Giải bài tập SGK Toán 12 Bài 3: Lôgarit

Không sử dụng máy tính, hãy tính

a) $log_{2}\frac{1}{8}$

b) $log_{\frac{1}{4}}2$

c) $log_{3}\sqrt[4]{3}$

d) ${\log _{0,5}}0,125$

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức của logarit: $\log_a a =1; {\log _a}{b^n} = n{\log _a}b;$ ${\log _{{a^m}}}b = \dfrac{1}{m}{\log _a}b;{\log _a}b = \dfrac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}}.$

Hướng dẫn giải

Câu a

$log_{2}\dfrac{1}{8}= log_{2}2^{-3}= -3log_{2}2= -3$.

Câu b

$log_{\frac{1}{4}}2= log_{2^{-2}}2 = \dfrac{1}{-2}log_2 2=-\dfrac{1}{2}$.

Hoặc dùng công thức đổi cơ số : $log_{\frac{1}{4}}2 = \dfrac{log_{2}2}{log_{2}\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{log_{2}2^{-2}} = -\dfrac{1}{2}$

Câu c

$log_{3}\sqrt[4]{3} = log_{3}3^{\frac{1}{4}} =  \dfrac{1}{4}log_3 3= \dfrac{1}{4}$.

Câu d

$log_{0,5}0,125 = log_{0,5}0,5^{3}$ $=3 log_{0,5} 0,5= 3$

Tính

a) $4^{log_{2}3}$

b) $27^{log_{9}2}$

c) $9^{log_{\sqrt{3}}2}$

d) $4^{log_{{8}}27}$

Phương pháp giải

Áp dụng công thức ${a^{{{\log }_a}b}} = b.$

Hướng dẫn giải

Câu a

${4^{{{\log }_2}3}} = {({2^2})^{{{\log }_2}3}} = {2^{2{{\log }_2}3}} = {2^{{{\log }_2}{3^2}}} = 9.$

Câu b

${27^{{{\log }_9}2}} = {({3^3})^{{{\log }_9}2}} = {3^{3{{\log }_{{3^2}}}2}} = {3^{{{\log }_3}{2^{\frac{3}{2}}}}} = 2\sqrt 2 .$

Câu c

${9^{{{\log }_{\sqrt 3 }}2}} = {({3^2})^{{{\log }_{{3^{\frac{1}{2}}}}}2}} = {3^{4{{\log }_3}2}} = {3^{{{\log }_3}16}} = 16.$

Câu d

${4^{{{\log }_8}27}} = {({2^2})^{{{\log }_{{2^3}}}{3^3}}} = {2^{2{{\log }_2}3}} = {2^{{{\log }_2}9}} = 9.$

Rút gọn biểu thức

a) $log_36. log_89. log_62$.

b) $log_ab^2+log_{a^{2}}b^{4}$.

Phương pháp giải

Câu a: Bài 3 áp dụng biến đối sau ${\log _a}c.{\log _c} = b\frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}} = {\log _a}b$ với a,b,c là những số thực dương; a,c khác 1.

Câu b: Bài 3 áp dụng công thức $\log_ab^x=x\log_ab$ với b là số thực dương.

Hướng dẫn giải

Câu a

$\begin{array}{l} {\log _3}6.{\log _8}9.{\log _6}2 = {\log _3}6.\frac{2}{3}{\log _8}3.{\log _6}2\\ = \frac{2}{3}{\log _2}3.{\log _3}6.{\log _6}2 = \frac{2}{3}{\log _2}6.{\log _6}2 = \frac{2}{3}. \end{array}$

Câu b

$lo{g_a}{b^2} + lo{g_{{a^2}}}{b^4} = lo{g_a}{b^2} + lo{g_a}{b^2} = 2lo{g_a}{b^2} = 4{\log _a}\left| b \right|.$

So sánh các cặp số sau

a) ${\log _3}5 \,và \,{\log _7}4$

b) ${\log _{0,3}}2 \,và \,{\log _5}3$

c) ${\log _2}10 \,và \,lo{g_5}30$

Phương pháp giải

Ta nhận thấy hai lôgarit không cùng cơ số nên ta sẽ tìm cách so sánh các lôgarit này với một giá trị trung gian, ta có thể bấm máy tính để tìm các giá trị trung gian đó. Đây là dạng bài tập giúp các em rèn luyện kĩ năng sử dụng phép so sánh lôgarit sẽ phục vụ cho việc giải các bài toán khác.

Phép so sánh hai lôgarit cùng cơ số:

• Nếu $a>1$ thì $\log_ax>\log_ay \Leftrightarrow x>y>0$
• Nếu \(0\log_ay \Leftrightarrow 0
• Nếu \(00\)

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có: ${\log _3}5 > {\log _3}3 = 1;\,\,{\log _7}4 < {\log _7}7 = 1$

Vậy: ${\log _3}5 > \,{\log _7}4.$

Câu b

${\log _{0,3}}2 < lo{g_{0,3}}1 = 0;{\log _5}3 > {\log _5}1 = 0$

Vậy: ${\log _{0,3}}2 < {\log _5}3.$ 

Câu c

${\log _2}10 > {\log _2}8 = {\log _2}{2^3} = 3;\,\,lo{g_5}30 < {\log _5}125 = {\log _5}{5^3} = 3.$

Vậy: ${\log _2}10 > lo{g_5}30.$

a) Cho $a = lo{g_{30}}3,b = lo{g_{30}}5$. Hãy tính $lo{g_{30}}1350$ theo $a, b$.

b) Cho $c =lo{g_{15}}3$. Hãy tính $lo{g_{25}}15$ theo $c$.

Phương pháp giải

Để giải các bài toán dạng này, các em phải vận dụng linh hoạt các công thức biến đổi lôgarit một cách linh hoạt, công thức hay sử dụng nhiều nhất là công thức đổi cơ số nhằm biến đổi lôgarit cần biểu diễn sao cho cơ số của nó giống với cơ số của các lôgarit cho trước

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có: $1350 = {3^2}.5.30$

Do đó

$\begin{array}{l} {\log _{30}}1350 = {\log _{30}}({3^2}.5.30) = {\log _{30}}{3^2} + {\log _{30}}5 + {\log _{30}}30\\ = 2{\log _{30}}3 + {\log _{30}}5 + 1 = 2a + b + 1. \end{array}$

Câu b

Áp dụng công thức đổi cơ số ta có

${\log _{25}}15 = \frac{{{{\log }_3}15}}{{{{\log }_3}25}} = \frac{{{{\log }_3}\left( {3.5} \right)}}{{{{\log }_3}{5^2}}} = \frac{{1 + {{\log }_3}5}}{{2{{\log }_3}5}}$

Do đó ta phải tìm ${\log _3}5$ theo c.

Ta có: $c = {\log _{15}}3 = \frac{{{{\log }_3}3}}{{{{\log }_3}15}} = \frac{1}{{1 + {{\log }_3}5}}.$

Suy ra: $lo{g_3}5 = \frac{1}{c} - 1$

Vậy: ${\log _{25}}15 = \frac{{1 + \frac{1}{c} - 1}}{{2\left( {\frac{1}{c} - 1} \right)}} = \frac{1}{{2(1 - c)}}.$