Giải bài tập SBT Vật Lí 12 Bài 3: Con lắc đơn

Kéo lệch con lắc đơn ra khỏi vị trí cân bằng một góc α₀ rồi buông ra không vận tốc đầu. Chuyển động của con lắc đơn có thể coi như dao động điều hoà khi nào ?

A. Khi α₀ = 60^o.       

B. Khi α₀ = 45^o.

C. Khi α₀ = 30^o.       

D. Khi α₀ nhỏ sao cho sinα₀ = α₀ (rad)

Phương pháp giải

Con lắc đơn dao động điều hòa khi góc lệch rất nhỏ so với dây treo

Hướng dẫn giải

- Điều kiện để con lắc đơn dao động điều hòa là α₀ nhỏ sao cho sinα₀ ≈ α₀

- Chọn D

Một con lắc đơn dao động với biên độ góc nhỏ sinα₀ ≈ α₀ (rad). Chu kì dao động của nó được tính bằng công thức nào?

\(\begin{array}{l} A.\,T = 2\pi \sqrt {\frac{g}{l}} \\ B.\,T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \\ C.\,T = \frac{\pi }{2}\sqrt {\frac{l}{g}} \\ D.\,T = 2\pi \sqrt {\lg } \end{array}\)

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính chu kì dao động của con lắc đơn: 

\(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \)

Hướng dẫn giải

- Chu kì dao động của con lắc đơn: 

\(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \)

- Chọn B

Một con lắc đơn dao động với biên độ góc nhỏ α₀<15⁰. Câu nào sau đây là sai đối với chu kì của con lắc?

A. Chu kì phụ thuộc chiều dài của con lắc.

B. Chu kì phụ thuộc vào gia tốc trọng trường nơi có con lắc.

C. Chu kì phụ thuộc vào biên độ dao động.

D. Chu kì không phụ thuộc vào khối lượng của con lắc.

Phương pháp giải

Dựa vào công thức tính chu kì:

\(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \)

⇒ T phụ thuộc l và g

Hướng dẫn giải

- Chu kì dao động của con lắc đơn: 

\(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \)

- Chu kì con lắc đơn chỉ phụ thuộc vào chiều dài con lắc và gia tốc trọng trường tại nơi treo con lắc, không phụ thuộc vào khối lượng và biên độ dao động.

- Chọn C

Tại cùng một nơi trên mặt đất, nếu chu kì dao động điều hoà của con lắc đơn chiều dài l là 2s thì chu kì dao động điều hoà của con lắc đơn chiều dài 2l là

A.2√2s                     B. 4s                  

C. 2s                        D. √2s

Phương pháp giải

- Tính chu kì dao động của con lắc đơn theo công thức: 

\(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \)

- Lập tỉ số T₁/T₂ để tính T₂

Hướng dẫn giải

- Chu kì dao động của con lắc đơn: 

\(\begin{array}{l} T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \\ \Rightarrow T \sim \sqrt l \Rightarrow \frac{{{T_1}}}{{{T_2}}} = \sqrt {\frac{{{l_1}}}{{{l_2}}}} \\ \Leftrightarrow \frac{2}{{{T_2}}} = \sqrt {\frac{1}{2}} \Leftrightarrow {T_2} = 2\sqrt 2 (s) \end{array}\)

- Chọn A

Một con lắc đơn dao động điều hoà với biên độ góc α₀. Tại li độ góc bằng bao nhiêu thì thế năng của con lắc bằng nửa động năng của con lắc ?

