Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm
Giải bài tập trang 163 - 166 SBT Toán 12 Bài Nguyên hàm giúp các em học sinh sẽ dễ dàng ôn tập lại các kiến thức đã học, rèn luyện khả năng tính toán nhanh và chính xác. Sau đây mời các em cùng tham khảo lời giải tương ứng với từng bài tập SGK.
Mục lục nội dung
1. Giải bài 3.1 trang 163 SBT Giải tích 12
2. Giải bài 3.2 trang 163 SBT Giải tích 12
3. Giải bài 3.3 trang 164 SBT Giải tích 12
4. Giải bài 3.4 trang 164 SBT Giải tích 12
5. Giải bài 3.5 trang 164 SBT Giải tích 12
6. Giải bài 3.6 trang 164 SBT Giải tích 12
7. Giải bài 3.7 trang 164 SBT Giải tích 12
8. Giải bài 3.8 trang 165 SBT Giải tích 12
9. Giải bài 3.9 trang 165 SBT Giải tích 12
10. Giải bài 3.10 trang 165 SBT Giải tích 12
11. Giải bài 3.11 trang 165 SBT Giải tích 12
12. Giải bài 3.12 trang 165 SBT Giải tích 12
13. Giải bài 3.13 trang 166 SBT Giải tích 12
Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm
1. Giải bài 3.1 trang 163 SBT Giải tích 12
Kiểm tra xem hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại trong mỗi cặp hàm số sau:
a) f(x)=ln(x+√1+x2) và g(x)=1√1+x2
b) f(x)=esinxcosx và g(x)=esinx
c) f(x)=sin21x và g(x)=−1x2sin2x
Phương pháp giải
hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu
F’(x) =F(x) với mọi x thuộc K
Hướng dẫn giải
a) Hàm số f(x)=ln(x+√1+x2)là một nguyên hàm của g(x)=1√1+x2.
b) Hàm số g(x)=esinx là một nguyên hàm của hàm số f(x)=esinxcosx
c) Hàm số f(x)=sin21x là một nguyên hàm của hàm số g(x)=−1x2sin2x
2. Giải bài 3.2 trang 163 SBT Giải tích 12
Chứng minh rằng các hàm số F(x) và G(x) sau đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số:
a) F(x)=x2+6x+12x−3 và G(x)=x2+102x−3
b) F(x)=1sin2x và G(x)=10+cot2x
Phương pháp giải
hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu
F’(x) =F(x) với mọi x thuộc K
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
F′(x)=(x2+6x+1)′(2x−3)−(x2+6x+1)(2x−3)′(2x−3)2=(2x+6)(2x−3)−2(x2+6x+1)(2x−3)2=2x2−6x−20(2x−3)2
Mà F(x)=x2+6x+12x−3=x2+102x−3+3=G(x)+3 nên F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f(x)=2x2−6x−20(2x−3)2
b) Ta có:
G′(x)=(10+cot2x)′=2.cotx.(cotx)′=−2cotx.1sin2x=−2cosxsin3x
Mà G(x)=10+cot2x=1sin2x+9=F(x)+9 nên F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f(x)=−2cosxsin3x
