Giải bài tập SBT Vật Lí 12 Bài 5: Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số. Phương pháp Fre-Nen

Dùng phương pháp giản đồ Fre-nen, có thể biểu diễn được dao động tổng hợp của hai dao động

A. cùng phương, cùng chu kì.

B. cùng phương, khác chu kì.

C. khác phương, cùng chu kì.

D. khác phương, khác chu kì.

Phương pháp giải

Để trả lời câu hỏi này cần nắm được ý nghĩa của phương pháp giản đồ Fre-nen

Hướng dẫn giải

- Dùng phương pháp giản đồ Fre-nen, có thể biểu diễn được dao động tổng hợp của hai dao động cùng phương, cùng chu kì

- Chọn A

Cho hai dao động điều hòa cùng phương, có phương trình lần lượt là x₁ = A₁cosωt và x₂ = A₂cos(ωt+π/2). Biên độ dao động tổng hợp của hai dao động này là

\(\begin{array}{l} A.\,A = \sqrt {|A_1^2 - A_2^2|} \\ B.\,A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2} \\ C.\,A = |{A_1} - {A_2}|\\ D.\,A = {A_1} + {A_2} \end{array}\)

Phương pháp giải

Vận dụng công thức tổng hợp dao động điều hòa:

A² = A₁² + A₂² + 2A₁A₂cosΔφ

Hướng dẫn giải

- Độ lệch pha hai dao động: Δφ = π/2

- Biên độ tổng hợp:

\(\begin{array}{l} {A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos {\rm{\Delta }}\varphi \\ \begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} \Rightarrow {A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \frac{\pi }{2}\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = A_1^2 + A_2^2 \end{array}\\ { \Rightarrow A = \sqrt {A_1^2 + A_2^2} } \end{array} \end{array}\)

- Chọn B

Cho hai dao động điều hòa cùng phương có các phương trình lần lượt là x₁ = 4cos(πt−π/6)(cm) và x₂ = 4cos(πt−π/2)(cm). Dao động tổng hợp của hai dao động này có biên độ là

A. 8cm                              B. 2cm

C.4√3cm                          D. 4√2cm

Phương pháp giải

Tính biên độ tổng hợp theo công thức:

A² = A₁² + A₂² + 2A₁A₂cosΔφ

Hướng dẫn giải

- Ta có: 

\(\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} {A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos {\rm{\Delta }}\varphi \\ \,\,\,\,\,\,\, = {4^2} + {4^2} + 2.4.4.\cos ( - \frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{6}) = 48 \end{array}\\ { \Rightarrow A = 4\sqrt 3 cm} \end{array}\)

- Chọn C

Hai dao động điều hòa cùng phương có các phương trình li độ lần lượt là x₁=5cos(100πt+π/2)(cm) và x₂ = 12cos(100πt)(cm). Dao động tổng hợp của hai dao động này có biên độ bằng

A. 17cm                          B. 8,5cm

C. 13cm                          D. 7cm

Phương pháp giải

Tính biên độ tổng hợp theo công thức:

A² = A₁² + A₂² + 2A₁A₂cosΔφ

Hướng dẫn giải

- Ta có: 

\(\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} {A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos {\rm{\Delta }}\varphi \\ \,\,\,\,\,\,\, = {5^2} + {12^2} + 2.5.12.\cos (0 - \frac{\pi }{2}) = 169 \end{array}\\ { \Rightarrow A = 13cm} \end{array}\)

- Chọn C

Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng chu kì có phương trình lần lượt là x₁=4cos(4πt+π/2)(cm) và x₂ = 3cos(4πt+π)(cm). Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp là

A. 5cm;36,9⁰

B. 5cm;0,7π(rad)

C. 5cm;0,2π(rad)

D. 5cm;0,3π(rad)

Phương pháp giải

- Vận dụng công thức tính biên độ tổng hợp

A² = A₁² + A₂² + 2A₁A₂cosΔφ

- Tính pha ban đầu theo công thức:

\(\tan \alpha = \frac{{{A_2}}}{{{A_1}}}\)

Hướng dẫn giải

- Biên độ là:

\(\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} {A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos {\rm{\Delta }}\varphi \\ \,\,\,\,\,\,\, = {4^2} + {3^2} + 2.4.3.\cos (\pi - \frac{\pi }{2}) = 25 \end{array}\\ { \Rightarrow A = 5cm} \end{array}\)

- Pha ban đầu là:

\(\begin{array}{l} \tan \alpha = \frac{{{A_2}}}{{{A_1}}} = \frac{3}{4} \Rightarrow \alpha = 0,2\pi \\ \Rightarrow \varphi = \alpha + \frac{\pi }{2} = 0,7\pi (rad) \end{array}\)

- Chọn B

Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là x₁=5cos(π/2t+π/4)(cm); x₂ = 5cos(π/2t+3π/4)(cm). Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp là

A. 5cm;π/2(rad)

B. 7,1cm;0(rad)

C. 7,1cm;π/2(rad)

D. 7,1cm;π/4(rad)

Phương pháp giải

- Tính biên độ tổng hợp theo công thức

A² = A₁² + A₂² + 2A₁A₂cosΔφ

- Tính pha ban đầu theo công thức:

\(\tan \alpha = \frac{{{A_2}}}{{{A_1}}}\)

Hướng dẫn giải

- Biên độ là:

\(\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} {A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos {\rm{\Delta }}\varphi \\ \,\,\,\,\,\, = {5^2} + {5^2} + 2.5.5.\cos (\frac{{3\pi }}{4} - \frac{\pi }{4}) = 50 \end{array}\\ { \Rightarrow A = 5\sqrt 2 cm} \end{array}\)

- Pha ban đầu là: φ = π/2 rad

- Chọn C

Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình lần lượt là x₁ = 3cos(5π/2t+π/6)(cm); x₂ = 3cos(5π/2t+π/3)(cm). Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp là

A. 6cm;π/4(rad)      

B. 5,2cm;π/4(rad)

C. 5,2cm;π/3(rad)

D. 5,8cm;π/4(rad)

Phương pháp giải

- Vận dụng công thức tổng hợp dao động điều hòa để tính biên độ: 

A² = A₁² + A₂² + 2A₁A₂cosΔφ

-  Áp dụng tính chất:

\({A_1} = {A_2} = 3cm \Rightarrow {\rm{\Delta }}{A_1}O{A_2} cân\)

để tìm pha ban đầu

Hướng dẫn giải

- Biên độ là:

\(\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} {A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos {\rm{\Delta }}\varphi \\ = {3^2} + {3^2} + 2.3.3.\cos (\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{6}) = 18 + 9\sqrt 3 \end{array}\\ { \Rightarrow A = 5,8cm} \end{array}\)

- Pha ban đầu: 

\({A_1} = {A_2} = 3cm \Rightarrow {\rm{\Delta }}{A_1}O{A_2} cân\)

\(\begin{array}{l} \widehat {{A_1}Ox} = \frac{\pi }{6}rad\\ \Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{{12}} + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{4}rad \end{array}\)

- Chọn D

Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng chu kì có phương trình lần lượt là x₁ = 4cos(10πt+π/3)(cm) và x₂ = 2cos(10πt+π)(cm). Tìm phương trình của dao động tổng hợp.

