Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 3: Lôgarit

Dựa theo cấu trúc SBT Toán 12, eLib xin mời các em học sinh tham khảo giải bài tập bài Lôgarit trang 109, 110. Với các bài tập có lời giải chi tiết tương ứng với từng bài, hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu giúp các em học tập tốt hơn.

Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 3: Lôgarit

1. Giải bài 2.15 trang 109 SBT Giải tích 12

Tính

\(a)\,\dfrac 1 2\log_7{36}-\log_7{14}-3\log_7{\sqrt[3]{21}}\)

\(b)\,\dfrac{\log_2{24}-\dfrac 1 2 \log_272}{\log_318-\dfrac1 3\log _372}\)

\(c)\,\dfrac{\log_24+\log_2\sqrt{10}}{\log_2{20}+3\log_22}\)

Phương pháp giải

Sử dụng các tính chất của logarit.

Hướng dẫn giải

a)

\(\,\,\,\,\,\dfrac 1 2\log_7{36}-\log_7{14}-3\log_7{\sqrt[3]{21}}\\ =\log_7\sqrt{36}-\log_714-3.\dfrac 1 3 \log_721\\ =\log_76-\log_714-\log_721\\ =\log_7{\dfrac{6}{14.21}}=\log_7{\dfrac 1 {49}}=-2\)

b)

\(\begin{align} & \dfrac{{{\log }_{2}}24-{{\log }_{2}}\sqrt{72}}{{{\log }_{3}}18-{{\log }_{3}}\sqrt[3]{72}} \\ & =\dfrac{{{\log }_{2}}\dfrac{24}{\sqrt{72}}}{{{\log }_{3}}\dfrac{18}{\sqrt[3]{72}}} \\ & =\dfrac{{{\log }_{2}}\dfrac{24}{3\sqrt{8}}}{{{\log }_{3}}\dfrac{18}{2\sqrt[3]{9}}} \\ & =\dfrac{{{\log }_{2}}\dfrac{8}{\sqrt{8}}}{{{\log }_{3}}\dfrac{9}{\sqrt[3]{9}}} \\ & =\dfrac{{{\log }_{2}}{{2}^{3-\frac{3}{2}}}}{{{\log }_{3}}{{3}^{2-\frac{2}{3}}}}=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{9}{8} \\ \end{align}\)

c)

\(\dfrac{\log_24+\log_2\sqrt{10}}{\log_2{20}+3\log_22}\\ \begin{align} & =\frac{{{\log }_{2}}\left( 4.\sqrt{10} \right)}{{{\log }_{2}}\left( {{20.2}^{3}} \right)} \\ & =\frac{{{\log }_{2}}\left( {{2}^{2}}{{.2}^{\frac{1}{2}}}{{.5}^{\frac{1}{2}}} \right)}{{{\log }_{2}}\left( {{2}^{2}}{{.5.2}^{3}} \right)} \\ & =\frac{{{\log }_{2}}{{2}^{\frac{5}{2}}}+{{\log }_{2}}{{5}^{\frac{1}{2}}}}{{{\log }_{2}}{{2}^{5}}+{{\log }_{2}}5} \\ & =\frac{\dfrac{1}{2}\left( {{\log }_{2}}{{2}^{5}}+{{\log }_{2}}5 \right)}{{{\log }_{2}}{{2}^{5}}+{{\log }_{2}}5}=\frac{1}{2} \\ \end{align} \)

2. Giải bài 2.16 trang 109 SBT Giải tích 12

Tìm x, biết:

\(a)\,\log_5x=2\log_5a-3\log_5b\)

\(b)\,\log_{\frac 1 2}x=\dfrac 2 3\log_{\frac 1 2 }a-\dfrac 1 5 \log_{\frac 1 2}b\)

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình đã cho về cùng cơ số và sử dụng lý thuyết \(\displaystyle{\log _a}m = {\log _a}n \Leftrightarrow m = n\)

Hướng dẫn giải

a)