3. Giải bài 3.3 trang 164 SBT Giải tích 12
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) f(x)=(x−9)4
b) f(x)=1(2−x)2
c) f(x)=x√1−x2
d) f(x)=1√2x+1
Phương pháp giải
Nếu ∫f(u)du=F(u)+C và u=u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
∫f(u(x))u′(x)dx=F(u(x))+C
Hướng dẫn giải
a) f(x)=(x−9)4
∫(x−9)4dx=15(x−9)5+C
b) f(x)=1(2−x)2
Đặt u = 2 - x. Ta có du = -dx
∫1(2−x)2dx=−∫duu2=1u+C=12−x+C
c) f(x)=x√1−x2
Đặt √1−x2=u⇔1−x2=u2
⇒−2xdx=2udu⇔xdx=−udu
∫x√1−x2dx=−∫uduu=−∫du=−u+C=−√1−x2+C
d) f(x)=1√2x+1
Đặt √2x+1=u⇔2x+1=u2
⇒2dx=2udu⇔dx=udu
∫1√2x+1dx=∫uduu=∫du=u+C=√2x+1+C
4. Giải bài 3.4 trang 164 SBT Giải tích 12
Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:
a) ∫x23√1+x3dx với x>−1 (đặt t=1+x3 )
b) ∫xe−x2dx (đặt t=x2 )
c) ∫x(1+x2)2dx (đặt t=1+x2)
d) ∫1(1−x)√xdx (đặt t=√x)
e) ∫sin1x.1x2dx (đặt t=1x
g) ∫(lnx)2xdx (đặt t=√x )
h) ∫sinx3√cos2xdx (đặt t=cosx
Phương pháp giải
Nếu ∫f(u)du=F(u)+C và u=u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
∫f(u(x))u′(x)dx=F(u(x))+C
Hướng dẫn giải
a) ∫x23√1+x3dx với x>−1
Đặt t=1+x3 ⇒dt=3x2dx
Ta có:
∫x23√1+x3dx=13∫3√tdt=13.34t43+C=14(1+x3)43+C
b) ∫xe−x2dx
Đặt t=x2⇒dt=2xdx
∫xe−x2dx=∫e−tdt2=−e−t2+C=−e−x22+C
c) ∫x(1+x2)2dx
Đặt t=1+x2⇒dt=2xdx
∫x(1+x2)2dx=∫dt2t2=−12t+C=−12(1+x2)+C
d) ∫1(1−x)√xdx
Đặt t=√x⇒dt=dx2√x
=ln|1+t1−t|+C=ln|1+√x1−√x|+C
e) ∫sin1x.1x2dx
Đặt t=1x⇒dt=−dxx2
∫sin1x.1x2dx=−∫sint.dt=cost+C=cos1x+C
g) ∫(lnx)2xdx
Đặt t=lnx⇒dt=dxx
∫(lnx)2xdx=∫t2dt=t33+C=(lnx)33+C
h) ∫sinx3√cos2xdx
Đặt t=cosx⇒dt=−sinxdx
∫sinx3√cos2xdx=∫−dtt23=−3t13+C=−33√cosx+C
5. Giải bài 3.5 trang 164 SBT Giải tích 12
Áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:
a) ∫(1−2x)exdx
b) ∫xe−xdx
c) ∫xln(1−x)dx
d) ∫xsin2xdx
Phương pháp giải
Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì
∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−∫u′(x)v(x)dx
Hay ∫udv=uv−∫vdu
Hướng dẫn giải
a) I=∫(1−2x)exdx
Đặt {u=1−2xdv=exdx⇒{du=−2dxv=ex
Ta có:
I=(1−2x)ex+∫2exdx+C=ex−2xex+2ex+C=(3−2x)ex+C
b) J=∫xe−xdx
Đặt {u=xdv=e−xdx⇒{du=dxv=−e−x
Ta có:
I=−xe−x+∫e−xdx+C=−xe−x−e−x+C=−(1+x)e−x+C
c) G=∫xln(1−x)dx
Đặt {u=ln(1−x)dv=xdx⇒{du=1x−1dxv=x22
Ta có:
G=x22ln(1−x)−12∫x2x−1dx=x22ln(1−x)−12∫(x+1+1x−1)dx=x22ln(1−x)−12[x22+x+ln(1−x)]+C=x22ln(1−x)−12ln(1−x)−14x2−12x+C