A. α₀/√2                 B.α₀/2            

C.α₀/√3                  D. α₀/3  

Phương pháp giải

- Dựa vào công thức tính thế năng và động năng của con lắc đơn:

W_t = mgl(1−cosα);  W_đ = mgl(1−cosα₀)

- Tính cơ năng: W_d + W_t = W và giải tìm α khi α₀ rất nhỏ

Hướng dẫn giải

- Ta có: W_d = 2W_t ; W_d + W_t = W

⇒W = 3W_t

- Lại có: W_t = mgl(1−cosα) ;  W = mgl(1−cosα₀)

- Khi α₀ nhỏ:

\(\begin{array}{l} {\rm{W}} \approx \frac{1}{2}mgl{\alpha _0}^2\\ \Rightarrow \frac{1}{2}mgl{\alpha ^2} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}mgl{\alpha _0}^2 \Leftrightarrow \alpha = \frac{{{\alpha _0}}}{{\sqrt 3 }} \end{array}\)

- Chọn C

Tại một nơi có gia tốc trọng trường 9,8m/s² một con lắc đơn và một con lắc lò xo nằm ngang dao động điều hoà với cùng chu kì. Biết con lắc đơn có chiều dài 49cm và lò xo có độ cứng 10N/m. Vật nhỏ của con lắc lò xo có khối lượng là

A. 0,125kg                       B. 0,500kg  

C. 0,750kg                       D. 0,250kg

Phương pháp giải

- Tính chu kì con lắc đơn theo công thức: 

\(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \)

- Tính chu kì con lắc lò xo theo công thức:

\(T = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} \)

- Cho hai công thức trên bằng nhau tìm ra công thức tính khối lượng là:

m = l.k/g

Hướng dẫn giải

- Ta có:

+ Chu kì con lắc đơn: 

\(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \)

+ Chu kì con lắc lò xo: 

\(T = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} \)

- Hai con lắc có cùng chu kì:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{l}{g} = \frac{m}{k}\\ \Rightarrow m = \frac{{l.k}}{g} = \frac{{0,49.10}}{{9,8}} = 0,5(kg) \end{array}\)

- Chọn B

Một con lắc đơn dao đồng với biên độ góc α₀ nhỏ sinα₀ ≈ α₀ (rad). Chọn mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Công thức tính thế năng của con lắc ở li độ góc α nào sau đây là sai?

A.W_t = mgl(1−cosα)

B.W_t = mglcosα

C.W_t = 2mglsin²(α/2)         

D.W_t = (mglα²)/2

Phương pháp giải

- Tính thế năng con lắc đơn theo công thức: 

W_t = mgl(1−cosα)

- Áp dụng công thức lượng giác: 

1 − cosα= 2sin²(α/2); Khi α nhỏ sinα ≈ α

⇒ công thức thế năng là: W_t = mglcosα

Hướng dẫn giải

- Ta có

+ thế năng của con lắc đơn:

W_t = mgl(1−cosα)

+ công thức lượng giác:

\(\begin{array}{l} 1 - \cos \alpha = 2{\sin ^2}\frac{\alpha }{2}\\ \Rightarrow {{\rm{W}}_t} = 2mgl{\sin ^2}\frac{\alpha }{2} \end{array}\)

- Khi α nhỏ:

\(\begin{array}{l} \sin \frac{\alpha }{2} \approx \frac{\alpha }{2}\\ \Rightarrow {\sin ^2}\frac{\alpha }{2} \approx \frac{{{\alpha ^2}}}{4}\\ \Rightarrow {{\rm{W}}_t} = 2mgl{\sin ^2}\frac{\alpha }{2}\\ \approx 2mgl.\frac{{{\alpha ^2}}}{4} = \frac{1}{2}mgl{\alpha ^2} \end{array}\)

- Chọn B

Một con lắc đơn dao động với biên độ góc α₀<90⁰. Chọn mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Công thức tính cơ năng nào sau đây là sai ?

