Giải bài tập SGK Toán 12 Bài 2: Tích phân

Tính các tích phân sau

a) $\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{ (1-x)^{2}}dx$

b) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin(\frac{\pi}{4}-x)dx$

c) $\int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}dx}$

d) $\int_0^2 {x{{\left( {x + 1} \right)}^2}dx}$

e) $\int_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{1 - 3x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx}$

g) $\int_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 3x\cos 5xdx}$

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức nguyên hàm mở rộng để tính

Hướng dẫn giải

Câu a

Đặt $u=1-x$ ta có $du=-dx$

Khi $x=-\frac{1}{2}$ thì $u=\frac{3}{2}$; khi $x=\frac{1}{2}$ thì $u=\frac{1}{2}$. Do đó:

$\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{ (1-x)^{2}}dx$ $=-\int_{\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{u^2} du = \int^{\frac{3}{2}}_{\frac{1}{2}} u^{\frac{3}{2}}du =\frac{3}{5}u^{\frac{5}{3}} \bigg|_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}$

 $=\frac{3}{5} u\sqrt[3]{u^2} \bigg| ^{\frac{3}{2}}_{\frac{1}{2}}= \frac{3}{5} \left ( \frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{9}{4}}- \frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{4}} \right )=\frac{3}{10\sqrt[3]{4}}(3\sqrt[3]{9}-1)$

Câu b

Đặt $u=\frac{\pi }{4}-x$ ta có $du=-dx$

Khi x = 0 thì $u=\frac{\pi }{4};$ khi $x=\frac{\pi }{2}$ thì $u=- \frac{\pi }{4}$. Do đó:

 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin(\frac{\pi}{4}-x)dx =-\int_{\frac{\pi}{4}}^{-\frac{\pi}{4}}sinu. du$

$=-\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}sin u. du = -cos u \bigg|_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}$

$=-\left ( cos \frac{\pi }{4} -cos \left ( -\frac{\pi }{4} \right ) \right )=0$

Vậy $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}} sin \left ( \frac{\pi }{4} -x \right )dx = 0.$

Câu c

Ta có

$\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$. Do đó:

$\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{dx}{x(x+1)}=\int_{\frac{1}{2}}^{2} \left ( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \right )dx= \int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{dx}{x}-\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{dx}{x+1}$

$=\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{dx}{x}-\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{d(x+1)}{x+1}= ln \left | x \right | \bigg|^2_{\frac{1}{2}}-ln \left | x+1 \right | \bigg|^2_{\frac{1}{2}}$

$=ln2 -ln\frac{1}{2}-ln3-ln\frac{3}{2}=ln2.$

Câu d

$\int_{0}^{2}x(x+1)^2dx=\int_{0}^{2}(x^2+2x^2+x)dx$

$= \left ( \frac{x^4}{4}+\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2 \right ) \Bigg| ^2_0= 4+\frac{16}{3}+2=\frac{34}{3}$

Câu e

Đặt u = x + 1 ta có du = dx và x = u - 1

Khi $x=\frac{1}{2}$ thì $u=\frac{3}{2}$; khi $x=2$ thì $u=3$. Do đó:

$\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{1-3x}{(x+1)^2}dx=\int_{\frac{3}{2}}^{3} \frac{1-3(u-1)}{u^2}du=\int_{\frac{3}{2}}^{3}\frac{4-3u}{u^2}du$

$=4\int_{\frac{3}{2}}^{3}-3\int_{\frac{3}{2}}^{3}\frac{du}{u}= -\frac{4}{u} \Bigg |^3_{\frac{3}{2}}-3ln .u\Bigg |^3_{\frac{3}{2}}$

$=-\left ( \frac{4}{3} - \frac{4}{\frac{3}{2}}\right )-3 \left ( ln3-ln\frac{3}{2} \right )=\frac{4}{3}-3ln2$

Câu g

Ta có: $sin3x . cos5x =\frac{1}{2}(sin8x-sin2x)$

Do đó

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sin3x. cos5x dx =\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (sin8x - sin2x)dx$

$=\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sin8x dx -\frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sin 2x dx$

$=-\frac{1}{16}cos 8x \Bigg|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}+\frac{1}{4} cos2x\Bigg|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$

$=-\frac{1}{16} \left [ cos4\pi -cos(-4\pi) \right ]+ \frac{1}{4}\left [ cos \pi - cos(-\pi) \right ]$

$=-\frac{1}{16}(1-1)+\frac{1}{4}(-1+1)=0$

Tính các tích phân sau:

a) $\int_{0}^{2}\left | 1-x \right |dx$

b) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{2}x dx$

c) $\int_0^{\ln 2} {\frac{{{e^{2x + 1}} + 1}}{{{e^x}}}dx}$

d) $\int_0^\pi  s in2x{\cos ^2}xdx$

Phương pháp giải

a) Phá dấu giá trị tuyệt đối

b) Sử dụng công thức hạ bậc: ${\sin ^2}x = \dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}$

c) Chia tử cho mẫu và sử dụng công thức: $\int\limits_{}^{} {{e^{ax + b}}dx}  = \dfrac{1}{a}{e^{ax + b}} + C$

d) Sử dụng công thức hạ bậc: ${\cos ^2}x = \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}$.

