Giải bài tập SGK Toán 12 Ôn tập chương 2: Mặt nón. Mặt trụ. Mặt cầu

Cho ba điểm \(A, B, C\) cùng thuộc một mặt cầu và cho biết \(\widehat {ACB} = 90^0\). Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?

a) Đường tròn qua ba điểm \(A, B, C\) nằm trên mặt cầu.

b) \(AB\) là một đường kính của mặt cầu đã cho.

c) \(AB\) không  phải là đường kính của mặt cầu.

d) \(AB\) là đường kính của đường tròn giao tuyến tạo bởi mặt cầu và mặt phẳng \((ABC)\)

Phương pháp giải

Nhận xét từng đáp án và rút ra kết luận.

Hướng dẫn giải

Câu a: Đúng

Câu b: Sai

Câu c: Sai

Câu d: Đúng

Cho tứ diện \(ABCD\) có cạnh \(AD\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\) và cạnh \(BD\) vuông góc với cạnh \(BC\). Biết \(AB = AD = a\), tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón được tạo thành khi quay đường gấp khúc \(BDA\) quanh cạnh \(AB\).

Phương pháp giải

Vì \(∆ABD\) vuông góc tại \(A\), nên khi quay \(BDA\) quanh \(AB\) ta được hình nón tròn xoay đường cao \(h=AB \) và bán kính đáy bằng \(r=AD.\)

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh và thể tích khối nón: \({S_{xq}} = \pi rl,\,\,V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\)

Hướng dẫn giải

Khi quay đường gấp khúc BDA quanh cạnh AB ta được mặt nón có đỉnh B, đường sinh BD.

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} AD\perp (ABC)\\ BC\perp BD \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} BC\perp AD\\ BC\perp BD \end{matrix}\right.\Rightarrow BC\perp BA\)

Do vậy tam giác vuông tại B nên \(\widehat{BAC}<90^0\) và mặt đáy của mặt nón không nằm trên mặt phẳng (ACD).

Ta có: \(BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=a\sqrt{2}\) (do tam giác ABD vuông tại A)

Diện tích xung quanh của mặt nón là: \(S_{xq}=\pi . r.l=\pi.AD.BD= \pi. a^2.\sqrt{2}\)

Thể tích của khối nón tạo bởi mặt nón nói trên là:

\(V=\frac{1}{3}\pi.r^2.h=\frac{1}{3}.\pi. AD^2.AB=\frac{\pi a^3}{3}\)

Chứng minh rằng hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau nội tiếp được trong một mặt cầu.

Phương pháp giải

Sử dụng kết quả: Hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau có chân đường vuông góc của đỉnh trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp của khối chóp.

Bước 1: Xác định trục d của mặt đáy (trục là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy).

Bước 2: Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên.

Bước 3: Xác định \(I = \left( P \right) \cap d\), khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Hướng dẫn giải

Giả sử ta có hình chóp \(S.ABCD\), có các cạnh bên \(SA = SB = SC = SD = ...\)

Kẻ  \(SH \bot (ABCD)\), ta chứng minh được \(△SHA = △SHB = △SHC = △SHD = △...\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

Suy ra \(HA = HB = HC = HD = ...\) \( \Rightarrow \) H là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy ABCD...

Trong tam giác \(SAH\) chẳng hạn, ta kẻ đường trung trực của cạnh \(SA\), đường này cắt \(SH\) ở điểm \(I \Rightarrow IA = IS\).

Do đó: \(IS = IA = IB = IC = ID = ...\) hay điểm \(I\) cách đều các đỉnh của hình chóp và do đó \(I\) là tâm mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp.

Hình chóp \(S.ABC\) có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh \(SA, SB, SC\) và tiếp xúc với ba cạnh \(AB, BC, CA\) tại trung điểm của mỗi cạnh. Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.

Phương pháp giải

Chóp tam giác đều là chóp có đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Gọi \(M, N, P\) theo thứ tự là các tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh \(SA, SB, SC\); \(D, E, F\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CA\), các điểm \(D, E, F\) đồng thời cũng là tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh \(AB, BC, CA\).

Ta có

\(AD = AF\) (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)  \(\Rightarrow AB = AC\)

Tương tự: \(BD = BE \Rightarrow  BC = AB\)

\( \Rightarrow  AB = BC = CA \Rightarrow  △ABC\) là tam giác đều... (1)

Ta lại có \(AM = AD; BN = BD = AD\)

và \(SM = SN = SP\)

\( \Rightarrow  SM + AM = SN + NB\)

\( \Rightarrow  SA = SB\)

Chứng minh tương tự ta có: \(SA = SB = SC\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra hình chóp \(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều.