A. W = (1/2)mv²+ mgl(1−cosα)

B. W = mgl(1−cosα₀)

C. W = (1/2)mv_max²                                

D. W = mglcosα₀

Phương pháp giải

- Dựa vào công thức tính động năng và thế năng của con lắc đơn:

 W_d = (1/2)mv²; W_t = mgl(1−cosα)

- Dựa vào công thức tính cơ năng: W = W_t + W_d

Hướng dẫn giải

- Động năng của con lắc:

 W_d = (1/2)mv²

- Thế năng của con lắc: 

W_t = mgl(1−cosα)

- Cơ năng con lắc: 

+ W = W_t + W_d

    = (1/2)mv² + mgl(1−cosα) ⇒A đúng

+ W = W_tmax = mgl(1−cosα₀) ⇒B đúng

+ W = W_dmax = (1/2)mv²_max ⇒C đúng

- Chọn D

Một con lắc đơn được thả không vận tốc đầu từ vị trí biên có biên độ góc α₀. Khi con lắc đi qua vị trí có li độ góc α thì tốc độ của con lắc được tính bằng công thức nào? Bỏ qua mọi ma sát

\(\begin{array}{l} A.\,v = \sqrt {2gl(\cos \alpha - \cos {\alpha _0})} \\ B.\,v = \sqrt {gl(\cos \alpha - \cos {\alpha _0})} \\ C.\,v = \sqrt {2gl(\cos {\alpha _0} - \cos \alpha )} \\ D.\,v = \sqrt {2gl(1 - \cos \alpha )} \end{array}\)

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính động năng:

+ W_d = mgl(cosα−cosα₀)

+ W_d = mv²/2

rút ra công thức tính vận tốc là:

\(\begin{array}{l} \,v = \sqrt {2gl(\cos \alpha - \cos {\alpha _0})} \\ \end{array}\)

Hướng dẫn giải

- Ta có:

+ W_d = mgl(cosα−cosα₀) 

+ W_d = mv²/2

⇒ mgl(cosα−cosα₀) = mv²/2

⇒ \(\begin{array}{l} \,v = \sqrt {2gl(\cos \alpha - \cos {\alpha _0})} \\ \end{array}\)

- Chọn A

Một con lắc gõ giây (coi như một con lắc đơn) có chu kì là 2s. Tại nơi có gia tốc trọng trường là 9,8m/s² thì chiều dài của con lắc đơn đó là bao nhiêu ?

A. 3,12m                        B. 96,6m       

C. 0,993m                      D. 0,04m

Phương pháp giải

Tính chu kì con lắc đơn theo công thức: 

\(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \)

Hướng dẫn giải

- Từ công thức tính chu kì con lắc đơn, chiều dài con lắc là:

\(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \)

\(\Leftrightarrow 2 = 2\pi \sqrt {\frac{l}{{9,8}}} \Leftrightarrow l = 0,993(m)\)

- Chọn C

Một con lắc đơn dài 1,2m dao động tại một nơi có gia tốc rơi tự do g = 9,8m/s². Kéo con lắc ra khỏi vị trí cân bằng theo chiều dương một góc α₀=10⁰ rồi thả tay.

a) Tính chu kì dao động của con lắc

b) Viết phương trình dao động của con lắc.

c) Tính tốc độ và gia tốc của quả cầu con lắc khi nó đi qua vị trí cân bằng.

Phương pháp giải

a) Chu kì con lắc được tính theo công thức:

\(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \)

b) Vận dụng các bước viết phương trình dao động điều hòa

⇒ tìm ω, tìm α₀, tìm pha ban đầu φ

c) Sử dụng công thức tính vận tốc và gia tốc:

- v = A.ω;

- \(a = \sqrt {a_{tt}^2 + a_{ht}^2} \) với  a_tt = 0 và a_ht = 2g(cosα−cosα₀)

Hướng dẫn giải

a) Chu kì con lắc: 

\(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} = 2\pi \sqrt {\frac{{1,2}}{{9,8}}} = 2,2(s)\)

b) Viết phương trình dao động:

+ Tần số góc:

\(\omega = \sqrt {\frac{g}{l}} = \sqrt {\frac{{9,8}}{{1,2}}} = 2,86(rad/s)\)

+ Biên độ α₀ = 10⁰ = π/18 rad ⇒ A = α₀.l = (π/18).1,2 = 0,21m

+ Pha ban đầu φ

t=₀: x₀ = Acosφ = A ⇒ φ =0

Vậy phương trình dao động điều hòa: x = 0,21cos(2,86t) (m)

c) Tại vị trí cân bằng:

+ Tốc độ: 

v = A.ω = 0,21.2,86 = 0,6m/s

+ Gia tốc: 

\(a = \sqrt {a_{tt}^2 + a_{ht}^2} \)

Mà:

+ a_tt = 0

+ a_ht = 2g(cosα−cosα₀)

        = 2.9,8(cos0⁰−cos10⁰) = 0,3 (m/s²)

⇒ a = 0,3 (m/s²)

Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ có khối lượng 50g được treo vào đầu một sợi dây dài 2m. Lấy g = 9,8m/s².

a) Tính chu kì dao động của con lắc khi biên độ góc nhỏ.

b) Kéo con lắc ra khỏi vị trí cân bằng đến vị trí có li độ góc α = 30⁰ rồi buông ra không vận tốc đầu. Tính tốc độ của quả cầu và lực căng \(\vec F\) của dây khi con lắc đi qua vị trí cân bằng.

Phương pháp giải

a) Tính chu kì con lắc theo công thức: 

\(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \)

b) - Sử dụng công thức tính động năng để tìm công thức vận tốc là:

\({v = \sqrt {2gl(\cos \alpha - \cos {\alpha ^o})} }\)

- Tính lực căng dây F theo công thức:

\(F = mg(3 - 2\cos {\alpha _0})\)

Hướng dẫn giải

Kéo con lắc ra khỏi vị trí cân bằng đến vị trí có li độ góc α = 30⁰ rồi buông ra không vận tốc đầu

⇒ Biên độ góc α⁰ = 30⁰

a) Chu kì con lắc đơn:

\(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} = 2\pi \sqrt {\frac{2}{{9,8}}} = 2,8s\)

b) Ta có công thức tính động năng

+ W_d = mv²/2

+ W_d = mgl(cosα−cosα₀)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow v = \sqrt {2gl(\cos \alpha - \cos {\alpha ^o})} \\ = \sqrt {2gl(\cos {0^o} - \cos {{30}^o})} \\ = 2,3(m/s) \end{array}\)

\(\begin{array}{l} F = mg(3 - 2\cos {\alpha _0})\\ \Rightarrow F = 0,05.9,8.(3 - 2\cos {30^0}) = 0,64(N) \end{array}\)

13. Giải bài 3.13 trang 11 SBT Vật lý 12

Một con lắc đơn có chiều dài 1,0m dao động điều hòa tại một nơi có gia tốc trọng trường là g = 9,8m/s². Trong khi dao động, quả cầu con lắc vạch một cung tròn có độ dài 12cm. Bỏ qua ma sát.

a) Tính biên độ và chu kì dao dộng của con lắc.

b) Viết phương trình dao động, biết rằng lúc đầu quả cầu con lắc đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương.

c) Tính tốc độ cực đại của quả cầu.

Phương pháp giải

a)- Độ dài cung tròn mà con lắc vạch ra trong quá trình dao động L=2A

- Tính chu kì dao động theo công thức: 

\(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}}\)

b) Tìm ω, tìm α₀, tìm pha ban đầu φ từ điều kiện để bài để viết phương trình 

c) Sử dụng công thức tính tốc độ cực đại:

 v_max = Aω

Hướng dẫn giải

a) Độ dài cung tròn mà con lắc vạch ra trong quá trình dao động:

L = 2A ⇒ A = L/2 = 12/2 = 6(cm)

Chu kì dao động: 

\(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} = 2\pi \sqrt {\frac{1}{{9,8}}} = 2s\)

b) Viết phương trình dao động:

-Tần số góc ω = 2π/2 = π(rad/s)

- Biên độ A = 6cm

- Pha ban đầu φ

- Khi t = 0:

+ x₀ = Acosφ = 0

+ v =−Aωsinφ >0

⇒ cosφ = 0 ; sinφ <0

⇒ φ =−π/2 (rad)

- Vậy phương trình dao động điều hòa:

x = 6cos(πt−π/2) (cm)

c) Tốc độ cực đại của quả cầu: 

v_max = Aω = 6π(cm/s)

Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ, khối lượng m=50g treo vào đầu tự do của một sợi dây mảnh dài l=1,0m ở một nơi có gia tốc trọng trường g=9,8m/s². Bỏ qua ma sát.

a) Cho con lắc dao động với biên độ nhỏ. Tính chu kì dao động của con lắc.

b) Kéo con lắc ra khỏi vị trí cân bằng tới góc lệch 30⁰ rồi thả không vận tốc đầu. Hãy tính:

+ Tốc độ cực đại của quả cầu

+ Tốc độ của quả cầu tại vị trí li độ góc 10⁰.

Phương pháp giải

a) Tính chu kì dao động theo công thức:

\(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}}\)

b) Sử dụng công thức tính tốc độ:

\({v_{\ }} = \sqrt {2gl(\cos \alpha - \cos {\alpha _0})} \)

Hướng dẫn giải

a) Chu kì dao động: 

\(T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} = 2\pi \sqrt {\frac{1}{{9,8}}} = 2s\)

b) Ta có công thức tính động năng

- W_d = mv²/2

- W_d = mgl(cosα−cosα₀)

⇒ \({v_{\ }} = \sqrt {2gl(\cos \alpha - \cos {\alpha _0})} \)

- Tốc độ cực đại của quả cầu: α = 0⁰

\(\begin{array}{l} {v_{\max }} = \sqrt {2.9,8.1.(\cos {0^0} - \cos {{30}^0})} \\ \Rightarrow {v_{\max }} = 1,62(m/s) \end{array}\)

- Tại α = 10⁰

\(\begin{array}{l} v = \sqrt {2.9,8.1.(\cos {{10}^0} - \cos {{30}^0})} \\ \,\,\,\, = 1,53(m/s) \end{array}\)

Một con lắc đơn dài 2m. Phía dưới điểm treo O, trên phương thẳng đứng có một chiếc đinh đóng chắc vào điểm O′cách O một đoạn OO′=0,5m , sao cho con lắc vấp vào đinh khi dao động (H.3.1). Kéo con lắc lệch khỏi phương thẳng đứng một góc α₁=7⁰ rồi thả không vận tốc đầu. Bỏ qua ma sát. Hãy tính:

a) Biên độ của con lắc ở hai bên vị trí cân bằng.

b) Chu kì dao động của con lắc. Lấy g=9,8m/s²

Phương pháp giải

a) Sử dụng định luật bảo toàn cơ năng để tính vị trí biên độ

b) Tính chu kì dao động theo công thức: 

T = (T₁+T₂)/2

Hướng dẫn giải

a) Theo định luật bảo toàn cơ năng, ta suy ra hai vị trí biên A và B phải ở cùng một độ cao (Hình 3.1G)

\(\begin{array}{l} {h_A} = {h_B}\\ l(1 - {\rm{cos}}{\alpha _1}) = \frac{{3l}}{4}(1 - {\rm{cos}})\\ = \frac{1}{3}(4{\rm{cos}}{7^0} - 1) \approx 0,99\\ \Rightarrow {\alpha _2} = {8,1^0}. \end{array}\)

b) Tính chu kì:

\(\begin{array}{l} T = \frac{{{T_1} + {T_2}}}{2}\\ - \,{T_1} = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} ;\\ - \,{T_2} = 2\pi \sqrt {\frac{{3l}}{{4g}}} = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} .\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\\ \Rightarrow T = \pi \sqrt {\frac{l}{g}} (1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2})\\ \,\,\,\,\, = 3,14\sqrt {\frac{{2,00}}{{9,8}}} (1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}) = 2,65{\rm{s}}. \end{array}\)