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có: $\left| {1 - x} \right| = \left[ \begin{array}{l}1 - x\,\,khi\,\,x \le 1\\x - 1\,\,khi\,\,x > 1\end{array} \right.$

$\Rightarrow \int_0^2 {\left| {1 - x} \right|} dx = \int_0^1 {\left| {1 - x} \right|} dx + \int_1^2 {\left| {1 - x} \right|} dx$

$=   \int_0^1 {(1 - x)} dx + \int_1^2 {(x - 1)} dx$

$= \left. {\left( {x - \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_1^2 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$

Câu b

$\begin{array}{l}\,\,\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}xdx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - \cos 2x} \right)dx} \\= \dfrac{1}{2}\left. {\left( {x - \dfrac{{\sin 2x}}{2}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\\= \dfrac{1}{2}.\dfrac{\pi }{2} = \dfrac{\pi }{4}\end{array}$

Câu c

$\begin{array}{l}\,\,\int\limits_0^{\ln 2} {\dfrac{{{e^{2x + 1}} + 1}}{{{e^x}}}dx} = \int\limits_0^{\ln 2} {\left( {{e^{2x + 1 - x}} + {e^{ - x}}} \right)dx} \\= \int\limits_0^{\ln 2} {\left( {{e^{x + 1}} + {e^{ - x}}} \right)dx} \\= \left. {\left( {{e^{x + 1}} - {e^{ - x}}} \right)} \right|_0^{\ln 2}\\= {e^{\ln 2 + 1}} - {e^{ - \ln 2}} - \left( {e - 1} \right)\end{array}$

$\begin{array}{l} = {e^{\ln 2}}.{e^1} - {\left( {{e^{\ln 2}}} \right)^{ - 1}} - e + 1\\ = 2.e - {2^{ - 1}} - e + 1\\ = 2e - \frac{1}{2} - e + 1\\ = e + \frac{1}{2} \end{array}$

Câu d

$\begin{array}{l}\,\,\sin 2x\cos ^ 2x = \sin 2x\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}\\\,\,\, = \dfrac{1}{2}\sin 2x + \dfrac{1}{2}\sin 2x\cos 2x = \dfrac{1}{2}\sin 2x + \dfrac{1}{4}\sin 4x\\\Rightarrow \int\limits_0^\pi {\sin 2x\cos ^2xdx} = \int\limits_0^\pi {\left( {\dfrac{1}{2}\sin 2x + \dfrac{1}{4}\sin 4x} \right)dx} \\= \left. {\left( { - \dfrac{1}{4}\cos 2x - \dfrac{1}{{16}}\cos 4x} \right)} \right|_0^\pi \\= - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{{16}} - \left( { - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{{16}}} \right) = 0\end{array}$

Sử dụng phương pháp biến đổi số, tính tích phân:

a) $\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx$ (Đặt u= x+1)

b) $\int_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx}$ (Đặt x = sint )

c) $\int_0^1 {\frac{{{e^x}\left( {1 + x} \right)}}{{1 + x.{e^x}}}dx}$ (Đặt u = 1+x.ex)

d) $\int_0^{\frac{a}{2}} {\frac{1}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}} dx$ (Đặt x= asint)

Phương pháp giải

a) Đặt $u= x+1$ và sử dụng công thức nguyên hàm cỏ bản:

$\int {{x^\alpha }dx}  = \frac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}} + C\left( {\alpha  \ne  - 1} \right)$

b) Đặt $x = sint$

Sử dụng công thức hạ bậc: ${\cos ^2}\alpha  = \frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}$

Sử dụng công thức nguyên hàm: \(\int

c) Đặt $u = 1 + x.{e^x}$.

d) Đặt $x= asint$.

Hướng dẫn giải

Câu a

Đặt $u= x+1 \Rightarrow  du =  dx$ và $x = u - 1$.