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD).

a) Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính độ dài đoạn AH.

b) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác BCD và chiều cao AH.

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta AHB = \Delta AHC = \Delta AHD\) và suy ra \(HB = HC = HD\).

Sử dụng định lí Pitago tính độ dài đoạn \(AH\).

b) Sử dụng các công thức diện tích xung quanh và thể tích khối trụ: \({S_{xq}} = 2\pi rh,\,\,V = \pi {r^2}h\), trong đó \(r,h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ.

Hướng dẫn giải

Câu a

Xét 3 tam giác AHB, AHC, AHD có: chung cạnh AH và AB = AC = AD = a

\(\Rightarrow \Delta AHB=\Delta AHC=\Delta AHD\)

\(\Rightarrow HB= HC= HD\) hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BCD.\)

Do \(\Delta BCD.\) là tam giác đều BM là trung trực của \(\Delta BCD.\) nên BM cũng là trung tuyến.

\(\Rightarrow BM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow BH=\frac{2}{3}BM=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

Xét tam giác vuông ABH, ta có:

\(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

Câu b

Hình trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp \(\Delta BCD\) và chiều cao AH thì bán kính hình trụ là:

\(r=BH=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow S_{xq}=2\pi.r.AH=2 \pi.\frac{a\sqrt{6}}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{3} =\frac{2\pi a^2\sqrt{2}}{3}\)

Thể tích của khối trụ là:
\(V=\pi.r^2.AH= \pi \left ( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right )^2.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{\pi a^3\sqrt{6}}{9}\)

Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Từ tâm \(O\) của hình vuông dựng đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\). Trên \(\Delta\) lấy điểm \(S\) sao cho \(OS ={a \over 2}\). Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\). Tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.

Phương pháp giải

Phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp của khối chóp.

Bước 1: Xác định trục d của mặt đáy (trục là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy).

Bước 2: Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên.

Bước 3: Xác định \(I = \left( P \right) \cap d\), khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Sau khi xác định được tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD tính bán kính R của mặt cầu đó và sử dụng các công thức tính diện tích mặt cầu \(S = 4\pi {R^2}\) và thể tích khối cầu \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3}\).

Hướng dẫn giải

Do O là tâm của hình vuông ABCD cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD nên đường thẳng tam giác là trục của đường tròn đó.

Gọi I là giao điểm của đường thẳng tam giác và mặt phẳng trung trực của cạnh SA, khi đó IS = IA = IB = IC = ID = r hay mặt cầu S(I; r) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Ta có \(\Delta SMI\) đồng dạng \(\Delta SOA\)

\(\Rightarrow \frac{SI}{SA}=\frac{SM}{SO}\Leftrightarrow SI=\frac{SA.AM}{SO}=\frac{SA^2}{2SO}\).

Trong đó: \(SA^2=OA^2+SO^2=\left ( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right )^2+\frac{a^2}{4}= \frac{3a^2}{4}\).

Bán kính \(r=SI=\frac{\frac{3a^2}{4}}{2.\frac{a}{2}}=\frac{3a}{4}\).

Diện tích mặt cầu S(I; r) là: \(S=4 \pi. r^2=\frac{9\pi.a^2}{4}\).

Thể tích của khối cầu là: \(V=\frac{4}{3}.\pi.r^3=\frac{9\pi.a^3}{16}\).

Cho hình trụ có bán kính r, trục OO' = 2r và mặt cầu có đường kính OO'. 

a) Hãy so sánh diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.

b) Hãy so sánh thể tích khối trụ và thể tích khối cầu được tạo nên bởi hình trụ và mặt cầu đã cho.

Phương pháp giải

a) Tính các diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ rồi so sánh: \({S_{cau}} = 4\pi {R^2};\,\,{S_{xq\,tru}} = 2\pi rh\)

b) Tính thể tích khối cầu và thể tích khối trụ và so sánh: \({V_{cau}} = \frac{4}{3}\pi {R^3};\,\,{V_{tru}}\, = \pi {r^2}h\)

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có: Diện tích xung quanh của hình trụ là \(S_{xq}=2\pi.r.h=4 \pi.r^2\)

Diện tích mặt cầu bán kính r là: \(S=4.\pi.r^2\)

Vậy diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ nói trên là bằng nhau.

