Toán 5 Chương 1 Bài: Ôn tập So sánh hai phân số

a) Trong hai phân số cùng mấu số:

• Phân số nào có tử số bé hơn thì bé hơn.

• Phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.

• Nếu tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.

Ví dụ: \(\frac{2}{7}< \frac{5}{7}\); \(\frac{5}{7}> \frac{2}{7}\).

b) Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số đó rồi so sánh các tử số của chúng.

Ví dụ: So sánh hai phân số \(\frac{3}{4}\) và \(\frac{5}{7}\).

Quy đồng mẫu số hai phân số: \(\frac{3}{4}\) và \(\frac{5}{7}\).

\(\frac{3}{4}= \frac{3\times 7}{4\times 7}=\frac{21}{28}\);

\(\frac{5}{7}= \frac{5\times 4}{7\times 4}=\frac{20}{28}\).

Vì 21 > 20 nên \(\frac{21}{28}> \frac{20}{28}\).

Vậy: \(\frac{3}{4}> \frac{5}{7}\).

Câu 1: So sánh các cặp phân số sau:

a. \(\frac{2}{3}\) và \(\frac{2}{5}\)                  b. \(\frac{5}{7}\) và \(\frac{5}{8}\)                  

c. \(\frac{{13}}{2}\) và \(\frac{{13}}{3}\)       d. \(\frac{{17}}{5}\) và \(\frac{{17}}{3}\)

Hãy nêu nhận xét về cách so sánh hai phân số có tử số bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Ta vẫn phải quy đồng mẫu số hai phân số đã cho rồi so sánh hai tử số.

a. \(\frac{2}{3}\) và \(\frac{2}{5}\) hay \(\frac{{10}}{{15}}\) và \(\frac{6}{{15}}\). Ta thấy \(\frac{{10}}{{15}}\) > \(\frac{6}{{15}}\) do đó \(\frac{2}{3} > \frac{2}{5}\)

b. \(\frac{5}{7}\) và \(\frac{5}{8}\) hay \(\frac{{40}}{{56}}\) và \(\frac{{35}}{{56}}\). Ta thấy \(\frac{{40}}{{56}}\, > \,\frac{{35}}{{56}}\) do đó \(\frac{5}{7}\,\, > \,\frac{5}{8}\)

c.  \(\frac{{13}}{2}\) và \(\frac{{13}}{3}\) hay \(\frac{{39}}{6} > \frac{{26}}{6}\). Ta thấy \(\frac{{39}}{6} > \frac{{26}}{6}\) do đó \(\frac{{13}}{2} > \frac{{13}}{3}\)

d. \(\frac{{17}}{5}\) và \(\frac{{17}}{3}\) hay \(\frac{{51}}{{15}}\) và \(\frac{{85}}{{15}}\). Ta thấy \(\frac{{85}}{{15}} > \frac{{51}}{{15}}\) do đó \(\frac{{17}}{3} > \frac{{17}}{5}.\)

Câu 2:

a. Chứng minh rằng các phân số sau bằng nhau: \(\frac{{27}}{{31}};\frac{{2727}}{{3131}};\frac{{272727}}{{313131}}\)

b. So sánh hai phân số: \(\frac{{11}}{{31}}\) và \(\frac{{111}}{{311}}\).

c. Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ lớn đến nhỏ: \(\frac{{214}}{{321}};\frac{{205}}{{321}};\frac{{214}}{{315}}\)

Hướng dẫn giải

a. \(\frac{{2727}}{{3131}} = \frac{{27\,\,x\,\,101}}{{31\,\,x\,\,101}} = \frac{{27}}{{31}}\)

\(\frac{{272727}}{{313131}} = \frac{{27\,\,\,x\,\,\,10101}}{{31\,\,\,x\,\,\,10101}} = \frac{{27}}{{31}}\)

Vậy \(\frac{{27}}{{31}} = \frac{{2727}}{{3131}} = \frac{{272727}}{{313131}}\)

b. Ta có:

\(1 - \frac{{11}}{{31}} = \frac{{20}}{{31}}\); \(1 - \frac{{111}}{{311}} = \frac{{200}}{{311}}\)

Do \(\frac{{20}}{{31}} = \frac{{200}}{{310}} > \frac{{200}}{{311}}\)  suy ra \(\frac{{111}}{{311}} > \frac{{11}}{{31}}\)

c. \(\frac{{214}}{{321}} > \frac{{205}}{{321}};\,\,\frac{{214}}{{315}} > \frac{{214}}{{321}}\) vậy \(\frac{{214}}{{315}} > \frac{{214}}{{321}} > \frac{{205}}{{321}}\)

nên được sắp xếp như sau: \(\frac{{214}}{{315}},\frac{{214}}{{321}},\frac{{205}}{{321}}\)

Câu 3: So sánh các phân số

\(\frac{8}{5},\frac{3}{4}\) và \(\frac{{19}}{{20}}\);          \(\frac{2}{3},\frac{7}{{10}}\) và \(\frac{2}{5}\);  

Hướng dẫn giải

\(\frac{8}{5},\frac{3}{4}\) và \(\frac{{19}}{{20}}\) hay \(\frac{{32}}{{20}},\,\frac{{15}}{{20}}\)  và \(\frac{{19}}{{20}}\)

Do đó: \(\frac{{15}}{{20}} < \frac{{19}}{{20}} < \frac{{32}}{{20}}\) hay \(\frac{3}{4} < \frac{{19}}{{20}} < \frac{8}{5}\)

\(\frac{2}{3},\frac{7}{{10}}\) và \(\frac{2}{5}\)  hay \(\frac{{20}}{{30}},\frac{{21}}{{30}}\)  và \(\frac{{12}}{{30}}\)

Do đó: \(\frac{{12}}{{30}} < \frac{{20}}{{30}} < \frac{{21}}{{30}}\) hay \(\frac{2}{5} < \frac{2}{3} < \frac{7}{{10}}\)

Câu 4: 

a. Viết tất cả các phân số nhỏ hơn 1 có mẫu số là 212 và tử số lớn hơn 204.

b. Viết tất cả các phân số lớn hơn 1 có mẫu số là 315 và tử số lớn hơn 317 nhưng nhỏ hơn 320.

Hướng dẫn giải

a. Các phân số nhỏ hơn 1 có mẫu số là 212 và tử số lớn hơn 204:

\(\frac{{205}}{{212}};\frac{{206}}{{212}};\frac{{207}}{{212}};\frac{{208}}{{212}};\frac{{209}}{{212}};\frac{{210}}{{210}}\) và \(\frac{{211}}{{212}}\)

b. Các phân số lớn hơn 1 có mẫu số là 315 và tử số lớn hơn 317 nhưng nhỏ hơn 320 là:

\(\frac{{318}}{{315}}\) và \(\frac{{319}}{{315}}\)

Câu 5: So sánh các phân số:

a. \(\frac{{a + 1}}{a}\) và \(\frac{{a + 3}}{{a + 2}}\) với \(a \in N,a \ne 0\)

b. \(\frac{a}{{a + 6}}\) và \(\frac{{a + 1}}{{a + 7}}\) với \(a \in N\).

Hướng dẫn giải

a. Do tử số lớn hơn mẫu số nên các phân số \(\frac{{a + 1}}{a} > 1\) và \(\frac{{a + 3}}{{a + 2}} > 1\)

Do đó: \(\frac{{a + 1}}{a} - 1 = \frac{{a + 1 - a}}{a} = \frac{1}{a}\)

\(\frac{{a + 3}}{{a + 2}} - 1 = \frac{{a + 3 - a - 2}}{{a + 2}} = \frac{1}{{a + 2}}\)

Vì \(a \in N\) và \(a \ne 0\) nên hai phân số \(\frac{1}{a}\) và \(\frac{1}{{a + 2}}\) là hai phân số cùng tử số mà a < a + 2 nên \(\frac{1}{a} > \frac{1}{{a + 2}}\), do đó \(\frac{{a + 1}}{a} > \frac{{a + 3}}{{a + 2}}.\)

b. Do tử số nhỏ hơn mẫu số nên các phân số \(\frac{a}{{a + 6}} < 1\) và \(\frac{{a + 1}}{{a + 7}} < 1\).

Do đó:

\(1 - \frac{a}{{a + 6}} = \frac{{a + 6 - a}}{{a + 6}} = \frac{6}{{a + 6}}\)

\(1 - \frac{{a + 1}}{{a + 7}} = \frac{{a + 7 - a - 1}}{{a + 7}} = \frac{6}{{a + 7}}\)

Vì \(a \in N\) nên \(\frac{6}{{a + 6}}\) và \(\frac{6}{{a + 7}}\) là hai phân số cùng tử số mà a + 6 < a + 7 nên \(\frac{6}{{a + 6}}\)> \(\frac{6}{{a + 7}}\), do đó \(\frac{a}{{a + 6}}\)<\(\frac{{a + 1}}{{a + 7}}\)

Câu 6: So sánh các phân số

\(\frac{7}{8},\frac{4}{5}\) và \(\frac{9}{{10}}\)              \(\frac{6}{7},\,\frac{{23}}{{28}}\) và \(\frac{{11}}{{41}}\)

Hướng dẫn giải

\(\frac{7}{8},\frac{4}{5}\) và \(\frac{9}{{10}}\)     hay \(\frac{{35}}{{40}},\frac{{32}}{{40}}\) và \(\frac{{36}}{{40}}\)

Do đó: \(\frac{{32}}{{40}} < \frac{{35}}{{40}} < \frac{{36}}{{40}}\)  hay \(\frac{4}{5} < \frac{7}{8} < \frac{9}{{10}}\)

\(\frac{6}{7},\,\frac{{23}}{{28}}\) và \(\frac{{11}}{{41}}\) hay \(\frac{{24}}{{28}},\frac{{23}}{{28}}\) và \(\frac{{22}}{{28}}\)

Do đó: \(\frac{{22}}{{28}} < \frac{{23}}{{28}} < \frac{{24}}{{28}}\)  hay \(\frac{{11}}{{14}} < \frac{{23}}{{28}} < \frac{6}{7}\)

Qua bài học này, các em cần nắm được các mục tiêu bài học sau:

• Biết so sánh các phân số có cùng mẫu số,khác mẫu số.
• Biết cách sắp xếp ba phân số theo thứ tự.
• Rèn kĩ năng làm các bài tập về so sánh phân số.