d)Ta có:
H=∫xsin2xdx=∫x.1−cos2x2dx=x24−12∫xcos2xdx=x24−12I
Đặt {u=xdv=cos2xdx⇒{du=dxv=12sin2x
Suy ra:
I=12xsin2x−12∫sin2xdx=12xsin2x+14cos2x+C
Vậy H=x24−12(12xsin2x+14cos2x)+C
6. Giải bài 3.6 trang 164 SBT Giải tích 12
Tính các nguyên hàm sau:
a) ∫x(3−x)5dx
b) ∫(2x−3x)2dx
c) ∫x√2−5xdx
d) ∫ln(cosx)cos2xdx
e) ∫xsin2xdx
g) ∫x+1(x−2)(x+3)dx
h) ∫11−√xdx
i) ∫sin3xcos2xdx
Phương pháp giải
Phương pháp đổi biến số
Nếu ∫f(u)du=F(u)+C và u=u(x)) là hàm số có đạo hàm liên tục thì
∫f(u(x))u′(x)dx=F(u(x))+C
Phương pháp tính nguyên hàm từng phần: Nếu hai hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì
∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−∫u′(x)v(x)dx
Hay ∫udv=uv−∫vdu
Hướng dẫn giải
a) I1=∫x(3−x)5dx
Đặt 3−x=u⇒dx=−du, ta có:
I1=∫(u−3)u5du=∫(u6−3u5)du=17u7−12u6+C=17(3−x)7−12(3−x)6+C
b) Ta có:
∫(2x−3x)2dx=∫(22x−2.2x3x+32x)dx=∫4xdx−2∫6xdx+∫9xdx=4xln4−26xln6+9xln9+C
c) I2=∫x√2−5xdx
Đặt √2−5x=u⇒2−5x=u2⇒dx=−25udu
Ta có: x=2−u5 nên
I2=−∫2−u5.u.25udu=∫(−425u2+225u3)du=−475u3+150u4+C=−475(2−5x)32+150(2−5x)2+C
c) I3=∫ln(cosx)cos2xdx
Đặt {u=ln(cosx)dv=1cos2xdx⇒{du=−sinxcosxdxv=tanx
Ta có:
I3=tanxln(cosx)+∫tanx.sinxcosxdx=tanxln(cosx)+∫sin2xcos2xdx=tanxln(cosx)+∫1−cos2xcos2xdx=tanxln(cosx)+∫(1cos2x−1)dx=tanxln(cosx)+tanx−x+C
e) I4=∫xsin2xdx
Đặt {u=xdv=1sin2xdx⇒{du=dxv=−cotx
Ta có:
I4=−xcotx+∫cotxdx=−xcotx+∫cosxsinxdx
Đặt t=sinx⇒dt=cosxdx. Suy ra:
I4=−xcotx+∫dtt=−xcotx+ln|t|+C=−xcotx+ln|sinx|+C
g) I5=∫x+1(x−2)(x+3)dx
Ta có: x+1(x−2)(x+3)=35(x−2)+25(x+3)
Khi đó:
I5=∫35(x−2)dx+∫25(x+3)dx=35ln|x−2|+25ln|x+3|+C\
h) I6=∫11−√xdx
Đặt u=√x⇒u2=x⇒dx=2udu
Ta có:
I6=∫2udu1−u=∫(−2+21−u)du=−2u+2ln|1−u|+C=−2√x+2ln|1−√x|+C
i) ∫sin3xcos2xdx=12∫(sinx+sin5x)dx=−12(cosx+15cos5x)+C
7. Giải bài 3.7 trang 164 SBT Giải tích 12
Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác, hãy tính:
a) ∫sin4dx
b) ∫1sin3xdx
c) ∫sin3xcos4xdx
d) ∫sin4xcos4xdx
Phương pháp giải
a) Hạ bậc đưa về dạng tổng rồi tính nguyên hàm, sử dụng công thức nguyên hàm hàm số cơ bản ∫coskxdx=sinkxk+C
b) Nhân cả tử và mẫu của biểu thức dưới dấu nguyên hàm với sin x rồi đổi biến t = cos x để tìm nguyên hàm.
c) Đổi biến u = cos x tính nguyên hàm.
d) Hạ bậc (sử dụng công thức nhân đôi) và tính nguyên hàm.
