Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các vectơ  $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}$

Phương pháp giải

Với quy tắc ba điểm tùy ý $A, \, \, B, \, \, C$ ta luôn có

• $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}$ (quy tắc ba điểm).
• $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB}$ (quy tắc trừ).

Hướng dẫn giải

Trên đoạn thẳng AB ta lấy điểm M' để có $\overrightarrow{AM'}$= $\overrightarrow{MB}$

Như vậy $\overrightarrow{MA}$ + $\overrightarrow{MB}$= $\overrightarrow{MA}$ + $\overrightarrow{AM'}$ = $\overrightarrow{MM'}$ ( quy tắc 3 điểm)

Vậy vec tơ $\overrightarrow{MM'}$ chính là vec tơ tổng của $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$

$\overrightarrow{MM'}$ = $\overrightarrow{MA}$ + $\overrightarrow{MB}$ .

Ta lại có $\overrightarrow{MA}$ - $\overrightarrow{MB}$ = $\overrightarrow{MA}$ + (- $\overrightarrow{MB}$)

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{MA}$ - $\overrightarrow{MB}$ = $\overrightarrow{MA}$ + $\overrightarrow{BM}$ (vectơ đối)

Theo tính chất giao hoán của tổng vectơ ta có

$\overrightarrow{MA}$ +$\overrightarrow{BM}$ = $\overrightarrow{BM}$ + $\overrightarrow{MA}$ = $\overrightarrow{BA}$ (quy tắc 3 điểm)

Vậy $\overrightarrow{MA}$ - $\overrightarrow{MB}$ = $\overrightarrow{BA}$

Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$ 

Phương pháp giải

Với quy tắc ba điểm tùy ý $A, \, \, B, \, \, C$ ta luôn có

• $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}$ (quy tắc ba điểm).
• $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB}$ (quy tắc trừ).

Hướng dẫn giải

Do đẳng thức (1) nên ta có

$\begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  + ( - \overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MB} )\\ = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD}  + ( - \overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MB} )\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  + ( - \overrightarrow {MC} ) + ( - \overrightarrow {MB} )\\ = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD}  - \overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MB} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MD}  - \overrightarrow {MC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CD} .\end{array}$

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CD}$, do vậy (1) là đẳng thức đúng.

Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì ta luôn có 

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$

b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}= \overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CB}$

Phương pháp giải

Với quy tắc ba điểm tùy ý $A, \, \, B, \, \, C$ ta luôn có:

• $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}$ (quy tắc ba điểm).
• $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB}$ (quy tắc trừ).

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có: $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA}  = \vec 0$

$\Leftrightarrow (\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} ) + (\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA} ) = \vec 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CA}  = \vec 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AA}  = \vec 0$

Hiển nhiên đẳng thức cuối cùng là đúng nên ta có:

$\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA}  = \vec 0$

Câu b: Ta có: $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {DB} ,\overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {DB}$

Từ đó suy ra $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CD}$

Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng $\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{0}$

Phương pháp giải

Với quy tắc ba điểm tùy ý $A, \, \, B, \, \, C$ ta luôn có

• $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}$ (quy tắc ba điểm).
• $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB}$ (quy tắc trừ).

Hướng dẫn giải

Vì tứ giác ABIJ là hình bình hành, nên $\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow {JA}$ , do vậy $\overrightarrow {IQ}  = \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {BQ}$ hay $\overrightarrow {IQ}  = \overrightarrow {JA}  + \overrightarrow {BQ} \,\,(1)$

Vì tứ giác BCPQ là hình bình hành, nên $\overrightarrow {PC}  = \overrightarrow {QB}$ do vậy $\overrightarrow {PS}  = \overrightarrow {PC}  + \overrightarrow {CS} \,\,hay\,\,\overrightarrow {PS}  = \overrightarrow {QB}  + \overrightarrow {{\rm{AR}}} \,\,(2)$ (vì $\overrightarrow {AR}  = \overrightarrow {CS}$)