Câu b

Thể tích của khối trụ là: \(V_T=\pi.r^2.=2\pi.r^3\)

Thể tích của khối cầu là: \(V_C=\frac{4}{3}.\pi.r^3\Rightarrow \frac{V_T}{V_C}=\frac{2\pi .r^3}{\frac{4}{3}\pi.r^3}=\frac{3}{2}\)

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi S là diện tích xung quanh của hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông ABCD và A'B'C'D'. Diện tích S là.

(A) \(\pi a^2\)

(B) \(\pi a^2\sqrt{2}\)

(C) \(\pi a^2\sqrt{3}\)

(D) \(\frac{\pi a^2\sqrt{2}}{2}\)  

Phương pháp giải

Diện tích xung quanh của hình trụ \({S_{xq}} = 2\pi Rh\), trong đó \(R;h\) lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường cao của hình trụ.

Hình trụ đã cho có đường cao bằng cạnh của hình lạp phương và bán kính đáy là bán kính đường tròn ngoại tiếp hình lập phương cạnh \(a\).

Hướng dẫn giải

Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là \(r=OA=\frac{1}{2} AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

Diện tích xung quanh của hình trụ là: \(S_{xq} =2 \pi r.l=2\pi .\frac{a\sqrt{2}}{2}.a=\pi a^2\sqrt{2}\)

⇒ Chọn đáp án B

Gọi S là diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay được sinh ra bởi đoạn thẳng AC' của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh b khi quay quanh trục AA'. Diện tích S là:

(A) \(\pi b^2\)

(B) \(\pi b^2 \sqrt{2}\)

(C) \(\pi b^2 \sqrt{3}\)

(D) \(\pi b^2 \sqrt{6}\)

Phương pháp giải

Khi quay \(AC'\) xung quanh trục \(AA'\) ta được hình nón đỉnh A có chiều cao \(AA'\), đường sinh \(AC'\) và bán kính đáy \(A'C'\).

Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón: \({S_{xq}} = \pi rl\), trong đó \(r;l\) lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón.

Hướng dẫn giải

Ta có, bán kính của đường tròn đáy là \(A'C'=b\sqrt{2}.\) Khi đó diện tích xung quanh của hình nón đã cho là

\(AC'=\sqrt{AA'^2+A'B'^2+B'C'^2}=\sqrt{3b^2}=b\sqrt{3}\)

\(A'C'=b\sqrt{2}\)

Diện tích xung quanh của hình nón là:

\(S_{xq}=\pi .r.l=\pi .A'C'.AC'=\pi b\sqrt{2}.b\sqrt{3}=\pi b^2\sqrt{6}\)

⇒ Chọn đáp án D

Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, có SA vuông góc với (ABC) và có SA = a, AB = b và AC = c. Mặt cầu đi qua các đỉnh A,B,C,S có bán kính r bằng

(A) \(\frac{2(a+b+c)}{3}\)

(B) \(2\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

(C) \(\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

(D) \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

Phương pháp giải

Phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp của khối chóp.

Bước 1: Xác định trục d của mặt đáy (trục là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy).

Bước 2: Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên.

Bước 3: Xác định \(I = \left( P \right) \cap d\), khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Hướng dẫn giải

 Tâm \(I\) của mặt cầu đi qua \(A,B,C,S\) là giao của trục đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) và mặt phẳng trung trực của \(SA\)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên trục đường tròn \(Mx\) với \(M\) là trung điểm của \(BC\).

Bán kính mặt cầu \(R=IA\) 

\(MI={1 \over 2} SA = {a\over 2}\), \(AM={1\over 2} BC={1\over 2} \sqrt{b^2+c^2}\)

Xét tam giác vuông \(IAM\) có: \(R = IA = \sqrt {I{M^2} + A{M^2}}  = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{b^2} + {c^2}}}{4}}  = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)

Chọn (C).

Cho hai điểm cố định A, B và một điểm M di động trong không gian nhưng luôn luôn thoả mãn điều kiện \(\widehat{MAB}=\alpha\) với \(0^0<\alpha < 90^0\). Khi đó điểm M thuộc mặt nào trong các mặt sau:

(A) Mặt nón

(B) Mặt trụ

(C) Mặt cầu

(D) Mặt phẳng

Hướng dẫn giải

\(\widehat{MAB}=\alpha\) (\(0^0<\alpha < 90^0\))

nên M luôn nằm trên những đường thẳng tạo với AB một góc không đổi \(\alpha\). Những đường thẳng tạo thành một mặt nón xác định.