Hướng dẫn giải
a)Ta có:
sin4x=(1−cos2x2)2=14(1−2cos2x+cos22x)=14(1−2cos2x+1+cos4x2)=14(32−2cos2x+cos4x2)
Suy ra:
∫sin4xdx=14∫(32−2cos2x+cos4x2)dx=14∫32dx−12∫cos2xdx+18∫cos4xdx=38x−14sin2x+132sin4x+C
b) I=∫1sin3xdx=∫sinxsin4xdx=∫sinx(1−cos2x)2dx
Đặt u=cosx⇒du=−sinxdx. Suy ra: I=−∫du(1−u2)2
Ta có:
21−u2=11−u+11+u⇒4(1−u2)2=(11−u+11+u)2=1(1−u)2+2(1−u)(1+u)+1(1+u)2=1(1−u)2+1(1+u)2+11−u+11+u
Do đó:
I=−14∫[1(1−u)2+1(1+u)2+11−u+11+u]du=−14∫du(u−1)2−14∫du(1+u)2−14∫du1−u−14∫du1+u=14.1u−1+14.1u+1+14.ln|1−u|−14ln|1+u|+C=14.2uu2−1+14.ln|1−u1+u|+C=−cosx2sin2x+14.ln|1−cosx1+cosx|+C=−cosx2sin2x+12ln|tanx2|+C
c) J=∫sin3xcos4xdx=∫(1−cos2x)cos4xsinxdx
Đặt u=cosx⇒du=−sinxdx
Ta có:
J=−∫(1−u2)u4du=−∫(u4−u6)du=−15u5+17u7+C=−15cos5x+17cos7x+C
d)
sin4xcos4x=(sinxcosx)4=(12sin2x)4=116(1−cos4x2)2=164(1−2cos4x+cos24x)=164(32−2cos4x+12cos8x)
Ta có:
∫sin4xcos4xdx=164∫(32−2cos4x+12cos8x)dx=164(32x−12sin4x+116sin8x)+C
8. Giải bài 3.8 trang 165 SBT Giải tích 12
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số
f(x)=11+sinx?
a) F(x)=1−cot(x2+π4)
b) G(x)=2tanx2
c) H(x)=ln(1+sinx)
d) K(x)=2(1−11+tanx2)
Phương pháp giải
Lấy đạo hàm mỗi hàm số đã cho và kiểm tra.
Hướng dẫn giải
Ta có:
∫11+sinxdx=∫1(sinx2+cosx2)2dx=∫12sin2(x2+π4)dx=−cot(x2+π4)+C
Vậy F(x)=1−cot(x2+π4)là một nguyên hàm của hàm số f(x).
G′(x)=1tanx2=cosx2sinx2=2cos2x2sinx nên G(x) không là nguyên hàm của hàm số f(x)
H′(x)=(1+sinx)′1+sinx=cosx1+sinx nên H(x) không là nguyên hàm của hàm số f(x).
K′(x)=2.(1+tanx2)′(1+tanx2)2=2.12cos2x2(cosx2+sinx2cosx2)2=1(cosx2+sinx2)2=11+sinx
Vậy K(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).
9. Giải bài 3.9 trang 165 SBT Giải tích 12
Tính các nguyên hàm sau đây:
a) ∫(x+lnx)x2dx
b) ∫(x+sin2x)sinxdx
c) ∫(x+ex)e2xdx
d) ∫(x+sinx)dxcos2x
Phương pháp giải
Tính nguyên hàm bằng công thức từng phần ∫udv=uv−∫vdu
Hướng dẫn giải
a) I=∫(x+lnx)x2dx
Đặt {u=x+lnxdv=x2dx⇒{du=1+1xv=13x3
Ta có:
I=13x3(x+lnx)−13∫x3(1+1x)dx=13x4+13x3lnx−13∫(x3+x2)=13x4+13x3lnx−13(14x4+13x3)+C=14x4−19x3+13x3lnx+C
b) J=∫(x+sin2x)sinxdx
Đặt {u=x+sin2xdv=sinxdx⇒{du=1+2sinxcosxv=−cosx
Ta có:
J=−cosx(x+sin2x)+∫cosx(1+2sinxcosx)dx=−xcosx−cosxsin2x+∫cosxdx+2∫cos2xsinxdx=−xcosx−cosxsin2x+sinx−2∫cos2xd(cosx)=−xcosx−cosxsin2x+sinx−23cos3x+C
c) K=∫(x+ex)e2xdx
Đặt {u=x+exdv=e2xdx⇒{du=1+exv=12e2x
Ta có:
K=12(x+ex)e2x−12∫e2x(1+ex)dx=12(x+ex)e2x−12∫(e2x+e3x)dx=12xe2x+12e3x−14e2x−16e3x+C=12xe2x+13e3x−14e2x+C
d) F=∫(x+sinx)dxcos2x
Đặt {u=x+sinxdv=dxcos2x⇒{du=1+cosxv=tanx
Ta có:
F=(x+sinx)tanx−∫(1+cosx)tanxdx=(x+sinx)tanx−∫(sinxcosx+sinx)dx=(x+sinx)tanx+ln|cosx|+cosx+C
10. Giải bài 3.10 trang 165 SBT Giải tích 12
Cho F′(x)=f(x),C là hằng số dương tùy ý. Khi đó ∫f(x)dx bằng:
A. F(x)+C
B. F(x)−C
C. F(x)+lnC
D. F(x+C)
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất nguyên hàm: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x)+C với C là một số thực tùy ý cũng là một nguyên hàm của (x).
