Giải bài tập SGK Toán 12 Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian

Cho ba vectơ \(\overrightarrow{a}=(2; -5; 3)\), \(\overrightarrow{b}=(0; 2; -1)\), \(\overrightarrow{c}=(1; 7; 2)\).

a) Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{d}=4.\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\).

b) Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}\).

Phương pháp giải

Áp dụng các công thức cộng, trừ hai vectơ, nhân một số với một vectơ.

Cho hai vectơ \(\vec{u}=(x;y;z)\) và \(\vec{u'}=(x';y'; z')\):

\(\vec{u}+\vec{u'}=(x+x';y+y';z+ z')\)

\(\vec{u}-\vec{u'}=(x-x';y-y';z- z')\)

\(k\vec{u}=(kx;ky;kz)\)

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có

\(4\vec{a}=( 8; -20; 12)\);  \(\frac{1}{3}\overrightarrow{b}= (0;-\frac{2}{3}; \frac{1}{3})\); \(3\vec{c} = ( 3; 21; 6)\). 

Do đó \(\overrightarrow{d}=4\vec{a}-\frac{1}{3}+3\vec{c}= (11; \frac{1}{3};\frac{55}{3})\).

Câu b

\(\vec a = (2; - 5;3),{\rm{ }} - 4\vec b = (0; - 8;4),{\rm{  - 2}}\vec c = ( - 2; - 14; - 4).\)

Do đó: \(\overrightarrow{e}=\vec{a}-4\vec{b}-2\vec{c} =( 0; -27; 3)\)

Cho ba điểm A = (1; -1; 1), B = (0; 1; 2), C = (1; 0; 1).

Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Phương pháp giải

\(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\{z_G} = \dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \dfrac{{1 + 0 + 1}}{3} = \dfrac{2}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \dfrac{{ - 1 + 1 + 0}}{3} = 0\\{z_G} = \dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \dfrac{{1 + 2 + 1}}{3} = \dfrac{4}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\dfrac{2}{3};0;\dfrac{4}{3}} \right)\)

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) biết \(A = (1; 0; 1), B = (2; 1; 2), D = (1; -1; 1)\), \(C' (4; 5; -5)\). Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Phương pháp giải

Sử dụng các vector bằng nhau.

Hai vector \(\overrightarrow u \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right) = \overrightarrow v \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{y_1} = {y_2}\\{z_1} = {z_2}\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải

Ta có

\(\overrightarrow{AB}=(1;1;1)\)

\(\overrightarrow{AD}=(0;-1;0)\)

\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_C-2=0\\ y_C-1=-1\\ z_C-2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_C=2\\ y_C=0\\ z_C=2 \end{matrix}\right.\)

Vậy C=(2;0;2)

Suy ra \(\overrightarrow{CC'}=(2;5;-7)\)

Từ \(\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}= \overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{CC'}=(2;5;-7)\)

\(\overrightarrow {AA'} = (2;5; - 7) \Rightarrow\) \(\left\{\begin{matrix} x_{A'}-1=2\\ y_{A'}-0=5\\ z_{A'}-1=-7 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{A'}=3\\ y_{A'}=5\\ z_{A'}=-6\\ \end{matrix}\right.\)

Vậy A'(3;5;-6).

\(\overrightarrow {BB'} = (2;5; - 7) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{B'}} - 2 = 2}\\ {{y_{B'}} - 1 = 5}\\ {{z_{B'}} - 2 = - 7} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{B'}} = 4}\\ {{y_{B'}} = 6}\\ {{z_{B'}} = - 5} \end{array}} \right.\)

Vậy: B'(4;6;-5).

\(\overrightarrow {DD'} = (2;5; - 7) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{D'}} - 1 = 2}\\ {{y_{D'}} + 1 = 5}\\ {{z_{D'}} - 1 = - 7} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{D'}} = 3}\\ {{y_{D'}} = 4}\\ {{z_{D'}} = - 6} \end{array}} \right.\)

D'=(3;4;-6)

Tính

a) \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) với \(\overrightarrow{a}(3; 0; -6),\overrightarrow{b}(2; -4; 0)\).

b) \(\overrightarrow{c}.\overrightarrow{d}\) với \(\overrightarrow{c}(1; -5; 2),\overrightarrow{d}(4; 3; -5)\).

Phương pháp giải

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: \(\left.\begin{matrix} \vec{a}=(x_1;y_1;z_1)\\ \vec{b}=(x_2;y_2;z_2) \end{matrix}\right\} \vec{a}.\vec{b} = x_1.x_2 + y_1.y_2 + z_1.z_2\)

Hướng dẫn giải

Câu a

 \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 3.2 + 0.(-4) +(-6).0 = 6.\)

Câu b

 \(\overrightarrow{c}.\overrightarrow{d} = 1.4 + (-5).3 + 2.(-5) = -21.\)

Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:

a) \(\small x^2 + y^2 + z^2 - 8x - 2y + 1 = 0\).

b) \(\small 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\).

Phương pháp giải

Cách 1

Phương trình mặt cầu dạng \(x^2+y^2+z^2-2Ax-2By-2Cz+D=0\), điều kiện \(A^2+B^2+C^2-D> 0\).

Khi đó, mặt cầu có tâm \(I(A;B;C)\), bán kính \(R = \sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2} - D} .\)

Cách 2

Đưa phương trình về dạng \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\). Khi đó mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính R.

Hướng dẫn giải

Câu a

Cách 1

Xét phương trình: \(\small x^2 + y^2 + z^2 - 8x - 2y + 1 = 0\) có dạng:

\(x^2+y^2+z^2+2Ax+2By+2Cz+D=0\)

Với: \(\left\{ \begin{array}{l} A = 4\\ B = 1\\ C = 0\\ D = 1 \end{array} \right. \Rightarrow {A^2} + {B^2} + {C^2} - D = 16 > 0\)

Suy ra đây là phương trình mặt cầu có tâm I(4; 1; 0) và có bán kính R = 4.

Cách 2

Ta có phương trình : x² + y² + z² – 8x - 2y + 1 = 0 

⇔ (x² - 8x + 16) + (y² - 2y + 1) +z² = 16 +1 - 1

⇔  (x – 4)² + (y – 1)² + z² = 42

Đây là mặt cầu tâm I(4; 1; 0) và có bán kính r = 4.

Câu b

Cách 1

Xét phương trình: \(\small 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 - 6x + 8y + 15z - 3 = 0 \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-2x+\frac{8}{3}y+5z-1=0\) có dạng:

\(x^2+y^2+z^2+2Ax+2By+2Cz+D=0\)

Với: \(\left\{ \begin{array}{l} A = 1\\ B = - \frac{4}{3}\\ C = - \frac{5}{2}\\ D = - 1 \end{array} \right. \Rightarrow {A^2} + {B^2} + {C^2} - D = \frac{{361}}{{36}} > 0\)

Suy ra đây là phương trình mặt cầu có tâm  \(I(1; -\frac{4}{3};-\frac{5}{2})\) và có bán kính là R = .

Cách 2

3x² + 3y² + 3z² – 6x + 8y + 15z – 3 = 0

⇔  x² + y² + z² – 2x + y + 5z – 1 = 0

⇔\((x-1)^{2}+(y+\frac{4}{3})^{2}+(z+\frac{5}{2})^{2} -1-\frac{16}{9}-\frac{25}{4}-1=0\)

⇔ \((x-1)^{2}+(y+\frac{4}{3})^{2}+(z+\frac{5}{2})^{2}= \frac{361}{36}=\frac{19^2}{6^2}\).

Đây là mặt cầu tâm \(I(1; -\frac{4}{3};-\frac{5}{2})\) và có bán kính là R = .

6. Giải bài 6 trang 68 SGK Hình học 12

Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây:

a) Có đường kính AB với A(4 ; -3 ; 7), B(2 ; 1 ; 3)

b) Đi qua điểm A = (5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1)

Phương pháp giải

Từ dữ kiện đề bài, xác định tâm và bán kính mặt cầu để có thể viết được phương trình.

Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I(a;b;c), bán kính R có phương trình: \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.\)​

Hướng dẫn giải

Câu a

Tâm I của mặt cầu đường kính AB là trung điểm I của đoạn thảng AB, ta có \(I\left ( \frac{4+2}{2}; \frac{-3+1}{2}; \frac{7+3}{2} \right ) =(3;-1;5)\)

Bán kính mặt cầu: \(R=IA=\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=3\)

Vậy phương trình mặt cầu đường kính AB là: (x - 3)² + (y +1)² + (z – 5)² = 9.

Câu b

Bán kính \(R = CA = \sqrt{4+1+0}=\sqrt{5}\)

Phương trình mặt cầu là: (x - 3)² + (y­ + 3)² + (z – 1)² = 5.