Giải bài tập SGK Toán 10 Ôn tập chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai

Phát biểu quy ước về xác định của hàm số cho bởi công thức. Từ đó hai hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{(x + 1)({x^2} + 2)}}\) và \(y = \frac{1}{{{x^2} + 2}}\) có gì khác nhau?

Hướng dẫn giải:

Giả sử y =f(x) là hàm số cho bởi công thức. Khi đó, tập xác định D của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa. Ta có thể viết D dưới dạng:

D= {\(x \in D|\) f(x) có nghĩa}

Hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{(x + 1)({x^2} + 2)}}\) có tập xác định \({D_1} = \mathbb{R}\backslash {\rm{\{ }} - 1\} ,\) còn tập xác định của hàm số \(y = \frac{1}{{{x^2} + 2}}\) là tập \({D_2} = \mathbb{R}\)

Thế nào là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a; b)?

Hướng dẫn giải:

Hàm số y=f(x) được gọi là đồng biết (hay tăng) trên khoảng (a; b) nếu: \(\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in (a;b);{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow f({{x}_{1}})\)

Hàm số y=f(x) được gọi là nghịch biến (hay giảm) trên khoảng (a; b) nếu: \(\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in (a;b);{{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow f({{x}_{1}})>f({{x}_{2}})\)

Thế nào là một hàm số chẵn? Thế nào là một hàm số lẻ?

Hướng dẫn giải:

Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số chẵn nếu: \(\forall x \in D,\) thì \( - x \in D\) và \(f( - x) = f(x)\)

Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số lẻ nếu: \(\forall x \in \) thì \( - x \in D\)và \(f( - x) =  - f(x)\)

4. Giải bài 4 trang 50 SGK Đại số 10

Chỉ ra khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số y = ax + b, trong mỗi trường hợp a > 0; a < 0

Hướng dẫn giải:

Khi a > 0, hàm số y = ax + b đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\)  hay đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Khi a < 0, hàm số y = ax + b nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\) hay nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

Chỉ ra khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số: \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c,\) trong mỗi trường hợp a > 0, a < 0

Hướng dẫn giải:

Khi a > 0, hàm số \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{b}{{2a}}} \right)\)

Khi a < 0, hàm số \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{b}{{2a}}} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\)

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c\) cho hai trường hợp:

Trường hợp: a > 0

Trường hợp: a <  0

6. Giải bài 6 trang 50 SGK Đại số 10

Xác định toạ độ của đỉnh, phương trình của trục đối xứng của parabol \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bc + c.\)

Hướng dẫn giải:

Parabol \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bc + c\) có đỉnh D có toạ độ là: \(D = \left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)

Parabol \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bc + c\) có phương trình trục đối xứng là: \(x =  - \frac{b}{{2a}}\)

Xác định toạ độ giao điểm của parabol \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bc + c\) với trục tung. Tìm điều kiện để parabol này cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt, tại một điểm và viết toạ độ của các giao điểm trong mỗi trường hợp

Hướng dẫn giải:

Ta biết trục tung có phương trình là: x = 0. Vì vậy gọi B(x; y) là giao điểm của parabol \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bc + c\) với trục tung thì x, y là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bc + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = c\end{array} \right. \Rightarrow B(0;c)\)

Ta đã biết trục hoành có phương trình là: y = 0, do đó toạ độ giao điểm (x; y) (nếu có) của parabol \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c\) và trục hoành là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\y = a{x^2} + bx + c = 0\end{array} \right.\,(*)\)

Hệ (*) tương đương  với hệ \(\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\a{x^2} + bx + c = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\end{array} \right.\,\)

+ Nếu \(\Delta  = {b^2} - 4ac\, < 0,\) tức là (1) vô nghiệm hay hệ (*) vô nghiệm ta suy ra hai đường không có điểm chung.

+ Nếu \(\Delta  = {b^2} - 4ac\, = 0,\)khi đó hệ (*) tương đương với hệ \(\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x =  - \frac{b}{{2a}}\end{array} \right.\)

Ta suy ra parabol \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c\) và trục Ox có đúng một giao điểm là \(D = \left( { - \frac{b}{{2a}};0} \right)\)  (lưu ý điểm này chính là đỉnh của parabol. Khi này ta có parabol là trục hoành tiếp xúc với nhau)

Ta biết trục tung có phương trình là: x = 0. Vì vậy gọi B(x; y) là giao điểm của parabol \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bc + c\) với trục tung thì x, y là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bc + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = c\end{array} \right. \Rightarrow B(0;c).\)

Ta đã biết trục hoành có phương trình là: y = 0, do đó toạ độ giao điểm (x; y) (nếu có) của parabol \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c\) và trục hoành là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\y = a{x^2} + bx + c = 0\end{array} \right.\,(*)\)

Hệ (*) tương đương  với hệ \(\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\a{x^2} + bx + c = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\end{array} \right.\,\)

+ Nếu \(\Delta  = {b^2} - 4ac\, < 0,\) tức là (1) vô nghiệm hay hệ (*) vô nghiệm ta suy ra hai đường không có điểm chung.

+ Nếu \(\Delta  = {b^2} - 4ac\, = 0,\)khi đó hệ (*) tương đương với hệ \(\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x =  - \frac{b}{{2a}}\end{array} \right.\)

Ta suy ra parabol \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c\) và trục Ox có đúng một giao điểm là \(D = \left( { - \frac{b}{{2a}};0} \right)\)  (lưu ý điểm này chính là đỉnh của parabol. Khi này ta có parabol là trục hoành tiếp xúc với nhau)

+ Nếu \(\Delta  = {b^2} - 4ac\,\, > 0,\)khi đó (1) có hai nghiệm phân biệt:

\(x = \frac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}}\) hoặc \(x = \frac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}}\)

Nên hệ (*) tương đương với:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}}\\y = 0\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}}\\y = 0\end{array} \right.\)

Hay parabol \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c\) và trục hoành có hai giao điểm

\({A_1}\left( {\frac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}};0} \right),{A_2}\left( {\frac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}};0} \right)\)

Tìm tập xác định của các hàm số

a) \(y = \frac{2}{{x + 1}} + \sqrt {x + 3} \)

b) \(y = \sqrt {2 - 3x}  - \frac{1}{{\sqrt {1 - 2x} }}\)

c) \(y = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x + 3}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,với\,\,\,\,x \ge 1\\\sqrt {2 - x} \,\,\,\,\,\,\,\,\,với\,x < 1\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

Câu a: Tìm tập xác định của hàm số \(y = \frac{2}{{x + 1}} + \sqrt {x + 3} \)

Biểu thức \(\frac{2}{{x + 1}} + \sqrt {x + 3} \)có nghĩa khi và chỉ khi:

\(x + 1 \ne 0\) và \(x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ne  - 1\) và \(x \ge  - 3.\)

Ta đây ta có tập xác định D của hàm số là: \(D = {\rm{[}} - 3; - 1) \cup ( - 1; + \infty )\)

Câu b: Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {2 - 3x}  - \frac{1}{{\sqrt {1 - 2x} }}\)

Biểu thức \(\sqrt {2 - 3x}  - \frac{1}{{\sqrt {1 - 2x} }}\)có nghĩa khi và chỉ khi:

\(2 - 3x \ge 0\) và \(1 - 2x > 0 \Leftrightarrow x \le \frac{2}{3}\) và \(x < \frac{1}{2} \Leftrightarrow x < \frac{1}{2}\)

Vậy tập xác định D của hàm số đã cho là: \(D = \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)\)

Câu c: Tìm tập xác định của hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x + 3}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,với\,\,\,\,x \ge 1\\\sqrt {2 - x} \,\,\,\,\,\,\,\,\,với\,x < 1\end{array} \right.\)

Tập xác định của hàm số là tập R vì khi \(x \ge 1\) biểu thức \(\frac{1}{{x + 3}}\) luôn có nghĩa, khi x < 1 thì 2 – x > 0 nên biểu thức \(\sqrt {2 - x} \) có nghĩa

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) \(y = \frac{1}{2}x - 1\)

b) \(y = 4 - 2x\)

c) \(y = \sqrt {{x^2}} \)

d) \(y = \left| {x + 1} \right|\)

Hướng dẫn giải:

Câu a: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}x - 1\)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}x - 1\)

Hàm số \(y = \frac{1}{2}x - 1\) có tập xác định là R

Chiều biến thiên: Vì hàm số  \(y = \frac{1}{2}x - 1\)là hàm số bậc nhất có hệ số \(a = \frac{1}{2} > 0\) nên hàm số \(y = \frac{1}{2}x - 1\) đồng biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty ).\)

Bảng biến thiên khi x dần tới \( + \infty \) thì \(y = \frac{1}{2}x - 1\) dần tới \( + \infty \), khi x dần tới \( - \infty \) thì \( + \infty \) dần tới \( - \infty \). Ta có bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}x - 1\)

Vì đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}x - 1\) là một đường thẳng nên ta chỉ việc xác định hai điểm phân biệt thuộc đồ thị, sau đó xác định đường thẳng qua hai điểm đó

Cho \(x = 0 \Rightarrow y =  - 1\)

Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 2\)

Câu b: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = 4 - 2x\)

\(y = 4 - 2x\)

Tập xác định của hàm số \(y = 4 - 2x\)là \(\mathbb{R}\)

Chiều biến thiên. Vì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất có hệ số a = -2 nên hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\)

Bảng biến thiên: Khi x dần tới \( + \infty \) thì y dần tới \( - \infty \), khi x dần tới \( - \infty \) thì y dần tới \( + \infty \). Ta có bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số \(y = 4 - 2x\) là 1 đường thẳng đi qua hai điểm: A(2; 0); B(0; 4)

Đồ thị ở hình bên:

Câu c: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = \sqrt {{x^2}} \)

Hàm số \(y = \sqrt {{x^2}} \)có thể viết dưới dạng \(y = |x|\)

Tập xác định của hàm số \(y = |x|\) là tập \(\mathbb{R}\)

Chiều biến thiên:

Theo định nghĩa có giá trị tuyệt đối, ta có:

\(y = |x| = \left\{ \begin{array}{l}x\,\,\,\,\,\,neu\,\,x \ge 0\\ - x\,\,\,neu\,\,x < 0\end{array} \right.\)

Từ đó ta có: Hàm số\(y = |x|\)đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\) và nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ; + 0)\)

Bảng biến thiên: khi x > 0 và x dần tới \( + \infty \) thì y = x dần tới \( + \infty \). Khi x < 0 và dần tới \( - \infty \) thì y = -x dần tới \( + \infty \). Ta có bảng biến sau đây:

Đồ thị:

Trong nửa khoảng \({\rm{[}}0; + \infty )\) đồ thị của hàm số \(y = |x|\) trùng với đồ thị hàm số y = x (phần bên phải Oy)

Câu d: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = \left| {x + 1} \right|\)

Hàm số \(y = |x + 1|\)  có thể viết dưới dạng:

\(y = \left\{ \begin{array}{l}x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,neu\,\,\,x \ge  - 1\\ - x - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,neu\,\,\,x <  - 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,(*)\)

Tập xác định của hàm số \(y = |x + 1|\) là tập \(\mathbb{R}\)

Chiều biến thiên: Từ cách viết hàm số đã cho dưới dạng (*), ta có hàm số \(y = |x + 1|\) đồng biến trên khoảng \(( - 1; + \infty )\) và nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ; - 1).\)

Bảng biến thiên: Khi x > - 1 và x dần tới \( + \infty \) thì y dần tới \( + \infty \)

Khi x < - 1 và x dần tới y = -x – 1 dần tới \( + \infty \). Ta có bảng biến thiên

Đồ thị

Trên nửa khoảng \({\rm{[}} - 1; + \infty )\) đồ thị của hàm số y = |x + 1| là đồ thị của hàm số y = x + 1

Trên khoảng \(( - \infty ; - 1)\) đồ thị của hàm số y = |x + 1|là đồ thị của hàm số y = -x - 1

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số

a) \(y = {x^2} - 2x - 1\)

b) \(y =  - {x^2} + 3x + 2\)

Hướng dẫn giải:

Câu a: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {x^2} - 2x - 1\)

Hàm số \(y = {x^2} - 2x - 1\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\)

Chiều biến thiên:

Vì hàm số \(y = {x^2} - 2x - 1\) có hệ số a =  1 > 0 nên ta có:

Hàm số đồng biến trên khoảng \((1; + \infty )\) và nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ; - 1)\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị: Đồ thị của hàm số \(y = {x^2} - 2x - 1\) là một parabol có toạ độ đỉnh là D(1; -2) có trục đối xứng là đường thẳng x = 1

Giao của đồ thị với trục Oy là B(0; -1)

Đồ thị giao với Ox tại hai điểm: \({A_1}(1 - \sqrt 2 ;0);\,\,{A_2}(1 + \sqrt 2 ;0)\)

Đồ thị là hình vẽ bên:

Câu b: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y =  - {x^2} + 3x + 2\)

Hàm số \(y =  - {x^2} + 3x + 2\) có tập xác định là tập \(\mathbb{R}\)

Chiều biến thiên: Hàm số \(y =  - {x^2} + 3x + 2\)có hệ số a = -1< 0 nên ta có: Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;\frac{3}{2})\) và nghịch biến trên khoảng \((\frac{3}{2}; + \infty )\)

Bảng biến thiên: Khi x dần tới \( - \infty \) thì y dần tới \( - \infty \), khi x dần tới \( + \infty \) thì y dần tới \( - \infty \), khi \(x = \frac{3}{2}\) ta có \(y = \frac{{17}}{4}\), ta có bảng biến thiên

Đồ thị: Đồ thị hàm số \(y =  - {x^2} + 3x + 2\)là một parabol, toạ độ đỉnh là \(D = (\frac{3}{2};\frac{{17}}{4})\)  trục đối xứng là đường thẳng \(x = \frac{3}{2}\).

Đồ thị giao với Oy tại điểm B(0;2)

Đồ thị giao với Ox tại hai điểm:

\({A_1} = \left( {\frac{{3 + \sqrt {17} }}{2};0} \right);{A_2} = \left( {\frac{{3 - \sqrt {17} }}{2};0} \right)\)

11. Giải bài 11 trang 51 SGK Đại số 10

Xác định a, b biết đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(1; 3), B(-1; 5)

Hướng dẫn giải:

Vì đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A(1; 3) nên x = 1 và y = 3 thoả mãn phương trình y = ax + b hay 3 = a + b (1)

Vì đường thẳng y = ax + b đi qua điểm B(-1;-5) nên x = -1; y = 5 thoả mãn phương trình y = ax + b hay -5 = -a + b (2)

Cộng (1) và (2) vế với vế ta có: \( -2 = 2b \Leftrightarrow b= -1\)

Thay b = -1 vào (1), ta có: \(3 = a - 1 \Leftrightarrow a = 4\)

Xác định a, b, c biết parabol \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c\)

a) Đi qua ba điểm A(0; -1), B(1; -1); C(-1; 1)

b) Có đỉnh I(1; 4) và đi qua điểm D(3; 0).

Hướng dẫn giải:

Câu a: Xác định a, b, c biết parabol \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c\) đi qua ba điểm A(0; -1), B(1; -1); C(-1; 1)

Vì parabol \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c\)đi qua A(0; -1) nên x = 0 và y =-1 thoả mãn phương trình \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c\) hay -1 = c  (1)

Hoàn toàn tương tự, vì parabol đi qua các điểm B(1; -1) và C(-1; 1) ta cũng có:

\(\begin{array}{l} - 1 = a + b + c\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\\\,\,\,\,1 = a - b + c\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\end{array}\)

Thay c = -1 ở (1) vào (2), (3) ta có:

a + b = 0 và a – b = 2

Từ hai phương trình trên ta suy ra a = 1, b = -1

Vậy parabol cần tìm có phương trình là: \(y = {x^2} - x - 1\)

Câu b: Xác định a, b, c biết parabol \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c\) có đỉnh I(1; 4) và đi qua điểm D(3; 0)

Parabol \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c\) có dính I(1; 4) nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 1\\{y_{(I)}} = a + b + c = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 2a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\a + b + c = 4\,\,\,\,\,\,(2)\,\,\end{array} \right.({y_{(I)}}\) là giá trị hàm số tại x = 1)

Parabol đi qua D (3; 0) nên ta cũng có: \(9a + 3b + c = 0\,\,\,\,\,\,(3)\)

Thế (1) vào (2) và (3) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l} - a + c = 4\\3a + c = 0\end{array} \right. \Rightarrow 4a =  - 4 \Leftrightarrow a =  - 1\)

Thay a = -1 vào (1) có b = 2, thay a =-1, b = 2 vào (2) ta có c = 3

Vậy parabol cần tìm có phương trình là: \(y =  - {x^2} + 2x + 3\)