⇒ M luôn luôn nằm trên một mặt nón xác định.

⇒ Chọn đáp án A

Số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước là:

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) vô số

Hướng dẫn giải

Có vô số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước

⇒ Chọn đáp án D

Trong các đa diện sau đây, đa diện nào không luôn luôn nội tiếp được trong mặt cầu:

(A) Hình chóp tam giác (tứ diện);

(B) Hình chóp ngũ giác đều;

(C) Hình chóp tứ giác;

(D) Hình hộp chữ nhật

Hướng dẫn giải

Ta có hình chóp tứ giác có đáy là hình bình hành thì không nội tiếp trong một mặt cầu vì đáy không nội tiếp đường tròn 

⇒ Chọn đáp án C

Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh BD vuông góc với cạnh BC. Khi quay các cạnh tứ diện đó quanh trục là cạnh AB, có bao nhiêu hình nón được tạo thành?

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

Hướng dẫn giải

Ta có \(AD\perp (ABC)\Rightarrow AD\perp BC\)

Mặt khác \(BC\perp BD\)

Suy ra ta có: \(BC\perp AB\)

\(\Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại B nên cạnh AC quay quanh AB tạo thành một hình nón.

Tương tự \(\Delta ABD\) là tam giác vuông tại A nên BD quay quanh AB tạo thành một hình nón.

Vậy có hai hình nón được tạo thành.

⇒ Chọn đáp án (B)

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a. Một hình nón có đỉnh là tâm của hình vuông ABCD và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông A'B'C'D'. Diện tích xung quanh của hình nón đó là:

(A) \(\frac{\pi a^2 \sqrt{3}}{3}\)

(B) \(\frac{\pi a^2 \sqrt{2}}{2}\)

(C) \(\frac{\pi a^2 \sqrt{3}}{2}\)

(D) \(\frac{\pi a^2 \sqrt{6}}{2}\)

Hướng dẫn giải

Bán kính mặt đáy hình chóp là: \(O'A'=\frac{1}{2}A'C'=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

Đường sinh của hình nón là: \(OB'=\sqrt{AB^2+BB'^2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\)

⇒ Diện tích xung quanh của mặt nón là:

\(S_{xq}=\pi.O'A'.OB'=\frac{\pi.a^2.\sqrt{3}}{2}\)

⇒ Chọn đáp án C.

Cho tam giác đều ABC cạnh a quay quanh đường cao AH tạo nên một hình nón. Diện tích xung quanh hình nón đó là:

(A) \(\pi a^2\)

(B) \(2 \pi a^2\)

(C) \(\frac{1}{2} \pi a^2\)

(D) \(\frac{3}{4} \pi a^2\)

Hướng dẫn giải

Hình nón có bán kính mặt đáy là: \(BH=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}\) và đường sinh AB = a

\(\Rightarrow S_{xq}=\pi.\frac{a}{2}.a=\frac{\pi a^2}{2}\)

⇒ Chọn đáp án C

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào SAI?

(A) Mặt trụ và mặt nón có chứa các đường thẳng;

(B) Mọi hình chóp luôn nội tiếp trong mặt cầu;

(C) Có vô số mặt phẳng cắt một mặt cầu theo những đường tròn bằng nhau;

(D) Luôn luôn có hai đường tròn có bán kính khác nhau cùng nằm trên một mặt nón.

Hướng dẫn giải

Các mệnh đề (A), (C), (D) đúng

⇒ Chọn đáp án C.

Cho hình trụ có bán kính r; O, O' là tâm của hai đáy OO' = 2r. Một mặt cầu (S) tiếp xúc với đáy của hình trụ tại O và O'. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?

(A) Diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh của hình trụ;

(B) Diện tích mặt cầy bằng \(\frac{2}{3}\) diện tích toàn phần của hình trụ;

(C) Thể tích khối cầu bằng \(\frac{3}{4}\) thể tích khối trụ;

(D) Thể tích khối cầu bằng \(\frac{2}{3}\) thể tích khối trụ;

Hướng dẫn giải

Ta có: mặt cầu có bán kính là r khi đó:

Diện tích xung quanh hình trụ: \(S_{xq}=2 \pi . r . l=4 \pi .r^2\)

Diện tích toàn phần hình trụ: \(S_{tp}=4 \pi .r^2 +2\pi .r^2 =6\pi .r^2\)

Diện tích mặt cầu: \(S=4 \pi .r^2\)

Thể tích khối trụ: \(V_t=\pi .r^2 .h=2\pi .r^3\)

Thể tích khối cầu: \(V_C=\frac{4}{3}\pi .r^3\)

Thể tích của khối trụ là \(V_T=2\pi.r^4\Rightarrow \frac{V_C}{V_t}=\frac{2}{3}\) 

⇒ Chọn đáp án C.