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 1\\x = 3 \Rightarrow u = 4\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\int\limits_0^3 {\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}dx} = \int\limits_1^4 {\frac{{{{\left( {u - 1} \right)}^2}}}{{{u^{\frac{3}{2}}}}}du} \\= \int\limits_1^4 {\frac{{{u^2} - 2u + 1}}{{{u^{\frac{3}{2}}}}}du} \\= \int\limits_1^4 {\left( {{u^{\frac{1}{2}}} - 2{u^{ - \frac{1}{2}}} + {u^{ - \frac{3}{2}}}} \right)du} \\ = \left. {\left( {\frac{{{u^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} - 2.\frac{{{u^{ - \frac{1}{2} + 1}}}}{{ - \frac{1}{2} + 1}} + \frac{{{u^{ - \frac{3}{2} + 1}}}}{{ - \frac{3}{2} + 1}}} \right)} \right|_1^4\\= \left. {\left( {\frac{2}{3}{u^{\frac{3}{2}}} - 4{u^{\frac{1}{2}}} - 2{u^{ - \frac{1}{2}}}} \right)} \right|_1^4\\= - \frac{{11}}{3} - \left( { - \frac{{16}}{3}} \right) = \frac{5}{3}\end{array}$

Câu b

Đặt $x = sint$, \(0

và $\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-sin^{2}t}$$= \sqrt{cos^{2}t}=\left | cost \right |= cos t.$

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{2}\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} \\= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} \cos tdt} \\= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}tdt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)dt} \\= \frac{1}{2}\left. {\left( {t + \frac{{\sin 2t}}{2}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\\= \frac{1}{2}.\frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{4}\end{array}$

Câu c

Đặt: $u= 1 + x.{e^x}$

$\Rightarrow du = \left( {{e^x} + x.{e^x}} \right)dx$$= {e^x}\left( {1 + x} \right)dx$.

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 1\\x = 1 \Rightarrow u = 1 + e\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}\left( {1 + x} \right)}}{{1 + x{e^x}}}dx} = \int\limits_1^{1 + e} {\frac{{du}}{u}} = \left. {\ln \left| u \right|} \right|_1^{1 + e}\\= \ln \left( {1 + e} \right) - \ln 1 = \ln \left( {1 + e} \right)\end{array}$

Câu d

Đặt $x = a\sin t \Rightarrow dx = a\cos tdt$

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{a}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi }{6}\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^{\frac{a}{2}} {\frac{1}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{a\cos tdt}}{{\sqrt {{a^2} - {a^2}{{\sin }^2}t} }}} \\= \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{a\cos tdt}}{{a.\cos t}}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {dt} = \left. t \right|_0^{\frac{\pi }{6}} = \frac{\pi }{6}\end{array}$.

Sử dụng phương pháp tích phân tưng phần, hãy tính tích phân:

a) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdx$

b) $\int_1^e {{x^2}\ln xdx}$

c) $\int_0^1 {\ln \left( {1 + x} \right)dx}$

d) $\int_0^1 {\left( {{x^2} - 2x + 1} \right){e^{ - x}}} dx$

Phương pháp giải

Phương pháp tích phân từng phần: $\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu}$.

Hướng dẫn giải

Câu a

Đặt $\left\{\begin{matrix} u=x+1\\ dv=sin x.dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=dx\\ v=-cosx \end{matrix}\right.$

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta có:

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(x+1)sinx dx=-(x+1)cosx \Bigg|_{0}^{\frac{\pi }{2}}+ \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos x dx$

$=-\left [ \left (\frac{\pi }{2} +1 \right ).cos \frac{\pi }{2}-cos \ 0 \right ]+ sin x \Bigg|_0^{\frac{\pi }{2}}=2$

Câu b

Đặt $\left\{\begin{matrix} u=lnx\\ dv=x^2 dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{dx}{x}\\ \\ v=\frac{x^3}{3} \end{matrix}\right.$

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta có:

$\int_{1}^{e}x^2 ln x dx=\frac{x^3}{3}lnx \Bigg|^e_1-\frac{1}{3}\int_{1}^{e} x^2 dx=\frac{e^3}{3}-\frac{1}{9}x^3\Bigg|^e_1$

$=\frac{e^3}{3}-\frac{1}{9}(e^3-1)=\frac{2}{9}e^3+\frac{1}{9}$

Câu c

Đặt $\left\{\begin{matrix} u=ln(1+x)\\ dv=dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{1}{1+x}dx\\ v=x \end{matrix}\right.$

Ta có

$\int_{0}^{1}ln(1+x)dx=xln(1+x)\Bigg|^1_0-\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x}dx$

$=ln2-\int_{0}^{1}\frac{x+1-1}{1+x}dx=ln2-\int_{0}^{1}dx+\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x}$

