Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 3: Tích của vectơ với một số
Phần hướng dẫn giải bài tập Tích của vectơ với một số sẽ giúp các em nắm được phương pháp và rèn luyện kĩ năng các giải bài tập từ SGK Hình học 10 Cơ bản và Nâng cao.
Mục lục nội dung
1. Giải bài 1 trang 17 SGK Hình học 10
2. Giải bài 2 trang 17 SGK Hình học 10
3. Giải bài 3 trang 17 SGK Hình học 10
4. Giải bài 4 trang 17 SGK Hình học 10
5. Giải bài 5 trang 17 SGK Hình học 10
6. Giải bài 6 trang 17 SGK Hình học 10
7. Giải bài 7 trang 17 SGK Hình học 10
1. Giải bài 1 trang 17 SGK Hình học 10
Cho hình bình hành ABCD. Chứng mỉnh rằng
\(\overrightarrow{AB}\) \(+\) \(\overrightarrow{AC}\) \(+\) \(\overrightarrow{AD}\) \(=2\overrightarrow{AC}\)
Phương pháp giải
Quy tắc hình bình hành: Nếu cho ABCD là hình bình hành thì: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} .\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} ) + \overrightarrow {AC} \,\,(1)\)
Theo quy tắc hình bình hành ta có:
\(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\)
Từ (1) và (2) ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AC} \end{array}\)
2. Giải bài 2 trang 17 SGK Hình học 10
Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ \( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}\), theo hai vectơ sau \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AK},\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BM}\).
Phương pháp giải
- Sử dụng tính chất của đường trung tuyến.
- Với 3 điểm \(A, \, \, B, \, \, C\) bất kì ta luôn có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} .\)
Hướng dẫn giải
Do tính chất trung điểm nên từ giả thiết ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}2\overrightarrow {AK} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \\2\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CA} = 2\vec u\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\ - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = 2\vec v\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)
Mặt khác, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} \)
\( \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \vec 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\)
Từ (1) và (2) ta có:
\((\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CA} ) + ( - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} ) = 2\vec u + 2\vec v\)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CA} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = 2\vec u + 2\vec v\)
\( \Leftrightarrow - \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {BC} = 2\vec u + 2\vec v\) (4)
Từ (2) và (3) ta có:
\( - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = 2\vec v\)
\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = 2\vec v\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5)\)
Từ (4) và (5) suy ra:
\( - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = 2\vec u + 2\vec v + 2\vec v\)
\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {BC} = 2\vec u + 4\vec v \Leftrightarrow \overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\vec u + \frac{4}{3}\vec v\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(6)\)
Từ (5) và (6) ta có
\(\frac{4}{3}\vec u + \frac{8}{3}\vec v\, + \overrightarrow {CA} = 2\vec v \Rightarrow \overrightarrow {CA} = - \frac{4}{3}\vec u + \frac{2}{3}\vec v\,\,\,\,\,\,\,\,\,(7)\)
Từ (7) và (1), ta có được:
\(\overrightarrow {AB} + \frac{4}{3}\vec u + \frac{2}{3}\vec v = 2\vec u \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\vec u - \frac{2}{3}\vec v\)
Kết luận
\(\overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\vec u - \frac{2}{3}\vec v\)
\(\overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\vec u + \frac{4}{3}\vec v\)
\(\overrightarrow {CA} = - \frac{4}{3}\vec u - \frac{2}{3}\vec v\)
3. Giải bài 3 trang 17 SGK Hình học 10
Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho \( \overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC}\). Hãy phân tích vectơ \(\overrightarrow{AM}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}\).
Phương pháp giải
Với 3 điểm \(A, \, \, B, \, \, C\) bất kì ta luôn có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} .\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CM} \,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)
Vì \(\overrightarrow {CM} \) cùng hướng với \(\overrightarrow {BC} ,\) hơn nữa \(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {CM} } \right|,\) nên
\(\overrightarrow {CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} )\,\,\,\,\,\,(2)\)
Từ (1) và (2) ta có
\(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ) \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\)
Vậy \(\overrightarrow {AM} = \frac{3}{2}\vec v - \frac{1}{2}\vec u.\)
4. Giải bài 4 trang 17 SGK Hình học 10
Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đạn AM. Chứng minh rằng:
a) \(2\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\)
b) \(2\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OD} \), với \(O\) là điểm tùy ý
Phương pháp giải
ới \(M\) là trung điểm của \(AB\) ta có:
+) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 .\)
+) Với mọi điểm \(O\) bất kì ta có: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OM} .\)
Hướng dẫn giải
Câu a
Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên:
Ta có
\(\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {DM} \)
Mặt khác, do \(D\) là trung điểm của đoạn \(AM\) nên
\(\overrightarrow {DM} = - \overrightarrow {DA} \) \(\Leftrightarrow \overrightarrow {DM} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \)
Khi đó: \(2\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {DA} + 2\overrightarrow {DM} \)\(= 2\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DM} } \right) = \overrightarrow 0 \)
Câu b: Ta có
\(2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OD}\) \(\Leftrightarrow 2(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OD})+( \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD})+( \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD})=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow 2 \overrightarrow{DA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}= \overrightarrow{0}\)luôn đúng theo câu a
Vậy:\(\Leftrightarrow 2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}= 4\overrightarrow{OD}\), với O là điểm tùy ý
5. Giải bài 5 trang 17 SGK Hình học 10
Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: \(2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}= \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\)
Phương pháp giải
Với \(M\) là trung điểm của \(AB\) ta có
- \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 .\)
- Với mọi điểm \(O\) bất kì ta có: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OM} .\)
Hướng dẫn giải
N là trung điểm của CD
\(2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\) (1)
Theo quy tắc 3 điểm, ta có:
\(\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}\) (2)
\(\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BD}\) (3)
Từ (1), (2), (3) ta có: \(2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\)
vì M là trung điểm của Ab nên: \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\)
Suy ra: \(2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\)
Chứng minh tương tự, ta có \(2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\)
Chú ý: Sau khi chứng minh \(2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\)ta chỉ cần chứng minh thêm \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}= \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\) cũng được
Ta có: \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}= \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\) \(=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}= \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA}\)
Vì \(\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}\)nên ta có: \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}= \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\) và \(2 \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}= \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\)
6. Giải bài 6 trang 17 SGK Hình học 10
Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho \(3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}\)
Phương pháp giải
Với 3 điểm \(A, \, B, \, C\) ta có \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \) thì \(A, \, B, \, C\) thẳng hàng.