Một hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu và có ba kích thước là a, b, c. Khi đó bán kính r của mặt cầu được tính theo công thức:

(A) \(r=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

(B) \(r=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

(C) \(r=\sqrt{2(a^2+b^2+c^2)}\)

(D) \(r=\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{3}\)

Hướng dẫn giải

Tâm mặt cầu là giao của các đường chéo của hình hộp chữ nhật, còn bán kính là bằng nữa đường chéo

\(r=\frac{1}{2}d=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

⇒ Chọn đáp án A.

Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh a. Thể tích khối trụ đó là:

(A) \(\frac{1}{2} \pi a^3\)

(B) \(\frac{1}{4} \pi a^3\)

(C) \(\frac{1}{3} \pi a^3\)

(D) \(\pi a^3\)

Hướng dẫn giải

Bán kính đáy của hình trụ là \(r=\frac{a}{2}\)

Thể tích của khối trụ là: \(V=\pi .r^2.h=\pi .\frac{a^2}{4}.a=\pi .\frac{a^3}{4}\)

⇒ Chọn đáp án B.

Một hình tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của một hình nón, còn ba đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón là:

(A) \(\frac{1}{2}\pi a^2\sqrt{3}\)

(B) \(\frac{1}{3}\pi a^2\sqrt{2}\)

(C) \(\frac{1}{3}\pi a^2\sqrt{3}\)

(D) \(\pi a^2\sqrt{3}\)

Hướng dẫn giải

H là hình chiếu của đỉnh A lên mp(BCD) ta có H là tâm đường tròn đáy của hình chóp và bán kính đường tròn này là:

\(r=BH=\frac{2}{3}BM=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

Chiều cao \(AH=\sqrt{BA^2-HB^2}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

Diện tích xung quanh của hình nón là:

\(S=\pi.r.AH=\frac{\pi.a^2\sqrt{2}}{3}\)

⇒ Chọn đáp án B

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

(A) Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình tứ diện bất kì.

(B) Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp đều.

(C) Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình hộp.

(D) Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình hộp chữ nhật.

Hướng dẫn giải

Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình hộp.

⇒ Chọn đáp án C.

Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính quả bóng bàn. Gọi S1 là tổng diện tích của ba quả bóng bàn, S2 là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số S1/S2 bằng:

(A) 1

(B) 2

(C) 1,5

(D) 1,2

Hướng dẫn giải

Giả sử quả bóng bàn có bán kính là r thì chiều cao hình trụ là h = 6r.

Ta có:

\(S_1=3.4. \pi .r^2=12 \pi .r^2\)

\(S_2=2 \pi .r. l = 2\pi .r . 6r=12 \pi .r^2\)

\(\Rightarrow \frac{S_1}{S_2}=1\)

⇒ Chọn đáp án A

Người ta xếp 7 viên bi có cùng bán kính r vào một cái lọ hình trụ sao cho tất cả các viên bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa đều tiếp xúc với 6 viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Khi đó diện tích đáy của cái lọ hình trụ là:

(A) \(16 \pi r^2\)

(B) \(18 \pi r^2\)

(C) \(9 \pi r^2\)

(D) \(36 \pi r^2\)

Hướng dẫn giải

Ta có hình vẽ cắt ngang "7 viên bi" bởi một mặt phẳng song song với mặt đáy của lọ hình trụ.

Bán kính đáy của hình trụ là:

\(\frac{1}{2}(2r +2r+2r)=3r\)

Diện tích đáy hình trụ là

\(S= \pi (3r)^2=9 \pi r^2\)

⇒ Chọn đáp án C

Cho ba điểm A, C, B nẳm trên một mặt cầu, biết rằng góc \(\widehat{ACB}=90^o\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?

(A) AB là một đường kính của mặt cầu.

(B) Luôn luông có một đường tròn nằm trên mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC.

(C) Tam giác ABC vuông cân tại C.

(D) Mặt phẳng (ABC) cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn lớn.

Hướng dẫn giải

Do \(\widehat{ACB}=90^0\) nên A, B, C nằm trên một đường tròn và đường tròn này phải nằm trên mặt cầu.

Câu (A), (C) và (D) sai.

⇒ Chọn đáp án B.