Ta cũng có $\overrightarrow {RJ}  = \overrightarrow {RA}  + \overrightarrow {{\rm{AJ}}} \,\,(3)$

Từ các đẳng thức (1),(2), (3), ta có:

$\overrightarrow {RJ}  + \overrightarrow {IQ}  + \overrightarrow {PS}  = \overrightarrow {RA}  + \overrightarrow {AJ}  + \overrightarrow {JA}  + \overrightarrow {BQ}  + \overrightarrow {QB}  + \overrightarrow {AR}$

$= \overrightarrow {RA}  + \overrightarrow {AA}  + \overrightarrow {BB}  + \overrightarrow {AR}$

$\begin{array}{l} = \overrightarrow {RA}  + \vec 0 + \vec 0 + \overrightarrow {AR} \\ = \overrightarrow {RA}  + \overrightarrow {AR}  = \overrightarrow {RR}  = \vec 0\end{array}$

Cho tam giác ABC cạnh a. Tính độ dài của các vectơ  $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$  và $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}$

Phương pháp giải

Với quy tắc ba điểm tùy ý $A, \, \, B, \, \, C$ ta luôn có

• $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}$ (quy tắc ba điểm).
• $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB}$ (quy tắc trừ).

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = a$

Ta có $- \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {CB}$ (vì $\overrightarrow {BC}$ và $\overrightarrow {CB}$ là hai vecto đối nhau) nên

$\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + ( - \overrightarrow {BC} ) = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB}$

Dựng D sao cho B là trung điểm của DC, khi đó hai vecto $\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {BD}$ cùng hướng và cùng độ dài nên $\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {BD,}$ do vậy

$\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD} \, \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right|$

Mặt khác tam giác DAC có BA là đường trung tuyến thoả mãn $BA = BD = BC \Rightarrow BA = \frac{1}{2}DC$ (vì $BD = BC$)

$\Rightarrow$ Tam giác DAC vuông tại A và có AC = a, DC = a +  a = 2a.

Áp dụng định lí Pitago ta có $A{D^2} = D{C^2} - A{C^2} = 3{a^2} \Rightarrow AD = a\sqrt 3$

Vậy $\left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC} } \right| = a\sqrt 3$ 

Cho hình bình hành ABCD  có tâm O. Chứng minh rằng

a) $\overrightarrow {CO}  - \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {BA}$

b) $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {DB}$

c) $\overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {OD}  - \overrightarrow {OC}$

d) $\overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC}  = \vec 0$

Phương pháp giải

Với quy tắc ba điểm tùy ý $A, \, \, B, \, \, C$ ta luôn có

• $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}$ (quy tắc ba điểm).
• $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB}$ (quy tắc trừ).

Hướng dẫn giải

Câu a: Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của BD và AC.

Bởi vậy: $\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {DO}$

$\Rightarrow  - \overrightarrow {OB}  =  - \overrightarrow {DO}  = \overrightarrow {OD}$

Do đó $\overrightarrow {CO}  - \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {CO}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {CD}$

Mặt khác ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BA}$

$\Rightarrow \overrightarrow {CO}  - \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {BA.}$

Câu b: Ta có $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + ( - \overrightarrow {BC} ) = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB} ,$ lại vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {CB} ,$ do vậy ta có:

$\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DB}$

Câu c: Ta có $\overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {BA} ;\,\,\,\,\overrightarrow {OD}  - \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {CD}$, vì ABCD là hình bình hành, nên $\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BA}$, từ đó suy ra $\overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {OD}  - \overrightarrow {OC}$

Câu d: Ta có $\overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {BB}  = \vec 0$

Cho $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ khác$\overrightarrow{0}$. Khi nào có đẳng thức

a) $\left| {\vec a + \vec b} \right| = \left| {\vec a} \right| + \left| {\vec b} \right|$

b) $\left| {\vec a + \vec b} \right|\,\, = \,\,\left| {\vec a - \vec b} \right|$

Phương pháp giải

Với quy tắc ba điểm tùy ý $A, \, \, B, \, \, C$ ta luôn có

• $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}$ (quy tắc ba điểm).
• $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB}$ (quy tắc trừ).