\(\begin{align} & {{\log }_{5}}x=2{{\log }_{5}}a-3{{\log }_{5}}b \\ & \Leftrightarrow {{\log }_{5}}x={{\log }_{5}}{{a}^{2}}-{{\log }_{5}}{{b}^{3}} \\ & \Leftrightarrow {{\log }_{5}}x={{\log }_{5}}\dfrac{{{a}^{2}}}{{{b}^{3}}} \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{{{a}^{2}}}{{{b}^{3}}} \\ \end{align} \)

b)

\(\begin{align} & {{\log }_{\frac{1}{2}}}x=\dfrac{2}{3}{{\log }_{\frac{1}{2}}}a-\dfrac{1}{5}{{\log }_{\frac{1}{2}}}b \\ & \Leftrightarrow {{\log }_{\frac{1}{2}}}x={{\log }_{\frac{1}{2}}}{{a}^{\frac{2}{3}}}-{{\log }_{\frac{1}{2}}}{{b}^{\frac{1}{5}}} \\ & \Leftrightarrow {{\log }_{\frac{1}{2}}}x={{\log }_{\frac{1}{2}}}\dfrac{{{a}^{\frac{2}{3}}}}{{{b}^{\frac{1}{5}}}} \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{{{a}^{\frac{2}{3}}}}{{{b}^{\frac{1}{5}}}}=\dfrac{\sqrt[3]{{{a}^{2}}}}{\sqrt[5]{b}} \\ \end{align} \)

3. Giải bài 2.17 trang 109 SBT Giải tích 12

a) Cho \( a = \log_315, b=\log_310\). Hãy tính \(\log_{\sqrt 3}50\), theo a và b

b) Cho \(a =\log_2 3, b=\log_3 5, c=\log_7 2\). Hãy tính \(\log_{140}63\) theo \(a, b, c.\)

Phương pháp giải

Thu gọn các số \(\displaystyle a,b\), từ đó biến đổi biểu thức cần tính giá trị về làm xuất hiện (a,b).

Hướng dẫn giải

a)

\(\begin{align} & {{\log }_{\sqrt{3}}}50=2.{{\log }_{3}}50=2.\left( {{\log }_{3}}5+{{\log }_{3}}10 \right) \\ & =2.\left( {{\log }_{3}}\dfrac{15}{3}+{{\log }_{3}}10 \right) \\ & =2.\left( {{\log }_{3}}15+{{\log }_{3}}10-{{\log }_{3}}3 \right) \\ & =2\left( a+b-1 \right) \\ \end{align}\)

b)

\(\begin{align} & {{\log }_{140}}63=\dfrac{{{\log }_{2}}63}{{{\log }_{2}}140} \\ & =\dfrac{{{\log }_{2}}\left( 9.7 \right)}{{{\log }_{2}}\left( {{2}^{2}}.5.7 \right)}=\dfrac{2{{\log }_{2}}3+{{\log }_{2}}7}{{{\log }_{2}}{{2}^{2}}+{{\log }_{2}}5+{{\log }_{2}}7} \\ & =\dfrac{2{{\log }_{2}}3+\dfrac{1}{{{\log }_{7}}2}}{2+\dfrac{{{\log }_{3}}5}{{{\log }_{3}}2}+\dfrac{1}{{{\log }_{7}}2}} \\ & =\dfrac{2a+\dfrac{1}{c}}{2+ab+\dfrac{1}{c}}=\dfrac{\dfrac{2ac+1}{c}}{\dfrac{2c+abc+1}{c}}=\dfrac{2{{a}}c+1}{abc+2c+1} \\ \end{align}\)

4. Giải bài 2.18 trang 109 SBT Giải tích 12

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau :

A. \( \log_3\dfrac 6 5 < \log_3\dfrac 5 6\)

B. \( \log_{\frac 1 3}17 > \log_{\frac 1 3}9\)

C. \(\log_{\frac 1 2}e<\log_{\frac 1 2}\pi\)

D. \(\log_2\dfrac{\sqrt 5} 2 > \log_2\dfrac{\sqrt 3} 2\)

Phương pháp giải

Với \(a > 1\)

