Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 3: Phép chia số phức

Thực hiện các phép tính sau :
\(\begin{align} & a)\,\dfrac{\left( 2+i \right)+\left( 1+i \right)\left( 4-3i \right)}{3+2i}; \\ & b)\dfrac{\left( 3-4i \right)\left( 1+2i \right)}{1-2i}+4-3i \\ \end{align} \)

Phương pháp giải

Áp dụng công thức: \(\dfrac{a+bi}{c+di}=\dfrac{\left( a+bi \right)\left( c-di \right)}{{{c}^{2}}+{{d}^{2}}} \)

Hướng dẫn giải

\(\begin{aligned} & a)\,\dfrac{\left( 2+i \right)+\left( 1+i \right)\left( 4-3i \right)}{3+2i} \\ & =\dfrac{2+i+7+i}{3+2i} \\ & =\dfrac{9+2i}{3+2i} \\ & =\dfrac{\left( 9+2i \right)\left( 3-2i \right)}{9+4} \\ & =\dfrac{31-12i}{13}=\dfrac{31}{13}-\dfrac{12}{13}i; \\ & b)\dfrac{\left( 3-4i \right)\left( 1+2i \right)}{1-2i}+4-3i \\ & =\dfrac{11+2i}{1-2i}+4-3i \\ & =\dfrac{\left( 11+2i \right)\left( 1+2i \right)}{1+4}+4-3i \\ & =\dfrac{7+24i}{5}+4-3i \\ & =\dfrac{27}{5}+\dfrac{9}{5}i \\ \end{aligned} \)

Giải các phương trình sau trên tập số phức :
\(\begin{align} & a)\left( 3+4i \right)x=\left( 1+2i \right)\left( 4+i \right) \\ & b)2ix+3=5x+4i \\ & c)\,3x\left( 2-i \right)+1=2ix\left( 1+i \right)+3i \\ \end{align} \)

Phương pháp giải

Biến đổi tương đương phương trình, áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân và chia số phức.

Hướng dẫn giải

\(\begin{aligned} & a)\,\left( 3+4i \right)x=\left( 1+2i \right)\left( 4+i \right) \\ & \Leftrightarrow \left( 3+4i \right)x=2+9i \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{2+9i}{3+4i} \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{\left( 2+9i \right)\left( 3-4i \right)}{25} \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{42}{25}+\dfrac{19}{25}i \\ \end{aligned} \\ \begin{aligned} & b)\,2ix+3=5x+4i \\ & \Leftrightarrow \left( 5-2i \right)x=3-4i \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{3-4i}{5-2i}=\dfrac{\left( 3-4i \right)\left( 5+2i \right)}{25+4} \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{23}{29}-\dfrac{14}{29}i \\ \end{aligned} \\ \begin{aligned} & c)3x\left( 2-i \right)+1=2ix\left( 1+i \right)+3i \\ & \Leftrightarrow \left[ 3\left( 2-i \right)-2i\left( 1+i \right) \right]x=-1+3i \\ & \Leftrightarrow \left( 8-5i \right)x=-1+3i \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{-1+3i}{7-5i}=\dfrac{-23}{89}+\dfrac{19}{89}i \\ \end{aligned} \)

Tìm nghịch đảo của số phức sau

\(\begin{align} & a)\,\sqrt{2}-i\sqrt{3} \\ & b)i \\ & c)\,\dfrac{1+i\sqrt{5}}{3-2i} \\ & d){{\left( 3+i\sqrt{2} \right)}^{2}} \\ \end{align} \)

Phương pháp giải

Tìm số phức nghịch đảo \(\dfrac{1}{z}\) bằng cách nhân với số phức liên hợp và rút gọn.

Hướng dẫn giải

\(\begin{aligned} & a)\dfrac{1}{\sqrt{2}-i\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{2}+i\sqrt{3}}{2+3}=\dfrac{\sqrt{2}}{5}+\dfrac{\sqrt{3}}{5}i \\ & b)\dfrac{1}{i}=-i \\ & c)\dfrac{3-2i}{1+i\sqrt{5}}=\dfrac{\left( 3-2i \right)\left( 1-i\sqrt{5} \right)}{1+5}=\dfrac{3-2\sqrt{5}}{6}-\dfrac{3\sqrt{5}+2}{6}i \\ & d)\dfrac{1}{{{\left( 3+i\sqrt{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{7+6i\sqrt{2}}=\dfrac{7-6i\sqrt{2}}{121}=\dfrac{7}{121}-\dfrac{6\sqrt{2}}{121}i \\ \end{aligned}\)

Giải phương trình sau trên tập số phức \(\left( 1-i \right)z+\left( 2-i \right)=4-5i \)

Phương pháp giải

Biến đổi chuyển vế, đổi dấu và thực hiện các phép toán cộng, trừ, chia số phức.

Hướng dẫn giải

\(\begin{aligned} & \left( 1-i \right)z+\left( 2-i \right)=4-5i \\ & \Leftrightarrow \left( 1-i \right)z=2-4i \\ & \Leftrightarrow z=\dfrac{2-4i}{1-i} \\ & \Leftrightarrow z=\dfrac{\left( 2-4i \right)\left( 1+i \right)}{2}=3-i \\ \end{aligned}\)

Tìm các số phức \(2z+\overline{z} \) và \(\dfrac{25i}{z}\)  biết rằng \(\dfrac{25i}{z}\)

Phương pháp giải

Tìm số phức liên hợp \(\overline z = a - bi\), thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia số phức.

Hướng dẫn giải

\(z=3-4i\Rightarrow \overline{z}=3+4i \\ \begin{aligned} & 2z+\overline{z}=2\left( 3-4i \right)+\left( 3+4i \right)=9-4i \\ & \dfrac{25i}{z}=\dfrac{25i}{3-4i}=\dfrac{25i\left( 3+4i \right)}{25}=-4+3i \\ \end{aligned}\)

Cho \(z\in \mathbb{C}\) . Mệnh đề nào sau đây sai?
\(\begin{align} & A.\,\dfrac{1}{z}\in \mathbb{R}\Leftrightarrow z\in \mathbb{R} \\ & B.\,\dfrac{1}{z}\,\,\text{thuần ảo}\Leftrightarrow \,\text{z}\,\text{thuần ảo} \\ & C.\dfrac{1}{z}=\overline{z}\Leftrightarrow \left| z \right|=1 \\ & D.\left| \dfrac{1}{z} \right|=\left| z \right|\Leftrightarrow z\in \mathbb{R} \\ \end{align}\)

Phương pháp giải

Đặt z = a + bi và kiểm tra tính đúng sai của từng đáp án.

Hướng dẫn giải

\(z=a+bi,\,\,\,a,b\in \mathbb{R} \)
A. \(\dfrac{1}{z}=\dfrac{a-bi}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\in \mathbb{R}\Rightarrow b=0\Leftrightarrow z\in \mathbb{R} \). A đúng
B. \(\dfrac{1}{z}=\dfrac{a-bi}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \) thuần ảo. Suy ra \(a=0\), \(z\) thuần ảo. B đúng
C. \(\dfrac{1}{z}=\dfrac{a-bi}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=a-bi\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1\Leftrightarrow \left| z \right|=1\) . C đúng
D. \(\left| \dfrac{1}{z} \right|=\left| \dfrac{a-bi}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \right|=\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}}=1\) D. sai

Chọn D

Cho \(z=a+bi\in \mathbb{C}\), biết \(\dfrac{z}{\overline{z}} \in \mathbb R\). Kết luận nào sau đây đúng?
\(\begin{align} & A.a=0 \\ & B.b=0 \\ & C.a=b \\ & D.ab=0 \\ \end{align} \)

Phương pháp giải

Tính \(\overline z\) và \(\dfrac{z}{{\overline z }}\) rồi sử dụng lý thuyết số phức \(x + yi \in \mathbb{R} \Leftrightarrow y = 0\)

Hướng dẫn giải

\(\dfrac{z}{\overline{z}}=\dfrac{a+bi}{a-bi}=\dfrac{\left( a+bi \right)\left( a+bi \right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\dfrac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2abi}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \in \mathbb R\)
Suy ra \(ab=0\)
Chọn D.

Cho \(z=a+bi\in \mathbb{C}\), biết \( \dfrac{z}{\overline{z}}\) là một số thuần ảo. Kết luận nào sau đây đúng?
\(\begin{align} & A.a=0 \\ & B.b=0 \\ & C.a=b \\ & D.a=b\,\text{hoặc}\,a=-b \\ \end{align} \)

Phương pháp giải

Tính \(\overline z \) và \(\dfrac{z}{{\overline z }}\) rồi sử dụng lý thuyết số phức x + yi là số thuần ảo nếu x = 0.

Hướng dẫn giải

\(\dfrac{z}{\overline{z}}=\dfrac{a+bi}{a-bi}=\dfrac{\left( a+bi \right)\left( a+bi \right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\dfrac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+2abi}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \) là số thuần ảo
Suy ra \({{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow a=\pm b \)
Chọn D.