Hướng dẫn giải

Câu a: Dựng $\overrightarrow {OA}  = \vec a;\,\overrightarrow {AB}  = \vec b,$ khi đó $\vec a + \vec b = \overrightarrow {OB}$

$\Rightarrow \left| {\vec a + \vec b} \right|\,\, = \,\,\left| {\overrightarrow {OB} } \right|$

Ta có: $\left| {\vec a + \vec b} \right|\,\, = \,\,\left| {\vec a} \right|\, + \left| {\vec b} \right|$

$\Leftrightarrow OB = OA + AB \Leftrightarrow \vec a,\vec b$ cùng hướng.

Câu b: Từ điểm O ta dựng $\overrightarrow {OA}  = \vec a,\overrightarrow {AB}  = \vec b,\,\overrightarrow {AC}  =  - \vec b$ khi đó

$\vec a + \vec b = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OB}$

$\vec a - \vec b = \vec a + ( - \vec b) = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {OC}$

Vì $\left| {\vec a + \vec b} \right|\,\, = \,\,\left| {\vec a - \vec b} \right|\,$nên OB = OC.

Chú ý rằng B, A, C thẳng hàng nên OBC là tam giác cân với OA là trung tuyến suy ra OA là đường cao hay $OA \bot AB$

$\Leftrightarrow \vec a \bot \vec b$(Chú ý rằng trường hợp $\vec a,\vec b$ cùng phương không thể xảy ra với đẳng thức trên).

Cho $\left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right |= 0$ . So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$

Phương pháp giải

Sử dụng lý thuyết: $\left| {\overrightarrow x } \right| = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow x  = \overrightarrow 0$

Hướng dẫn giải

Từ $\left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right | = 0$, ta có $\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b} =  \overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{a} = -\overrightarrow{b}$

Suy ra hai vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ đối nhau nên có cùng độ dài, cùng phương và ngược hướng.

Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau

Phương pháp giải

Với quy tắc ba điểm tùy ý $A, \, \, B, \, \, C$ ta luôn có

• $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}$ (quy tắc ba điểm).
• $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB}$ (quy tắc trừ).

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của AD, khi đó$\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0$

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD}  \Leftrightarrow \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IA}  = \overrightarrow {ID}  - \overrightarrow {IC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow {ID}  + \overrightarrow {IA}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow$ I là trung điểm của BC.

Cho ba lực $\left | \overrightarrow{F_1} \right |=\overrightarrow{MA}, \left | \overrightarrow{F_2} \right |=\overrightarrow{MB}$ và$\left | \overrightarrow{F_3} \right |=\overrightarrow{MC}$ cùng tác động vào một vât tại điểm M và đứng yên. Cho biết cường độ của $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ đều là 100N và $\widehat{AMB}=60^0$

Tìm cường độ và hướng của lực$\overrightarrow{F_3}$

Phương pháp giải

Với quy tắc ba điểm tùy ý $A, \, \, B, \, \, C$ ta luôn có:

• $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}$ (quy tắc ba điểm).
• $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB}$ (quy tắc trừ).

Hướng dẫn giải

Do ba lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}}$ cùng tác động vào vật mà vật đứng yên nên tổng hợp lực phải bằng vecto không tức là

$\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \vec 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \vec 0\,\,\,\,(*)$

Dựng hình bình hành AMBD, ta có:

$(*) \Leftrightarrow \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {MC}  = \vec 0$

$\Leftrightarrow$ M là trung điểm của DC như vậy hướng của lực $\overrightarrow {{F_3}}$ ngược với hướng của tổng hợp lực $\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} .$ Ta tính cường độ của lực $\overrightarrow {{F_3}}$ ta có:

$\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {MD} } \right| = 2MI$

$= 2.\frac{{100.\sqrt 3 }}{2} = 100\sqrt 3 (N).$