+) Nếu \(k>0\) thì \(\overrightarrow {AB} \) và \( \overrightarrow {AC}\) cùng hướng.
+) Nếu \(k<0\) thì \(\overrightarrow {AB} \) và \( \overrightarrow {AC}\) ngược hướng.
Hướng dẫn giải
Ta có: \(3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0} \Rightarrow 3\overrightarrow{KA}=-2\overrightarrow{KB}\Rightarrow \overrightarrow{KA}=\frac{2}{3}\overrightarrow{KB}\)
Đẳng thức này chứng tỏ hi vec tơ \(\overrightarrow{KA},\overrightarrow{KB}\) là hai vec tơ ngược hướng, do đó K thuộc đoạn AB
Ta lại có: \(\left |\overrightarrow{KA} \right |=-\frac{2}{3} \left |\overrightarrow{KB} \right | \Rightarrow KA=\frac{2}{3}KB\)
Vậy K là điểm chia trong đoạn thẳng AB theo tỉ số \(\frac{2}{3}\)
7. Giải bài 7 trang 17 SGK Hình học 10
Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)
Phương pháp giải
Với \(I\) là trung điểm của \(AB\) ta có:
- \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 .\)
- Với mọi điểm \(O\) bất kì ta có: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OI} .\)
Hướng dẫn giải
Gọi D là trung điểm của cạnh AB, ta có:
\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MD}\)
Đẳng thức đã cho trở thành:
\(2\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\) \(\Rightarrow \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)
Đẳng thức này chứng tỏ M là trung điểm của CD
8. Giải bài 8 trang 17 SGK Hình học 10
Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
Hướng dẫn giải
\(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên ta có: \(\overrightarrow {MN} = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \)
Tương tự ta có:
\(\eqalign{
& \overrightarrow {PQ} = {1 \over 2}\overrightarrow {CE} \cr
& \overrightarrow {RS} = {1 \over 2}\overrightarrow {EA} \cr} \)
\(\eqalign{
& \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} \cr& = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CE} + \frac{1}{2}\overrightarrow {EA} \cr&= {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EA} } \right)\cr& = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EA} } \right) = {1 \over 2}\overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0 \cr} \)
Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(MPR\), ta có:
\(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {GR} = \overrightarrow 0 (2)\)
Mặt khác
\(\eqalign{
& \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GN} \cr
& \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {GQ} \cr
& \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {RG} + \overrightarrow {GS} \cr} \)
\(\Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} \)\( = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {RG} } \right) \) \( + (\overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS}) \)
\( = \overrightarrow 0 + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} \) \( = \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} \)
(vì \(\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {RG} \) \(= - \overrightarrow {GM} - \overrightarrow {GP} - \overrightarrow {GR} \) \(= - \left( {\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {GR} } \right) = \overrightarrow 0 \))
\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS}\) \( = \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} \)
Mà \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0\) nên
\(\overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GS} = \overrightarrow 0 \)
Vậy \(G\) là trọng tâm của tam giác \(NQS.\)
Vậy trọng tâm ΔMPR và ΔNQS trùng nhau.
9. Giải bài 9 trang 17 SGK Hình học 10
Cho tam giác đều ABC có trọng tâm O và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D,E,F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF} =\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}\)
Hướng dẫn giải
Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác
A1B1 // AB; A2C2 // AC; B2C1 // BC
Dễ thấy các tam giác MB1C2; MA1C1;MA2B2 đều là các tam giác đều. Ta lại có MD B1C2 nên MD cũng là trung điểm thuộc cạnh B1C2 của tam giác MB1C2
Ta có 2 = +
Tương tự: 2 = +
2 = +
⇒ 2( ++) = (+) + ( + ) + (+)
Tứ giác là hình bình hành nên
+ =
Tương tự: + =
+ =
=> 2( ++) = ++
Vì O là trọng tâm bất kì của tam giác và M là một điểm bất kì nên
++ = 3.
Cuối cùng ta có:
2( ++) = 3
⇒ ++ =
Vậy ta được đpcm \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF} =\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}\)