Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 1: Các định nghĩa

Cho ba vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c\)  đều khác vec tơ  \(\vec 0\). Các khẳng định sau đây đúng hay sai?

a) Nếu hai vectơ \(\vec a,\vec b\) cùng phương với \(\vec c\) thì \(\vec a,\vec b\) cùng phương

b) Nếu \(\vec a,\vec b\)  cùng ngược hướng với \(\vec c\) thì \(\vec a\) và \(\vec b\) cùng hướng

Phương pháp giải

• Hai vecto được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
• Hai vecto cùng phương thì chúng chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

Hướng dẫn giải

Câu a: Gọi  theo thứ tự \({\Delta _1},{\Delta _2},{\Delta _3}\) là giá của các vectơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\)

\(\overrightarrow{a}\) cùng phương với \(\overrightarrow{c}\) \( \Rightarrow {\Delta _1}//{\Delta _3}\) ( hoặc \({\Delta _1} \equiv {\Delta _3}\))   (1)

\(\overrightarrow{b}\) cùng phương với \(\overrightarrow{c}\) \(\Rightarrow {\Delta _2}//{\Delta _3}\) ( hoặc \({\Delta _2} \equiv {\Delta _3}\) )   (2)

Từ (1), (2) suy ra  \({\Delta _1}//{\Delta _2}\) ( hoặc \({\Delta _1} \equiv {\Delta _2}\) ), theo định nghĩa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) cùng phương.

Vậy câu a) đúng.

Câu b: Gọi  theo thứ tự \({\Delta _1},{\Delta _2},{\Delta _3}\) là giá của các vectơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\)

\(\overrightarrow{a}\) ngược hướng với \(\overrightarrow{c}\) \( \Rightarrow {\Delta _1}//{\Delta _3}\) ( hoặc \({\Delta _1} \equiv {\Delta _3}\))   (1)

\(\overrightarrow{b}\) ngược hướng với \(\overrightarrow{c}\) \(\Rightarrow {\Delta _2}//{\Delta _3}\) ( hoặc \({\Delta _2} \equiv {\Delta _3}\) )   (2)

Từ (1), (2) suy ra  \({\Delta _1}//{\Delta _2}\) ( hoặc \({\Delta _1} \equiv {\Delta _2}\) ), theo định nghĩa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) cùng phương.

Mà  \(\overrightarrow{a},\) \(\overrightarrow{b}\) cùng ngược hướng với \(\overrightarrow{c}\Rightarrow \overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng hướng.

Trong hình 1.4, hãy chỉ ra các vec tơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng và các vectơ bằng nhau

Phương pháp giải

• Hai vecto được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
• Hai vecto cùng phương thì chúng chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
• Hai vecto bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.

Hướng dẫn giải

- Các vectơ cùng phương:

• \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương; 
• \(\overrightarrow{x}\), \(\overrightarrow{y}\), \(\overrightarrow{z}\), \(\overrightarrow{w}\) cùng phương;
• \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) cùng phương.

- Các vectơ cùng hướng: 

• \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng hướng;
• \(\overrightarrow{x}\), \(\overrightarrow{y}\), \(\overrightarrow{z}\) cùng hướng.

- Các vectơ ngược hướng:

• \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) ngược hướng;
• \(\overrightarrow{z}\) và \(\overrightarrow{w}\) ngược hướng;
• \(\overrightarrow{y}\) và \(\overrightarrow{w}\) ngược hướng;
• \(\overrightarrow{x}\) và \(\overrightarrow{w}\) ngược hướng.

- Các vectơ bằng nhau:  \(\overrightarrow{x}\) = \(\overrightarrow{y}\).

Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi  \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

Phương pháp giải

Dấu hiệu và tính chất của hình bình hành: Hai cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Giả sử tứ giác ABCD là hình bình hành.

Khi đó \(AB = DC \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {DC} } \right|.\)

Mặt khác, dễ thấy \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DC} \) cùng hướng.

Từ đấy, suy ra \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \)

Ngược lại, giả sử tứ giác ABCD có \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \), đều này chứng tỏ:

\(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \)và AB // CD

Hay AB = CD và AB // CD

Nên tứ giác ABCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi  \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O

a) Tìm các vec to khác \(\vec 0\) và cùng phương với \(\overrightarrow {OA}\)

b) Tìm các véc tơ bằng véc tơ \(\overrightarrow {AB}\)

Phương pháp giải

• Hai vecto được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
• Hai vecto cùng phương thì chúng chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
• Hai vecto bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.

Hướng dẫn giải

Câu a: Các vec tơ cùng phương với vectơ  \(\overrightarrow{OA}\):

\(\overrightarrow{BC}\); \(\overrightarrow{CB}\); \(\overrightarrow{EF}\); \(\overrightarrow{FE}\); \(\overrightarrow{DO}\); \(\overrightarrow{OD}\); \(\overrightarrow{DA}\); \(\overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{AO}.\)

Câu b: Các véc tơ bằng véctơ \(\overrightarrow{AB}\): \(\overrightarrow{ED}\); \(\overrightarrow{FO}\); \(\overrightarrow{OC}\).