\(b>c\Rightarrow \log_ab>\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab<\log_ac\)

Với \(0< a<1\)

\(b>c\Rightarrow \log_ab<\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab>\log_ac\)

Hướng dẫn giải

Vì 3 > 1 và \(\dfrac 6 5 > \dfrac 5 6\) nên \( \log_3\dfrac 6 5 >\log_3\dfrac 5 6\) 

A - sai

Vì \(0<\dfrac 1 3 <1\) nên \( \log_{\frac 1 3}17 < \log_{\frac 1 3}9\) 

B - sai

Vì \(0<\dfrac 1 2 <1\) và \(e< \pi\) nên  \(\log_{\frac 1 2}e>\log_{\frac 1 2}\pi\)

C - sai

Vì 2 > 1 và \(\dfrac{\sqrt 5} 2 > \dfrac{\sqrt 3} 2\) nên \(\log_2\dfrac{\sqrt 5} 2 > \log_2\dfrac{\sqrt 3} 2\)

D - đúng

Chọn D.

5. Giải bài 2.19 trang 109 SBT Giải tích 12

Tính giá trị bằng số của biểu thức \(\log_{a^2}a\,\,\,(a>0, a\ne 1)\)

A. 2

B. -2

C. \(\dfrac 1 2\)

D. \(-\dfrac 1 2\)

Phương pháp giải

Với \(a > 1\)

\(b>c\Rightarrow \log_ab>\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab<\log_ac\)

Với \(0< a<1\)

\(b>c\Rightarrow \log_ab<\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab>\log_ac\)

Hướng dẫn giải

\(\log_{a^2}a=\dfrac 1 2 \log_aa=\dfrac 1 2\)

Chọn C.

6. Giải bài 2.20 trang 109 SBT Giải tích 12

Tính giá trị bằng số của biểu thức \(\ln\dfrac 1 e\)

A. 1

B. -1

C. \(\dfrac 1 e\)

D. \(-\dfrac 1 e\)

Phương pháp giải

Áp dụng

\(\ln e=1\\ a^{\log_ab}=b\)

Hướng dẫn giải

\(\ln\dfrac 1 e =\ln {e^{-1}}=-1\ln e=-1\)

Chọn B

7. Giải bài 2.21 trang 109 SBT Giải tích 12

Tính giá trị bằng số của biểu thức \(9^{\log_32}\)

A. 2

B. 4

C. \(\dfrac 1 3\)

D. \( \dfrac 1 2\)

Phương pháp giải

Áp dụng

\(\ln e=1\\ a^{\log_ab}=b\)

Hướng dẫn giải

\(9^{\log_32}=(3^2)^{\log_32}=(3^{\log_32})^2=2^2=4\)

Chọn B

8. Giải bài 2.22 trang 110 SBT Giải tích 12

Tính giá trị bằng số của biểu thức \(4^{\log_{\sqrt 2}3}\)

A. 81

B. 9

C. \(\dfrac 1 3\)

D. \(\dfrac 1 {27}\)

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \(\displaystyle {a^{{{\log }_a}b}} = b\)\(\displaystyle {\log _{{a^n}}}b = \frac{1}{n}{\log _a}b\) với \(\displaystyle 0 < a \ne 1,b > 0\)

Hướng dẫn giải

\({{4}^{{{\log }_{\sqrt{2}}}3}}={{\left( {{2}^{2}} \right)}^{2{{\log }_{2}}3}}={{2}^{4{{\log }_{2}}3}}={{\left( {{2}^{{{\log }_{2}}3}} \right)}^{4}}={{3}^{4}}=81\)

Chọn A.

9. Giải bài 2.23 trang 110 SBT Giải tích 12

Tìm số dương trong các số sau đây.

