxv=cotx

Ta có: 

I4=xcotx+cotxdx=xcotx+cosxsinxdx 

Đặt t=sinxdt=cosxdx. Suy ra:

I4=xcotx+dtt=xcotx+ln|t|+C=xcotx+ln|sinx|+C

g) I5=x+1(x2)(x+3)dx

Ta có: x+1(x2)(x+3)=35(x2)+25(x+3)

Khi đó:

 I5=35(x2)dx+25(x+3)dx=35ln|x2|+25ln|x+3|+C\

h) I6=11xdx

Đặt u=xu2=xdx=2udu

Ta có:

I6=2udu1u=(2+21u)du=2u+2ln|1u|+C=2x+2ln|1x|+C

i) sin3xcos2xdx=12(sinx+sin5x)dx=12(cosx+15cos5x)+C

7. Giải bài 3.7 trang 164 SBT Giải tích 12

Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác, hãy tính:

a) sin4dx

b) 1sin3xdx

c) sin3xcos4xdx

d) sin4xcos4xdx

Phương pháp giải

a) Hạ bậc đưa về dạng tổng rồi tính nguyên hàm, sử dụng công thức nguyên hàm hàm số cơ bản coskxdx=sinkxk+C

b) Nhân cả tử và mẫu của biểu thức dưới dấu nguyên hàm với sin x rồi đổi biến t = cos x để tìm nguyên hàm.

c) Đổi biến u = cos x tính nguyên hàm.

d) Hạ bậc (sử dụng công thức nhân đôi) và tính nguyên hàm.

Hướng dẫn giải

a)Ta có:

 sin4x=(1cos2x2)2=14(12cos2x+cos22x)=14(12cos2x+1+cos4x2)=14(322cos2x+cos4x2)

Suy ra: 

sin4xdx=14(322cos2x+cos4x2)dx=1432dx12cos2xdx+18cos4xdx=38x14sin2x+132sin4x+C

b) I=1sin3xdx=sinxsin4xdx=sinx(1cos2x)2dx

Đặt u=cosxdu=sinxdx. Suy ra: I=du(1u2)2

Ta có: 

21u2=11u+11+u4(1u2)2=(11u+11+u)2=1(1u)2+2(1u)(1+u)+1(1+u)2=1(1u)2+1(1+u)2+11u+11+u

Do đó: 

I=14[1(1u)2+1(1+u)2+11u+11+u]du=14du(u1)214du(1+u)214du1u14du1+u=14.1u1+14.1u+1+14.ln|1u|14ln|1+u|+C=14.2uu21+14.ln|1u1+u|+C=cosx2sin2x+14.ln|1cosx1+cosx|+C=cosx2sin2x+12ln|tanx2|+C

c) J=sin3xcos4xdx=(1cos2x)cos4xsinxdx

Đặt u=cosxdu=sinxdx

Ta có: 

J=(1u2)u4du=(u4u6)du=15u5+17u7+C=15cos5x+17cos7x+C

d)

 sin4xcos4x=(sinxcosx)4=(12sin2x)4=116(1cos4x2)2=164(12cos4x+cos24x)=164(322cos4x+12cos8x)

Ta có:

 sin4xcos4xdx=164(322cos4x+12cos8x)dx=164(32x12sin4x+116sin8x)+C

8. Giải bài 3.8 trang 165 SBT Giải tích 12

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số 

f(x)=11+sinx?

a) F(x)=1cot(x2+π4)

b) G(x)=2tanx2

c) H(x)=ln(1+sinx)

d) K(x)=2(111+tanx2)

Phương pháp giải

Lấy đạo hàm mỗi hàm số đã cho và kiểm tra.

Hướng dẫn giải

Ta có:

 11+sinxdx=1(sinx2+cosx2)2dx=12sin2(x2+π4)dx=cot(x2+π4)+C

Vậy F(x)=1cot(x2+π4)là một nguyên hàm của hàm số  f(x).

G(x)=1tanx2=cosx2sinx2=2cos2x2sinx nên G(x) không là nguyên hàm của hàm số f(x)

H(x)=(1+sinx)1+sinx=cosx1+sinx nên H(x) không là nguyên hàm của hàm số f(x).

K(x)=2.(1+tanx2)(1+tanx2)2=2.12cos2x2(cosx2+sinx2cosx2)2=1(cosx2+sinx2)2=11+sinx

Vậy K(x)  là một nguyên hàm của hàm số  f(x).

9. Giải bài 3.9 trang 165 SBT Giải tích 12

Tính các nguyên hàm sau đây:

a) (x+lnx)x2dx

b) (x+sin2x)sinxdx

c) (x+ex)e2xdx

d) (x+sinx)dxcos2x

Phương pháp giải

Tính nguyên hàm bằng công thức từng phần udv=uvvdu

Hướng dẫn giải

a) I=(x+lnx)x2dx

Đặt {u=x+lnxdv=x2dx{du=1+1xv=13x3

Ta có: 

I=13x3(x+lnx)13x3(1+1x)dx=13x4+13x3lnx13(x3+x2)=13x4+13x3lnx13(14x4+13x3)+C=14x419x3+13x3lnx+C

b) J=(x+sin2x)sinxdx

Đặt {u=x+sin2xdv=sinxdx{du=1+2sinxcosxv=cosx

Ta có:

J=cosx(x+sin2x)+cosx(1+2sinxcosx)dx=xcosxcosxsin2x+cosxdx+2cos2xsinxdx=xcosxcosxsin2x+sinx2cos2xd(cosx)=xcosxcosxsin2x+sinx23cos3x+C

c) K=(x+ex)e2xdx

Đặt {u=x+exdv=e2xdx{du=1+exv=12e2x

Ta có:

K=12(x+ex)e2x12e2x(1+ex)dx=12(x+ex)e2x12(e2x+e3x)dx=12xe2x+12e3x14e2x16e3x+C=12xe2x+13e3x14e2x+C

d) F=(x+sinx)dxcos2x

Đặt {u=x+sinxdv=dxcos2x{du=1+cosxv=tanx

Ta có: 

F=(x+sinx)tanx(1+cosx)tanxdx=(x+sinx)tanx(sinxcosx+sinx)dx=(x+sinx)tanx+ln|cosx|+cosx+C

10. Giải bài 3.10 trang 165 SBT Giải tích 12

Cho F(x)=f(x),C là hằng số dương tùy ý. Khi đó f(x)dx bằng:

A. F(x)+C

B. F(x)C

C. F(x)+lnC

D. F(x+C)

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất nguyên hàm: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x)+C với C là một số thực tùy ý cũng là một nguyên hàm của (x).

Hướng dẫn giải

Đáp án C đúng nhất vì lnC mới là số thực tùy ý.

D sai vì không cộng hằng số C vào biến

A và B không đúng vì không khẳng định được C là hằng số dương tùy ý

11. Giải bài 3.11 trang 165 SBT Giải tích 12

Hãy chỉ ra kết quả sai khi tính sinxcosxdx

A. sin2x2+C

B. cos2x2+C

C. cos2x4+C

D. cos2x2+C

Phương pháp giải

Tìm một nguyên hàm của sin xcos x rồi nhận xét các đáp án còn lại.

Sử dụng định lý: Nếu F(x) là một nguyên hàm của (x) thì F(x)+C với C là một số thực tùy ý cũng là một nguyên hàm của ( x )

Hướng dẫn giải

sinxcosxdx=sinxd(sinx)=sin2x2+C(A đúng)=cos2x2+C(B đúng và D sai)=12.1+cos2x2+C=cos2x4+C(C đúng)

Vậy chọn đáp án D

12. Giải bài 3.12 trang 165 SBT Giải tích 12

xe2xdx bằng

A. e2x(x2)2+C

B. e2x+12+C

C . e2x(x1)2+C

D . e2x(2x1)4+C

Phương pháp giải

Tính nguyên hàm bằng công thức từng phần udv=uvvdu

Hướng dẫn giải

Đặt {u=xdv=e2xdx{du=dxv=12e2x

Ta có:

xe2xdx=12xe2x12e2xdx=12xe2x14e2x+C=e2x(2x1)4+C

Chọn đáp án D

13. Giải bài 3.13 trang 166 SBT Giải tích 12

(x+1)sinxdxbằng

A. (x+1)cosx+sinx+C

B. (x+1)cosx+sinx+C

C. (x+1)sinx+cosx+C

D.  (x+1)cosxsinx+C

Phương pháp giải

Tính nguyên hàm bằng công thức từng phần udv=uvvdu

Hướng dẫn giải

Đặt {u=x+1dv=sinxdx{du=dxv=cosx

(x+1)sinxdx=(x+1)cosx+cosxdx=(x+1)cosx+sinx+C

Chọn đáp án B

14. Giải bài 3.14 trang 166 SBT Giải tích 12

xln(x+1)dx bằng:

A. (x221)ln(x+1)+14(x1)2+C

B.  (x221)ln(x+1)12(x1)2+C

C.  (x2212)ln(x+1)14(x1)2+C

D.  (x22+1)ln(x+1)14(x1)2+C

Phương pháp giải

Tính nguyên hàm bằng công thức từng phần udv=uvvdu

Hướng dẫn giải

Đặt {u=ln(x+1)dv=xdx{du=dxx+1v=12x2

Ta có: 

xln(x+1)dx=12x2ln(x+1)12x2x+1dx=12x2ln(x+1)12(x1+1x+1)dx=12x2ln(x+1)12(x22x+ln|x+1|)+C=(x2212)ln(x+1)x24+x2+C=(x2212)ln(x+1)14(x1)2+C

Chọn đáp án C.

15. Giải bài 3.15 trang 166 SBT Giải tích 12

x x1dx bằng :

A. (x1)52+(x1)32+C

B. 215[3(x1)525(x1)32]+C

C. 215[3(x1)52+5(x1)32]+C

D. 115[3(x1)52+5(x1)32]+C

Phương pháp giải

Đổi biến t=x1 và tính nguyên hàm.

Hướng dẫn giải

xx1dx=(x1)x1dx+x1dx=25(x1)52+23(x1)32+C=215[3(x1)52+5(x1)32]+C

Chọn đáp án C

Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Nguyên hàm Toán 12 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.

Trắc Nghiệm

Ngày:23/10/2020 Chia sẻ bởi:

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM