Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 4: Phương sai và độ lệch chuẩn

1. Giải bài 1 trang 128 SGK Đại số 10

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần số đã được lập ở bài tập 1 và của bảng phân bố tần số ghép lớp cho ở bài tập 2 của $\S 1.$

Hướng dẫn giải

- Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần số đã được lập ở bài tập 1 của $\S 1.$

• Phương sai:

$S_{x}^{2}=\dfrac{1}{30}(3\times1150^{2}+6\times1160^{2}$$+12\times1170^{2}+6\times1180^{2}+3\times1190^{2})$$-1170^{2}= 120$

• Độ lệch chuẩn:

$S_x= \sqrt {S_{x}^{2}} = \sqrt {120} ≈ 10,95$.

- Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần số đã được lập ở bài tập 2 của $\S 1.$

• Phương sai:

$S_{x}^{2}=\dfrac{1}{60}(8\times15^{2}+18\times25^{2}$$+24\times35^{2}+10\times45^{2})- 31^2= 84$

• Độ lệch chuẩn: 

$S_x = \sqrt{S_{x}^{2}}=\sqrt{84} ≈ 9,2$

2. Giải bài 2 trang 128 SGK Đại số 10

Hai lớp $10C, 10D$ của một trường Trung học phổ thông đồng thời làm bài thi môn Ngữ văn theo cùng một đề thi. Kết quả thi được thình bày ở hai bảng phân bố tần số sau đây:

Điểm thi Ngữ văn của lớp $10C$

Điểm thi Ngữ văn của lớp $10D$

a) Tính các số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn của các bảng phân bố tần số đã cho.

b) Xét xem kết quả làm bài thi của môn Ngữ văn ở lớp nào là đồng đều hơn?

Phương pháp giải

-Công thức tính trung bình cộng trong bảng phân bố tần số: 

$\overline x  = \dfrac{{{x_1}{n_1} + {x_2}{n_2} + ....... + {x_k}{n_k}}}{n}.$

-Công thức tính phương sai:

${s^2} = \overline {{x^2}}  - {\left( {\overline x } \right)^2}.$

với $\overline {{x^2}}  = \dfrac{{x_1^2{n_1} + x_2^2{n_2} + ....... + x_k^2{n_k}}}{n}.$

- Công thức tính độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{s^2}.$

- Dựa vào kết quả tính số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn để rút ra nhận xét.

Hướng dẫn giải

Câu a:

Số trung bình điểm thi Ngữ văn của lớp $10C$ và $10D$ theo thứ tự là:

$\overline{x}=\dfrac{1}{40}.(3\times 5 + 7\times 6 + 12\times 7$$+ 14\times 8 + 3\times 9 + 1\times10) = 7,25$

$\overline{y}=\dfrac{1}{40}.(8\times6+18\times7+10\times8$$+4\times 9) = 7,25$.

Ta có: 

$\begin{array}{l} \overline {{x^2}} = \dfrac{{{{3.5}^2} + {{7.6}^2} + {{12.7}^2} + {{14.8}^2} + {{3.9}^2} + {{1.10}^2}}}{{40}}\\ = 53,85.\\ \overline {{y^2}} = \dfrac{{{{8.6}^2} + {{18.7}^2} + {{10.8}^2} + {{4.9}^2}}}{{40}} = 53,35. \end{array}$

Phương sai bảng điểm thi Văn của hai lớp theo thứ tự là:

$S_{x}^{2}=\overline {{x^2}}  - {\left( {\overline x } \right)^2}$ $= 53,85 - {\left( {7,25} \right)^2}= 1,2875$

$S_{y}^{2}=\overline {{y^2}}  - {\left( {\overline y } \right)^2}$ $= 53,35 - {\left( {7,25} \right)^2} = 0,7875$.

Độ lệch chuẩn theo thứ tự là $S_x=\sqrt{S_x^2}≈ 1,1347$;  $S_y=\sqrt{S_y^2}≈ 0,8874$.

Câu b:

Qua xem xét các số đặc trưng ta thấy điểm trung bình thi văn $2$ lớp $10C$ và $10D$ là như nhau (đều bằng $7,25$).

Nhưng phương sai của bảng điểm thi lớp $10D$ nhỏ hơn phương sai tương ứng ở lớp $10C$.

Điều đó chứng tỏ kết quả làm bài thi Văn ở lớp $10D$ đồng đều hơn.

3. Giải bài 3 trang 128 SGK Đại số 10

Phương pháp giải

- Công thức tính trung bình cộng trong bảng phân bố tần số ghép lớp:

$\overline x  = \dfrac{{{c_1}{n_1} + {c_2}{n_2} + ....... + {c_k}{n_k}}}{n}.$

- Công thức tính phương sai:

${s^2} = \overline {{x^2}}  - {\left( {\overline x } \right)^2}.$

với $\overline {{x^2}}  = \dfrac{{x_1^2{n_1} + x_2^2{n_2} + ....... + x_k^2{n_k}}}{n}.$

- Dựa vào kết quả tính số trung bình cộng, phương sai để rút ra nhận xét.

Hướng dẫn giải

Câu a:

• Số trung bình cộng của nhóm cá thứ nhất: 

$\overline{x}=\dfrac{1}{20}.(4\times0,7 + 6\times0,9$$+ 6\times 1,1 + 4\times 1,3) = 1$

• Số trung bình cộng của nhóm cá thứ hai: 

$\overline{y}=\dfrac{1}{20}.(3\times0,6 + 4\times0,8 + 6\times1$$+ 4\times1,2 + 3\times1,4) = 1$

Câu b:

- Đối với nhóm cá thứ nhất:

• Phương sai: $S_{x}^{2}=\dfrac{1}{20}.(4\times0,7^2 + 6\times0,9^2$$+ 6\times1,1^2 + 4\times1,3^2) – 1 = 0,042$
• Độ lệch chuẩn: $S_x≈ 0,2$

- Đối với nhóm cá thứ hai:

• Phương sai: $S_{y}^{2}=\dfrac{1}{20}.(3\times0,6^2 + 4\times0,8^2 + 6\times1^2$$+ 4\times1,2^2 + 3\times 1,4^2) – 1 = 0,064$
• Độ lệch chuẩn: $S_x= \sqrt{0,064} ≈ 0,25$.

Câu c:

Ta thấy $\overline{x}=\overline{y}= 1$, trọng lượng trung bình hai nhóm cá bằng nhau nhưng $S_{x}^{2} < S_{y}^{2}$ chứng tỏ mức độ phân tán các giá trị so với giá trị trung bình của nhóm cá thứ hai lớn hơn. Nghĩa là khối lượng nhóm cá thứ nhất đồng đều hơn nhóm cá thứ hai.