Giải bài tập SBT Toán 12 Bài 4: Đường tiệm cận

Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) \(y=\dfrac{2x-1}{x+2}\)

b) \(y=\dfrac{3-2x}{3x+1}\)

c) \(y=\dfrac{5}{2-3x}\)

d) \(y=\dfrac{-4}{x+1}\)

Phương pháp giải

- Tiệm cận đứng: Đường thẳng x = x₀ được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu nó thỏa mãn một trong 4 điều kiện sau:

\(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y = - \infty \end{array} \right.\)

- Tiệm cận ngang: Đường thẳng y = y₀ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau: 

\(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = {y_0}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = {y_0}\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

a) \(y=\dfrac{2x-1}{x+2} \)
Ta có \(\underset{x\to -{{2}^{+}}}{\mathop{lim }}\,\dfrac{2x-1}{x+2}=-\infty ,\,\,\underset{x\to -{{2}^{-}}}{\mathop{lim }}\,\dfrac{2x-1}{x+2}=+\infty\)  nên đường thẳng \(x=-2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vì \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{lim }}\,\dfrac{2x-1}{x+2}=\,\,\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{lim }}\,\dfrac{2-\dfrac{1}{x}}{2+\dfrac{2}{x}}=2\) nên đường thẳng \(y=2\)  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
b) Từ \(\underset{x\to {{\left( -\frac{1}{3} \right)}^{+}}}{\mathop{lim }}\,\dfrac{3-2x}{3x+1}=+\infty ,\,\,\underset{x\to {{\left( -\frac{1}{3} \right)}^{-}}}{\mathop{lim }}\,\dfrac{3-2x}{3x+1}=-\infty\) , ta có \(x=-\dfrac{1}{3}\) là tiệm cận đứng.
Vì \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{lim }}\,\dfrac{3-2x}{3x+1}=\,\,\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{lim }}\,\dfrac{\dfrac{3}{x}-2}{3+\dfrac{1}{x}}=-\dfrac{2}{3}\) nên đường thẳng \(y=-\dfrac{2}{3}\)  là tiệm cận ngang.
c) Vì  \(\underset{x\to {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{+}}}{\mathop{lim }}\,\dfrac{5}{2-3x}=-\infty ,\,\,\underset{x\to {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{-}}}{\mathop{lim }}\,\dfrac{5}{2-3x}=+\infty\)  nên \(x=\dfrac{2}{3}\) là tiệm cận đứng.
Do \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{lim }}\,\dfrac{5}{2-3x}=\,\,0\) nên \(y=0\) là tiệm cận ngang.
d) Do \(\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{lim }}\,\dfrac{-4}{x+1}=-\infty ,\,\,\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{lim }}\,\dfrac{-4}{x+1}=+\infty\)  nên \(x=-1\) là tiệm cận đứng.
Vì \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{lim }}\,\dfrac{-4}{x+1}=\,\,0\) nên \(y=0\) là tiệm cận ngang.

Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số sau:

a) \(y=\dfrac{{{x}^{2}}-x-2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\)

b) \(y=\dfrac{{{x}^{2}}+3x}{{{x}^{2}}-4}\)

c) \(y=\dfrac{2-x}{{{x}^{2}}-4x+3}\)

d) \(y=\dfrac{3x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{2+\sqrt{3{{x}^{2}}+2}}\)

e) \(y=\dfrac{5x-1-\sqrt{{{x}^{2}}-2}}{x-4}\)

Phương pháp giải

- Tiệm cận đứng: Đường thẳng x = x₀ được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu nó thỏa mãn một trong 4 điều kiện sau:

\(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y = - \infty \end{array} \right.\)

- Tiệm cận ngang: Đường thẳng y = y₀ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau: 

\(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = {y_0}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = {y_0}\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

a) Cho hàm số \(y=\dfrac{3-x}{x+1}\) có đồ thị H (H.1.1)

Chỉ ra một phép biến hình biến (H) thành (H') có tiệm cận ngang \(y=2\) và tiệm cận đứng \(x=2\).

b) Lấy đối xứng (H') qua gốc O, ta được hình (H''). Viết phương trình của (H'').

Phương pháp giải

Nhận xét cách tịnh tiến đồ thị dựa vào các tịnh tiến các đường tiệm cận. Từ đó viết công thức hàm số mới.

Hướng dẫn giải

a)Từ đồ thị (H) (H.1.1), để có hình (H’) nhận \(y=2\) là tiệm cận ngang và \(x=2\) là tiệm cận đứng, ta tịnh tiến đồ thị (H) song song với trục Oy lên trên 3 đơn vị, sau đó tịnh tiến song song với trục Ox về bên phải 3 đơn vị, ta được các hàm số tương đường sau:
\(\begin{align} & y=f\left( x \right)=\dfrac{3-x}{x+1}+3=\dfrac{3-x+3x+3}{x+1}=\dfrac{2x+6}{x+1} \\ & y=g\left( x \right)=\dfrac{2\left( x-3 \right)+6}{x-3+1}=\dfrac{2x}{x-2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( H' \right) \\ \end{align}\)
b) Lấy đối xứng hình (H’) qua gốc O, ta được hình (H’’) có phương trình là
\(y=h\left( x \right)=-\dfrac{-2\left( -x \right)}{\left( -x \right)-2}=-\dfrac{-2x}{-2-x}=-\dfrac{2x}{x+2} \)

Số tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{3x+1}{3-2x}\) là:

Phương pháp giải

- Tiệm cận đứng: Đường thẳng x = x₀ được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu nó thỏa mãn một trong 4 điều kiện sau:

\(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y = - \infty \end{array} \right.\)

- Tiệm cận ngang: Đường thẳng y = y₀ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau: 

\(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = {y_0}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = {y_0}\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

Đồ thị hàm số có hai tiệm cận.

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là \(y=-\dfrac{3}{2}\) và tiệm cận đứng là \(x=\dfrac{3}{2}\).

Chọn C

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{2x^2-x+2}{x^2-5}\) là:

Phương pháp giải

Tiệm cận đứng: Đường thẳng x = x₀ được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu nó thỏa mãn một trong 4 điều kiện sau:

\(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y = - \infty \end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

TXĐ: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ \pm \sqrt{5} \right\} \)
Vì \(\underset{x\to {{\sqrt{5}}^{+}}}{\mathop{lim }}\,\dfrac{2{{x}^{2}}-x+2}{{{x}^{2}}-5}=+\infty ,\,\,\underset{x\to {{\sqrt{5}}^{-}}}{\mathop{lim }}\,\dfrac{2{{x}^{2}}-x+2}{{{x}^{2}}-5}=-\infty\)  nên \(x=\sqrt{5}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vì \(\underset{x\to {{\left( -\sqrt{5} \right)}^{+}}}{\mathop{lim }}\,\dfrac{2{{x}^{2}}-x+2}{{{x}^{2}}-5}=+\infty ,\,\,\underset{x\to {{\left( -\sqrt{5} \right)}^{-}}}{\mathop{lim }}\,\dfrac{2{{x}^{2}}-x+2}{{{x}^{2}}-5}=-\infty\) nên \(x=-\sqrt{5}\) là tiệm cận đứng thứ hai của đồ thị hàm số.
Vậy \(x=\pm \sqrt{5}\) là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Chọn B

Tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{-3}{x-2}\) là:

Phương pháp giải

- Tiệm cận đứng: Đường thẳng x = x₀ được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu nó thỏa mãn một trong 4 điều kiện sau:

\(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y = + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y = - \infty \end{array} \right.\)

- Tiệm cận ngang: Đường thẳng y = y₀ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau: 

\(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = {y_0}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = {y_0}\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - \dfrac{3}{{x - 2}}} \right) =  - \infty \) nên \(x = 2\) là đường tiệm cận đứng.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - \dfrac{3}{{x - 2}}} \right) = 0\) nên \(y = 0\) là đường tiệm cận ngang.

Chọn A.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{{{x}^{2}}-12x+27}{{{x}^{2}}-4x+5}\) là:

Phương pháp giải

Tiệm cận ngang: Đường thẳng y = y₀ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau: 

\(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = {y_0}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = {y_0}\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{{{x^2} - 12x + 27}}{{{x^2} - 4x + 5}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \dfrac{{1 - \dfrac{{12}}{x} + \dfrac{{27}}{{{x^2}}}}}{{1 - \dfrac{4}{x} + \dfrac{5}{{{x^2}}}}} = 1\) nên y = 1 là đường tiệm cận ngang.

Chọn A.

Cho hàm số \(y=\dfrac{3x-1}{x+4}\). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tính OI.

Phương pháp giải

- Tìm phương trình hai đường tiệm cận.

- Tìm giao điểm I và suy ra khoảng cách.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{3x - 1}}{{x + 4}} = 3\) nên y = 3 là đường tiệm cận ngang.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 4} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 4} \right)}^ + }} \dfrac{{3x - 1}}{{x + 4}} = - \infty\) nên x =  - 4 là đường tiệm cận đứng.

Do đó \(I\left( { - 4;3} \right)\) là giao điểm hai đường tiệm cận.

\(\Rightarrow OI = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {3^2}} = 5\)

Chọn C.

Đồ thị hàm số nào sau đây có hai tiệm cận tạo với hai trục tọa độ một tứ giác có diện tích bằng 12?

A. \(y=\dfrac{3x+2}{x-2}\)

B. \(y=\dfrac{2x-3}{1-x}\)

C. \(y=\dfrac{x-2}{x+5}\)

D. \(y=\dfrac{3x+7}{x-4}\)

Phương pháp giải

- Tìm các đường tiệm cận của mỗi đò thị hàm số, sử dụng lý thuyết:

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {ad - bc \ne 0} \right)\) có TCĐ \(x = - \dfrac{d}{c}\) và TCN \(y = \dfrac{a}{c}\)

- Tính diện tích hình chữ nhật tạo thành và kết luận.

Hướng dẫn giải

Đáp án A: Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{3x + 2}}{{x - 2}}\) có đường TCĐ x = 2 và TCN y = 3.

Diện tích hình chữ nhật tạo thành là: 2.3 = 6. Đáp án A sai.

Đáp án B: Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x - 3}}{{1 - x}}\) có đường TCĐ x = 1 và TCN y =  - 2.

Diện tích hình chữ nhật tạo thành là: 2.1 = 2. Đáp án B sai.

Đáp án C: Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 5}}\) có đường TCĐ x =  - 5 và TCN y = 1.

Diện tích hình chữ nhật tạo thành là: 5.1 = 5. Đáp án C sai.

Đáp án D: Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{3x + 7}}{{x - 4}}\) có đường TCĐ x = 4 và TCN y = 3.

Diện tích hình chữ nhật tạo thành là: 4.3 = 12. Đáp án D đúng.

Chọn D.