Phương pháp giải

- Vận dụng công thức: 

A² = A₁² + A₂² + 2A₁A₂cosΔφ để tìm biên độ

- Tính pha ban đầu theo công thức:

\(\tan \alpha = \frac{{{A_2}}}{{{A_1}}}\)

Hướng dẫn giải

- Biên độ là:

\(\begin{array}{*{20}{l}} {{A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos {\rm{\Delta }}\varphi }\\ { = {4^2} + {2^2} + 2.4.2.\cos (\pi - \frac{\pi }{3}) = 12}\\ { \Rightarrow A = 2\sqrt 3 cm} \end{array}\)

- Pha ban đầu: 

\(\begin{array}{l} \tan \widehat {AO{A_1}} = \frac{{{A_2}}}{A} = \frac{2}{{2\sqrt 3 }}\\ \Rightarrow \widehat {AO{A_1}} = \frac{\pi }{6}rad\\ \Rightarrow \varphi = \widehat {AO{A_1}} + \widehat {{A_1}Ox}\\ = \frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2}rad\\ \end{array}\)

Vậy phương trình dao động tổng hợp là: 

\(x = 2\sqrt 3 c{\rm{os}}(10\pi {\rm{t}} + \frac{\pi }{2})(cm)\)

Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng chu kì có phương trình lần lượt là: x₁=6sin5πt/2(cm); x₂ = 6cos5πt/2(cm). Tìm phương trình của dao động tổng hợp.

Phương pháp giải

- Vận dụng công thức: 

A² = A₁² + A₂² + 2A₁A₂cosΔφ để tính biên độ

- Tính pha ban đầu theo công thức:

\(\tan \alpha = \frac{{{A_2}}}{{{A_1}}}\)

Hướng dẫn giải

- Ta có: 

\(\begin{array}{l} {x_1} = 6\sin \frac{{5\pi t}}{2}(cm)\\ = 6\cos (\frac{{5\pi t}}{2} - \frac{\pi }{2})(cm) \end{array}\)

- Biên độ là: 

\(\begin{array}{*{20}{l}} {{A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos {\rm{\Delta }}\varphi }\\ { = {6^2} + {6^2} + 2.6.6.\cos (0 + \frac{\pi }{2}) = 72}\\ { \Rightarrow A = 6\sqrt 2 cm} \end{array}\)

- Pha ban đầu:

\(\begin{array}{l} \tan \widehat {AO{A_2}} = \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = 1\\ \Rightarrow \widehat {AO{A_2}} = \frac{\pi }{4} \Rightarrow \varphi = - \frac{\pi }{4}rad \end{array}\)

Vậy phương trình dao động tổng hợp là: 

\(x = 6\sqrt 2 c{\rm{os}}(\frac{{5\pi t}}{2} - \frac{\pi }{4})(cm)\)

Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, có phương trình lần lượt là: x₁ = 6cos(ωt−π/4)(cm); x₂ = 6cos(ωt+5π/12)(cm). Tìm phương trình của dao động tổng hợp.

Phương pháp giải

- Vận dụng công thức tổng hợp dao động điều hòa để tính biên độ: 

A² = A₁² + A₂² + 2A₁A₂cosΔφ

-  Áp dụng tính chất:

\({A_1} = {A_2} = {A}= 6cm \Rightarrow {\rm{\Delta }}{B}O{D} đều\)

để tìm pha ban đầu

Hướng dẫn giải

- Biên độ là:

\(\begin{array}{*{20}{l}} {{A^2} = A_1^2 + A_2^2 + 2{A_1}{A_2}\cos {\rm{\Delta }}\varphi }\\ { = {6^2} + {6^2} + 2.6.6.\cos (\frac{{5\pi }}{{12}} + \frac{\pi }{4}) = 36}\\ { \Rightarrow A = 6cm} \end{array}\)

- Pha ban đầu:

\(\begin{array}{l} A = {A_1} = {A_2} = 6cm \Rightarrow {\rm{\Delta }}BOC đều\\ \begin{array}{*{20}{l}} { \Rightarrow \widehat {BOC} = \frac{\pi }{3}rad}\\ { \Rightarrow \varphi + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{3} \Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{{12}}rad} \end{array} \end{array}\)

Vậy phương trình dao động tổng hợp là:

\(x = 6c{\rm{os}}(\omega {\rm{t}} + \frac{\pi }{{12}})(cm)\)