$=ln2-x \Bigg|^1_0+ln(1+x)\Bigg|^1_0=ln2-1+ln2=2ln2-1$

Câu d

Đặt $\left\{\begin{matrix} u=x^2-2x-1\\ dv=e^xdx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=(2x-2)dx\\ v=-e^{-x} \end{matrix}\right.$

Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta có:

$\int_{0}^{1}(x^2-2x-1)e^{-x}dx=-e^{-x}(x^2-2x-1) \Bigg|^1_0+\int_{0}^{1} (2x-2)e^{-x}dx$

$=\frac{2}{e}-1+2\int_{0}^{1}(x-1)e^{-x}dx$

Tiếp tục đặt: $\left\{\begin{matrix} u_1=x-1\\ dv_1=e^{-x}dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du_1=du\\ v_1=-e^{-x} \end{matrix}\right.$

Ta có: $\int_{0}^{1}(x-1)e^{-x}dx = -e^{-x}(x-1) \Bigg|^1_0+\int_{0}^{1}e^{-x}dx$

$=-1-e^{-x}\Bigg|_{0}^{1}=-1-\frac{1}{e}+1=-\frac{1}{e}$

Vậy $\int_{0}^{1}(x^2-2x-1)e^{-x}dx=\frac{2}{e}-1-\frac{2}{e}=-1.$

Tính các tích phân sau:

a) $\int_{0}^{1}(1+3x)^{\frac{3}{2}}dx$

b) $\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}dx$

c) $\int_1^2 {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{{x^2}}}dx}$

Phương pháp giải

a) $\int\limits_{}^{} {{{\left( {ax + b} \right)}^n}}  = \dfrac{1}{a}\dfrac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C$.

b) Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn phân thức trong dấu tích phân.

c) Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {1 + x} \right)\\dv = \dfrac{1}{{{x^2}}}dx\end{array} \right.$

Hướng dẫn giải

Câu a

$\begin{array}{l}\,\,\int\limits_0^1 {{{\left( {1 + 3x} \right)}^{\frac{3}{2}}}dx} = \left. {\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{{\left( {1 + 3x} \right)}^{\frac{3}{2} + 1}}}}{{\frac{3}{2} + 1}}} \right|_0^1\\= \left. {\dfrac{2}{{15}}.{{\left( {1 + 3x} \right)}^{\frac{5}{2}}}} \right|_0^1 = \dfrac{2}{{15}}\left( {{4^{\frac{5}{2}}} - 1} \right) = \dfrac{2}{{15}}.31 = \dfrac{{62}}{{15}}\end{array}$

Câu b

$\begin{array}{l}\,\,\,\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 1}}dx} = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}dx} \\= \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}dx} = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\dfrac{{x\left( {x + 1} \right) + 1}}{{x + 1}}dx} \\= \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( {x + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^{\frac{1}{2}}\\= \dfrac{1}{8} + \ln \dfrac{3}{2}\end{array}$

Câu c

Đặt  $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {1 + x} \right)\\dv = \dfrac{1}{{{x^2}}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{{1 + x}}dx\\v = - \dfrac{1}{x}\end{array} \right.$

Tính tích phân $\int_{0}^{1}x(1-x)^{5}dx$ bằng hai phương pháp:

a) Đổi biến số u = 1 - x

b) Tính tích phân từng phần

Phương pháp giải

a) Đặt $u = 1 - x$

b) Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {\left( {1 - x} \right)^5}dx\end{array} \right.$

Hướng dẫn giải

Câu a

Đặt $u = 1 - x$

$\Rightarrow x = 1 - u \Rightarrow dx = - du$.

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 1\\x = 1 \Rightarrow u = 0\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^1 {x{{\left( {1 - x} \right)}^5}dx} = - \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right){u^5}du} \\= \int\limits_0^1 {\left( {{u^5} - {u^6}} \right)du} = \left. {\left( {\dfrac{{{u^6}}}{6} - \dfrac{{{u^7}}}{7}} \right)} \right|_0^1 \\= \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{7} = \dfrac{1}{{42}}\end{array}$

Câu b

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {\left( {1 - x} \right)^5}dx\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^6}}}{6}\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^1 {x\left( {1 - {x^5}} \right)dx}\\ = - x\left. {\dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^6}}}{6}} \right|_0^1 + \dfrac{1}{6}\int\limits_0^1 {{{\left( {1 - x} \right)}^6}dx} \\= - \dfrac{1}{6}\left. {\dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^7}}}{7}} \right|_0^1 = \dfrac{1}{{42}} \end{array}$