Giải bài tập SGK Toán 12 Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Vẽ đồ thị của các hàm số

a) $\small y = 4^x$

b) $y=\left ( \frac{1}{4} \right )^{x}$

Phương pháp giải

Thực hiện các bước khảo sát đơn giản như sau

Xét hàm số $y=a^x(a>0,a\ne1)$

• Nếu a>1 thì hàm số đồng biến trên R, nếu 0
• Lập bảng giá trị tung độ, hoành đồ các điểm mà đồ thị hàm số đi qua.
• Vẽ đồ thị.

Hướng dẫn giải

Câu a

Xét hàm số $\small y = 4^x$

Tập xác định D=R.

Do a=4>0 nên hàm số đồng biến trên R.

Bảng giá trị

Đồ thị hàm số

Câu b

Xét hàm số $\small y = \left ( \frac{1}{4} \right )^x$

Tập xác định D=R.

Do $\small a=\frac{1}{4}<1$ nên hàm số nghịch biến trên R.

Bảng giá trị

Đồ thị hàm số

Tính đạo hàm của các hàm số

a) $\small y = 2xe^x + 3sin2x$

b) $\small y = 5x^2 - 2xcosx$

c) $y=\frac{x+1}{3^{x}}$

Phương pháp giải

Ta sử dụng các công thức tính đạo hàm của hàm số mũ:

- Hàm số $y=e^x$ có đạo hàm với mọi $x$ và: $\left ( e^x \right )'=e^x$

- Hàm số $y=a^x(a>0,a\ne 1)$ có đạo hàm tại mọi $x$ và: $\left( {{a^x}} \right)' = {a^x}{\mathop{\rm lna}\nolimits}$

- Đối với hàm hợp

• ​$({e^u})' = u'.{e^u}$
• ​$({a^u})' = {a^u}.\ln a.u'$

Hướng dẫn giải

Câu a

$\small y = 2xe^x + 3sin2x.$

$\begin{array}{l} y' = 2\left[ {x'{e^x} + x.({e^x})'} \right] + 3(2x)'.\cos 2x\\ = 2{e^x} + 2x{e^x} + 6\cos 2x. \end{array}$

Câu b

$\small y = 5x^2 - 2xcosx.$

$y' = 10x - ({2^x})'\cos x - {2^x}(\cos x)' = 10x - {2^x}\ln 2.\cos x + {2^x}\sin x.$

Câu c

$y=\frac{x+1}{3^{x}}$

$\begin{array}{l} y' = \frac{{\left( {x + 1} \right)'{{.3}^x} - (x + 1)({3^x})'}}{{{{({3^x})}^2}}} = \frac{{{3^x} - (x + 1){{.3}^x}\ln 3}}{{{{({3^x})}^2}}}\\ = \frac{{1 - (x + 1)\ln 3}}{{{3^x}}}. \end{array}$

Tìm tập xác định của các hàm số

a) $y= log_2(5-2x)$

b) $y= log_3(x^2-2x)$

c) $y=log_{\frac{1}{5}}\left ( x^{2} -4x+3 \right )$

d) $\small y=log_{0,4}\frac{3x+1}{1-x}$

Phương pháp giải

Cho số thực dương $a$ khác 1

Hàm số $y=\log_ax$ được gọi là hàm số lôgarit cơ số a có tập xác định: $D=\left( {0; + \infty } \right).$

Hướng dẫn giải

Câu a

Hàm số $y= log_2(5-2x)$ xác định khi $5 - 2x > 0 \Leftrightarrow x < \frac{5}{2}.$

Vậy tập xác định của hàm số là: $D = \left( { - \infty ;\frac{5}{2}} \right).$

Câu b

Hàm số $y= log_3(x^2-2x)$ xác định khi ${x^2} - 2x > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < 0\\ x > 2 \end{array} \right.$

Vậy tập xác định của hàm số là: $D = \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).$

Câu c

Hàm số $y=log_{\frac{1}{5}}\left ( x^{2} -4x+3 \right )$ xác định khi ${x^2} - 4x + 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < 1\\ x > 3 \end{array} \right.$

Vậy tập xác định của hàm số là: $D = ( - \infty ;1) \cup \left( {3; + \infty } \right).$

Câu d

Hàm số $\small y=log_{0,4}\frac{3x+1}{1-x}$ xác định khi: $\frac{{3x + 2}}{{1 - x}} > 0 \Leftrightarrow - \frac{2}{3} < x < 1$

Vậy tập xác định của hàm số là: $D = \left( { - \frac{2}{3};1} \right).$

Vẽ đồ thị của các hàm số

a) $y = logx$

b) $y=log_{\frac{1}{2}}x$

Phương pháp giải

Xét hàm số $y = {\log _a}x(a > 0,a \ne 1)$

• Tập xác định: $D = \left( {0; + \infty } \right)$
• Nếu a>1 thì hàm số đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$, nếu 0.
• Lập bảng giá trị tung độ, hoành đồ các điểm mà đồ thị hàm số đi qua.
• Vẽ đồ thị.

Hướng dẫn giải

Câu a

Xét hàm số $y = logx$

Tập xác định: $D = \left( {0; + \infty } \right)$.

a=10>1 nên hàm số đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

Bảng giá trị

Đồ thị hàm số

Câu b

Xét hàm số $y=log_{\frac{1}{2}}x$

Tập xác định: $D = \left( {0; + \infty } \right)$.

$a=\frac{1}{2}<1$ nên hàm số nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

Bảng giá trị

Đồ thị hàm số

Tính đạo hàm của các hàm số

a) $\small y= 3x^2 - lnx + 4sinx$

b) $\small y= log(x^2+ x + 1)$

c) $y=\frac{log_{3}x}{x}$

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức tính đạo hàm của hàm số lôgarit

- $\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}}$

- $\left( {{{\log }_a}\left| x \right|} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}}$

- $\left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}$

- Đối với hàm hợp

• ​$\left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u.\ln a}}$
• ​$\left( {\ln u} \right)' = \frac{{u'}}{{\ln u}}$

Hướng dẫn giải

Câu a

$y= 3x^2 - lnx + 4sinx$

$y' = 6x - \frac{1}{x} + 4\cos x$

Câu b

$\small y= log(x^2+ x + 1)$

$y' = \frac{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)'}}{{({x^2} + x + 1)ln10}} = \frac{{2x + 1}}{{({x^2} + x + 1)\ln 10}}.$

Câu c

 $y=\frac{log_{3}x}{x}$

$\begin{array}{l} y' = \frac{{\left( {{{\log }_3}x} \right)'x + x'.lo{g_3}x}}{{{x^2}}} = \frac{{\frac{1}{{x\ln 3}}.x + {{\log }_3}x}}{{{x^2}}}\\ = \frac{{\frac{1}{{\ln 3}} + {{\log }_3}x}}{{{x^2}}} = \frac{{\ln 3.{{\log }_3}x + 1}}{{{x^2}.\ln 3}}. \end{array}$