Hướng dẫn giải
Đáp án C đúng nhất vì lnC mới là số thực tùy ý.
D sai vì không cộng hằng số C vào biến
A và B không đúng vì không khẳng định được C là hằng số dương tùy ý
11. Giải bài 3.11 trang 165 SBT Giải tích 12
Hãy chỉ ra kết quả sai khi tính ∫sinxcosxdx
A. sin2x2+C
B. −cos2x2+C
C. −cos2x4+C
D. cos2x2+C
Phương pháp giải
Tìm một nguyên hàm của sin xcos x rồi nhận xét các đáp án còn lại.
Sử dụng định lý: Nếu F(x) là một nguyên hàm của (x) thì F(x)+C với C là một số thực tùy ý cũng là một nguyên hàm của ( x )
Hướng dẫn giải
∫sinxcosxdx=∫sinxd(sinx)=sin2x2+C(A đúng)=−cos2x2+C(B đúng và D sai)=−12.1+cos2x2+C=−cos2x4+C(C đúng)
Vậy chọn đáp án D
12. Giải bài 3.12 trang 165 SBT Giải tích 12
∫xe2xdx bằng
A. ∫e2x(x−2)2+C
B. ∫e2x+12+C
C . ∫e2x(x−1)2+C
D . ∫e2x(2x−1)4+C
Phương pháp giải
Tính nguyên hàm bằng công thức từng phần ∫udv=uv−∫vdu
Hướng dẫn giải
Đặt {u=xdv=e2xdx⇒{du=dxv=12e2x
Ta có:
∫xe2xdx=12xe2x−12∫e2xdx=12xe2x−14e2x+C=e2x(2x−1)4+C
Chọn đáp án D
13. Giải bài 3.13 trang 166 SBT Giải tích 12
∫(x+1)sinxdxbằng
A. (x+1)cosx+sinx+C
B. −(x+1)cosx+sinx+C
C. −(x+1)sinx+cosx+C
D. (x+1)cosx−sinx+C
Phương pháp giải
Tính nguyên hàm bằng công thức từng phần ∫udv=uv−∫vdu
Hướng dẫn giải
Đặt {u=x+1dv=sinxdx⇒{du=dxv=−cosx
∫(x+1)sinxdx=−(x+1)cosx+∫cosxdx=−(x+1)cosx+sinx+C
Chọn đáp án B
14. Giải bài 3.14 trang 166 SBT Giải tích 12
∫xln(x+1)dx bằng:
A. (x22−1)ln(x+1)+14(x−1)2+C
B. (x22−1)ln(x+1)−12(x−1)2+C
C. (x22−12)ln(x+1)−14(x−1)2+C
D. (x22+1)ln(x+1)−14(x−1)2+C
Phương pháp giải
Tính nguyên hàm bằng công thức từng phần ∫udv=uv−∫vdu
Hướng dẫn giải
Đặt {u=ln(x+1)dv=xdx⇒{du=dxx+1v=12x2
Ta có:
∫xln(x+1)dx=12x2ln(x+1)−12∫x2x+1dx=12x2ln(x+1)−12∫(x−1+1x+1)dx=12x2ln(x+1)−12(x22−x+ln|x+1|)+C=(x22−12)ln(x+1)−x24+x2+C=(x22−12)ln(x+1)−14(x−1)2+C
Chọn đáp án C.
15. Giải bài 3.15 trang 166 SBT Giải tích 12
∫x √x−1dx bằng :
A. (x−1)52+(x−1)32+C
B. 215[3(x−1)52−5(x−1)32]+C
C. 215[3(x−1)52+5(x−1)32]+C
D. 115[3(x−1)52+5(x−1)32]+C
Phương pháp giải
Đổi biến t=√x−1 và tính nguyên hàm.
Hướng dẫn giải
∫x√x−1dx=∫(x−1)√x−1dx+∫√x−1dx=25(x−1)52+23(x−1)32+C=215[3(x−1)52+5(x−1)32]+C
Chọn đáp án C
Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Nguyên hàm Toán 12 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.