A. \( \log_{\frac 2 e}1,25\)

B. \(\log_{\frac 1 3}0,25\)

C. \( \ln \dfrac 1 {e^2}\)

D. \(\log_{\frac 1 e} 3\)

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất so sánh logarit:

+ Nếu \(\displaystyle a > 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}m < {\log _a}n \Leftrightarrow m < n\)

+ Nếu  0 < a < 1 thì \(\displaystyle {\log _a}m < {\log _a}n \Leftrightarrow m > n\)

Hướng dẫn giải

\(\dfrac 2 e < 1\Rightarrow \log_{\frac 2 e}1,25<\log_{\frac 2 e }1=0\)

\(\dfrac 1 3 < 1\Rightarrow {{\log }_{\frac{1}{3}}}0,25>{{\log }_{\frac{1}{3}}}1=0 \)

\(\ln \dfrac{1}{{{e}^{2}}}=\ln {{e}^{-2}}=-2 \)

\(\dfrac 1 e < 1\Rightarrow{{\log }_{\frac{1}{e}}}3<{{\log }_{\frac{1}{e}}}1=0 \)

Chọn B

10. Giải bài 2.24 trang 110 SBT Giải tích 12

Tìm số âm trong các số sau đây

A. \( \log_2 3\)

B. \(\ln\sqrt e\)

C. \( \lg 2,5\)

D. \( \log_30,3\)

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất so sánh logarit:

+ Nếu \(\displaystyle a > 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}m < {\log _a}n \Leftrightarrow m < n\)

+ Nếu  0 < a < 1 thì \(\displaystyle {\log _a}m < {\log _a}n \Leftrightarrow m > n\)

Hướng dẫn giải

\(\log_23>\log_21=0\\ \ln\sqrt e=\dfrac 1 2\\ \lg2,5>\lg1=0\\ \log_30,3=\log_3\dfrac 3 {10}=\log_33-\log_3{10}<0\)

Chọn D.

11. Giải bài 2.25 trang 110 SBT Giải tích 12

Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. \(\log_23> \log_3 2\)

B. \(\log_{\frac 1 2}4=\log_3\dfrac 1 9\)

C. \( \log_43<\log_34\)

D. \(\log_23<\log_34\)

Phương pháp giải

Với \(a > 1\)

\(b>c\Rightarrow \log_ab>\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab<\log_ac\)

Với \(0< a<1\)

\(b>c\Rightarrow \log_ab<\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab>\log_ac\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{align} & {{\log }_{2}}3>{{\log }_{2}}2=1 \\ & {{\log }_{3}}2<{{\log }_{3}}3=1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{\log }_{2}}3>{{\log }_{3}}2 \\ & \left\{ \begin{aligned} & {{\log }_{\frac{1}{2}}}4=-{{\log }_{2}}4=-2 \\ & {{\log }_{3}}\dfrac{1}{9}=-2 \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow {{\log }_{\dfrac{1}{2}}}4={{\log }_{3}}\dfrac{1}{9} \\ & {{\log }_{4}}3<1<{{\log }_{3}}4 \\ \end{aligned} \)

Chọn D

12. Giải bài 2.26 trang 110 SBT Giải tích 12

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau :

A. \(4^{\log_2 3}<4^{\log_32}\)

B. \(\log_24=\log_4 2\)

C. \(\log_3\dfrac 3 5>\log_3\dfrac 2 3\)

D. \(\log_{\frac 3 4} 5>\log_{\frac 3 4}6\)

Phương pháp giải

Với \(a > 1\)

\(b>c\Rightarrow \log_ab>\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab<\log_ac\)

Với \(0< a<1\)

\(b>c\Rightarrow \log_ab<\log_ac\\ b< c\Rightarrow \log_ab>\log_ac\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{align} & {{\log }_{2}}3>{{\log }_{3}}2\Leftrightarrow {{4}^{{{\log }_{2}}3}}>{{4}^{{{\log }_{3}}2}} \\ & {{\log }_{2}}4=2>{{\log }_{4}}2=\frac{1}{2} \\ & \frac{3}{4}<1\Rightarrow {{\log }_{\frac{3}{4}}}5>{{\log }_{\frac{3}{4}}}6 \\ \end{align} \)

Chọn D

Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Lôgarit Toán 12 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.

Trắc Nghiệm

Ngày:22/10/2020 Chia sẻ bởi:

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM