Giải bài tập SGK Toán 10 Chương 2 Bài 3: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $\widehat{B}= 58^0$ và cạnh $a = 72 cm$. Tính $\widehat{C}$, cạnh $b$, cạnh $c$ và đường cao $h_a$

Hướng dẫn giải

Theo định lí tổng $3$ góc trong một tam giác ta có:

$\eqalign{ & \widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \cr & \Rightarrow \widehat C = {180^0} - \widehat A - \widehat B \cr&= {180^0} - {90^0} - {58^0} = {32^0} \cr}$

Xét tam giác vuông $ABC$ có:

$\cos C = \frac{b}{a}$ $\Rightarrow b =a. \cos C= 72.\cos {32^0}$ $\Rightarrow b \approx 61,06cm$;

$\sin C = \frac{c}{a}$ $\Rightarrow c =a.\sin C= 72.\sin{32^0}$$\Rightarrow c \approx 38,15cm$

$a{h_a} = bc$$\Rightarrow h_a =\frac{b.c}{a} = \frac{{61,06.38,15}}{{72}}$ $\Rightarrow h_a ≈ 32,36cm.$

Cho tam giác $ABC$ biết các cạnh $a = 52, 1cm$; $b = 85cm$ và $c = 54cm$. Tính các góc $\widehat{A}$, $\widehat{B}$, $\widehat{C}$.

Hướng dẫn giải

Từ định lí cosin ta có: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.cosA.$

Ta suy ra $\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$= \dfrac{85^{2}+54^{2}-(52,1)^{2}}{2.85.54}$

$\Rightarrow \cos A  ≈ 0,809  \Rightarrow \widehat{A}≈ 36^0$ 

$\begin{array}{l} {b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos B\\ \Rightarrow \cos B = \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{2ca}}\\ = \frac{{{{54}^2} + 52,{1^2} - {{85}^2}}}{{2.54.52,1}} \approx - 0,2834 \end{array}$

$\Rightarrow  \widehat{B}≈  106^0 28’$ ;

$\widehat{C} = {180^0} - \left( {A + B} \right)$ $\approx {180^0} - \left( {{{36}^0} + {{106}^0}28'} \right)≈  37^032’$.

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A}  = 120^0$ cạnh $b = 8cm$ và $c = 5cm$. Tính cạnh $a$, và góc  $\widehat{B}$, $\widehat{C}$ của tam giác đó.

Hướng dẫn giải

Ta có   

$\eqalign{ & {a^2}  = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\cr &= {8^2} + {5^2} - 2.8.5.\cos{120^0} \cr&= 64 + 25 + 40 = 129 \cr & \Rightarrow a = \sqrt {129} \approx 11,36cm \cr}$

Theo định lí sin:

$\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}}$ $\Rightarrow \sin B = \frac{{b\sin A}}{a} \approx \frac{{8\sin {{120}^0}}}{{11,36}} \approx 0,61$ $\Rightarrow B \approx {37^0}35'$

$A+B+C=180^0$ (Tổng ba góc trong một tam giác)

$\Rightarrow \widehat{C}=180^0- (\widehat{A} + \widehat{B})$$=180^0-(120^0+37^0 35')$  

$\Rightarrow\widehat{C}= 22^0 25’.$

Tính diện tích $S$ của tam giác có số đo các cạnh lần lượt là $7, \, \,9$ và $12$.

Hướng dẫn giải

Diện tích tam giác là:

$S = \sqrt {14\left( {14 - 7} \right)\left( {14 - 9} \right)\left( {14 - 12} \right)}$ $= \sqrt {980}  \approx 31,3$

Tam giác $ABC$ có  $\widehat{A} = 120^0$. Tính cạnh $BC$ cho biết cạnh $AC = m$ và $AB = n$.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lý hàm số $\cos$ ta có:

$\eqalign{ & BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.\cos A \cr &  = {m^2} + {n^2} - 2.m.n.\cos 120^0 \cr & = {m^2} + {n^2} - 2mn.\left( { - \frac{1}{2}} \right) \cr &= {m^2} + {n^2} + m.n \cr & \Rightarrow BC = \sqrt {{m^2} + {n^2} + m.n}. \cr}$

Cho tam giác $ABC$ biết cạnh $a = 137,5cm; \widehat{B} = 83^0, \, \widehat{C} = 57^0.$ Tính góc $A,$ bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp, cạnh $b$ và $c$ của tam giác.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\widehat{A} = 180^0- (\widehat{B}+ \widehat{C}) = 40^0$

$\dfrac{a}{{\sin A}} = 2R$ $\Leftrightarrow R = \dfrac{a}{{2\sin A}} = \dfrac{{137,5}}{{2\sin {{40}^0}}} \approx 106,96$

Áp dụng định lí $\sin$:

$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} =  \dfrac{c}{\sin C}$, ta có:

$b =\dfrac{a \sin B}{\sin A}= \dfrac{137,5.\sin83^{0}}{\sin40^0} ≈ 212,31cm.$

$c  =\dfrac{a \sin C}{\sin A}= \dfrac{137,5.\sin57^{0}}{\sin40^0} ≈ 179,40cm.$

9. Giải bài 9 trang 59 SGK Hình học 10

Cho hình bình hành $ABCD$ có $AB = a, BC = b ,BD = m$, và $AC = n$. Chứng minh rằng:

${m^2} + {n^2} = 2({a^2} + {b^2})$

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó O là trung điểm của AC và BD.

Tam giác ABD có AO là đường trung tuyến.

Áp dụng định lí về đường trung tuyến:

$A{O^2} = \frac{{2\left( {A{B^2} + A{D^2}} \right) - B{D^2}}}{4}$

Mà O là trung điểm AC nên $AO = \frac{{AC}}{2} = \frac{n}{2}$

Thay $OA = \frac{n}{2}, \, AB = a,$ $AD = BC = b$ và $BD = m$ ta được: 

$\begin{array}{l} {\left( {\frac{n}{2}} \right)^2} = \frac{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {m^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow \frac{{{n^2}}}{4} = \frac{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {m^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow {n^2} = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {m^2}\\ \Leftrightarrow {m^2} + {n^2} = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \end{array}$

10. Giải bài 10 trang 60 SGK Hình học 10

Hai chiếc tàu thủy $P$ và $Q$ cách nhau $300m$.Từ $P$ và $Q$ thẳng hàng với chân $A$ của tháp hải đăng $AB$ ở trên bờ biển người ta nhìn chiều cao $AB$ của tháp dưới các góc $\widehat {BPA} = {35^0},\widehat {BQA} = {48^0}.$ Tính chiều cao của tháp.

Hướng dẫn giải

Tam giác ABQ vuông tại A có: $\cot Q=\frac{AQ}{AB} \Rightarrow AQ = AB\cot48^0$

Tam giác ABP vuông tại A có: $\cot P = \frac{{AP}}{{AB}} \Rightarrow AP = AB\cot {35^0}$ 

$\begin{array}{l} \Rightarrow AP - AQ = AB\cot {35^0} - AB\cot {48^0}\\ \Leftrightarrow PQ = AB\left( {\cot {{35}^0} - \cot {{48}^0}} \right)\\ \Rightarrow AB = \frac{{PQ}}{{\cot {{35}^0} - \cot {{48}^0}}}\\ = \frac{{300}}{{\cot {{35}^0} - \cot {{48}^0}}}\\ = \frac{{300}}{{\frac{1}{{\tan {{35}^0}}} - \frac{1}{{\tan {{48}^0}}}}} \end{array}$

$\approx {{300} \over {1,4281 - 0,9004}}$$\approx 568,457m.$

11. Giải bài 11 trang 60 SGK Hình học 10

Muốn đo chiều cao của tháp Chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận, người ta lấy hai điểm $A$ và $B$ trên mặt đất có khoảng cách $AB = 12m$ cùng thẳng hàng với chân $C$ của tháp để đặt hai giác kế. Chân của giác kế có chiều cao $h = 1,3m$. Gọi $D$ là đỉnh tháp và hai điểm $A_1, \, B_1$ cùng thẳng  hàng với $C_1$ thuộc chiều cao $CD$ của tháp. Người ta đo được $\widehat {D{A_1}{C_1}} = {49^0}$ và $\widehat {D{B_1}{C_1}} = {35^0}.$ Tính chiều cao của  $CD$ của tháp đó.

Hình 2.23

Hình 2.24

Hướng dẫn giải

Ta có: $A_1B_1=AB=12m.$

Xét $\Delta DC_1A_1$ có: $\cot \widehat {D{A_1}{C_1}} = \frac{{{A_1}{C_1}}}{{{C_1}D}}$

$\Rightarrow {A_1}{C_1} = {C_1}D.\cot \widehat {D{A_1}{C_1}}$ $=C_1D.\cot 49^0$

Xét $\Delta DC_1B_1$ có: $\cot \widehat {D{B_1}{C_1}} = \frac{{{B_1}{C_1}}}{{{C_1}D}}$

$\Rightarrow {B_1}{C_1} = {C_1}D.\cot \widehat {D{B_1}{C_1}}$ $=C_1D.\cot 35^0$

Mà $A_1B_1=C_1B_1-C_1A_1$$=C_1D.\cot 35^0-C_1D.\cot 49^0$

$=C_1D(\cot 35^0 - \cot 49^0).$

$\Rightarrow C_1D=\frac{A_1B_1}{\cot 35^0 - \cot 49^0}  =\frac{12}{\cot 35^0 - \cot 49^0}$$\approx 21,47 \, m.$

Vậy chiều cao $CD$ của tháp là: 

$DC = C{C_1} + {C_1}D = 1,3 + 21,47$ $= 22,77m.$