Giải bài tập SGK Toán 12 Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức

Thực hiện các phép tính sau

a) (3 - 5i) + (2 + 4i)

b) (-2 - 3i) + (-1 - 7i)

c) (4 + 3i) - (5 - 7i)

d) (2 - 3i) - ( 5 - 41)

Phương pháp giải

Công thức cộng, trừ hai số phức

Cho hai số phức ${z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),$ ta có:

$z_1+z_2=(a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i$

$z_1-z_2=(a + bi) - ( c + di) = (a - c) + (b - d)i$

Hướng dẫn giải

Câu a

 (3 - 5i) + (2 + 4i) = (3 + 2) + (-5i + 4i) = (3 + 2) + (-5 + 4)i = 5 - i.

Câu b

 (-2 - 3i) + (-1 - 7i) = (-2 - 1) + (-3i - 7i) = (-2 - 1) + (-3 - 7)i = -3 - 10i.

Câu c

 (4 + 3i) - (5 - 7i) = (4 - 5) + (3i + 7i) = (4 - 5) + (3 + 7)i =-1 + 10i.

Câu d

(2 - 3i) - ( 5 - 4i) = (2 - 5) + (-3i + 4i) = (2 - 5) + (-3 + 4)i =-3 + i.

Tính $\small \alpha + \beta, \alpha - \beta$, biết

a) $\small \alpha = 3, \beta = 2 i$

b) $\small \alpha = 1- 2i, \beta = 6i$

c) $\small \alpha = 5i, \beta = -7i$

d) $\small \alpha = 15, \beta = 4 - 2i$

Phương pháp giải

Công thức cộng, trừ hai số phức

Cho hai số phức ${z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),$ ta có:

$z_1+z_2=(a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i$

$z_1-z_2=(a + bi) - ( c + di) = (a - c) + (b - d)i$

Hướng dẫn giải

Câu a

 α + β = 3 + 2i;             α - β = 3 - 2i.                                     

Câu b

 α + β = 1 + 4i;             α - β = 1 - 8i.

Câu c

 α + β = -2i;                 α - β = 12i.    

Câu d

 α + β = 19 - 2i;             α - β = 11 + 2i.

Thực hiện các phép tính sau

a) (3 - 2i)(2 - 3i)

b) (-1 + i)(3 + 7i)

c) 5(4 + 3i)

d) (-2 - 5i).4i

Phương pháp giải

Công thức nhân hai số phức

Cho hai số phức ${z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),$ ta có:

$z_1.z_2=(a + bi)( c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$

Hướng dẫn giải

Câu a

(3 - 2i)(2 - 3i) = 6 + 6i2 -9i - 4i = (6 - 6) + (-9 -4)i = -13i.

Câu b

(-1 + i)(3 + 7i) = -3 + 7i2 -7i + 3i =(-3 - 7) + (-7 + 3)i = -10 -4i.

Câu c

5(4 + 3i) = 20 + 15i.

Câu d

(-2 - 5i).4i = -8i - 20i2 = -8i -20(-1) = 20 - 8i.

Tính ${i^3},{i^4},{i^5}$

Nêu cách tính $i^n$ với $n$ là một số tự nhiên tuỳ ý

Phương pháp giải

Phân tích ${i^3} = {i^2}.i;\,\,\,{i^4} = {i^3}.i;\,\,{i^5} = {i^4}.i$, sử dụng quy ước ${i^2} =  - 1$.

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{l}{i^3} = {i^2}.i = - 1.i = - i\\{i^4} = {i^3}.i = - i.i = - {i^2} = 1\\{i^5} = {i^4}.i = 1.i = i\end{array}$.

Ta có

Với $n = 4k$ thì ${i^n} = {i^{4k}} = {\left( {{i^4}} \right)^k} = {1^k} = 1$

Với $n = 4k + 1$ thì ${i^n} = {i^{4k + 1}} = {i^{4k}}.i = 1.i = i$

Với $n = 4k + 2$ thì ${i^{4k + 2}} = {i^{4k}}.{i^2} = 1.\left( { - 1} \right) =  - 1$

Với $n = 4k + 3$ thì ${i^{4k + 3}} = {i^{4k}}.{i^3} = 1.\left( { - i} \right) =  - i$

Vậy ${i^{4k}} = 1,$ ${i^{4k + 1}} = i,$${i^{4k + 2}} =  - 1,$${i^{4k + 3}} =  - i$.

Tính

a) $(2 + 3i)^2$

b) $(2 + 3i)^3$

Phương pháp giải

Sử dụng các hằng đẳng thức

$\begin{array}{l} {\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\\ {\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} \end{array}$

Hướng dẫn giải

Câu a

$\begin{array}{l} \,\,{\left( {2 + 3i} \right)^2}\\ \,\,\, = {2^2} + 2.2.3i + {\left( {3i} \right)^2}\\\,\,\, = 4 + 12i + 9i^2\\\,\,\, = 4 + 12i - 9\\\,\,\, = - 5 + 12i\end{array}$

Câu b

$\begin{array}{l}\,\,{\left( {2 + 3i} \right)^3}\\ \,\,\, = {2^3} + {3.2^2}.3i + 3.2.{\left( {3i} \right)^2} + {\left( {3i} \right)^3}\\ \,\,\, =8+36i+54i^2+27i^3 \\ \,\,\, =8+36i+54.(-1)+27.(-i)\\ \,\,\, = 8 + 36i - 54 - 27i\\ \,\,\, = - 46 + 9i \end{array}$