Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

Phần hướng dẫn giải bài tập Tổng và hiệu hai vectơ​ sẽ giúp các em nắm được phương pháp và rèn luyện kĩ năng các giải bài tập từ SGK Hình học 10 Cơ bản và Nâng cao.

Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

1. Giải bài 1 trang 12 SGK Hình học 10

Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các vectơ  \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\) và \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\)

Phương pháp giải

Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, \, \, B, \, \, C\) ta luôn có

  • \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).
  • \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).

Hướng dẫn giải

Trên đoạn thẳng AB ta lấy điểm M' để có \(\overrightarrow{AM'}\)= \(\overrightarrow{MB}\)

Như vậy \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{MB}\)= \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{AM'}\) = \(\overrightarrow{MM'}\) ( quy tắc 3 điểm)

Vậy vec tơ \(\overrightarrow{MM'}\) chính là vec tơ tổng của \(\overrightarrow{MA}\) và \(\overrightarrow{MB}\)

\(\overrightarrow{MM'}\) = \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{MB}\) .

Ta lại có \(\overrightarrow{MA}\) - \(\overrightarrow{MB}\) = \(\overrightarrow{MA}\) + (- \(\overrightarrow{MB}\))

\(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{MA}\) - \(\overrightarrow{MB}\) = \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{BM}\) (vectơ đối)

Theo tính chất giao hoán của tổng vectơ ta có

\(\overrightarrow{MA}\) +\(\overrightarrow{BM}\) = \(\overrightarrow{BM}\) + \(\overrightarrow{MA}\) = \(\overrightarrow{BA}\) (quy tắc 3 điểm)

Vậy \(\overrightarrow{MA}\) - \(\overrightarrow{MB}\) = \(\overrightarrow{BA}\)

2. Giải bài 2 trang 12 SGK Hình học 10

Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}\) 

Phương pháp giải

Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, \, \, B, \, \, C\) ta luôn có

  • \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).
  • \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).

Hướng dẫn giải

Do đẳng thức (1) nên ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  + ( - \overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MB} )\\ = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD}  + ( - \overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MB} )\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  + ( - \overrightarrow {MC} ) + ( - \overrightarrow {MB} )\\ = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD}  - \overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MB} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MD}  - \overrightarrow {MC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CD} .\end{array}\)

Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CD} \), do vậy (1) là đẳng thức đúng.

3. Giải bài 3 trang 12 SGK Hình học 10

Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì ta luôn có 

a) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}\)

b) \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}= \overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CB}\)

Phương pháp giải

Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, \, \, B, \, \, C\) ta luôn có:

  • \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).
  • \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA}  = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow (\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} ) + (\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA} ) = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CA}  = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AA}  = \vec 0\)

Hiển nhiên đẳng thức cuối cùng là đúng nên ta có:

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA}  = \vec 0\)

Câu b: Ta có: \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {DB} ,\overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {DB} \)

Từ đó suy ra \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CD} \)

4. Giải bài 4 trang 12 SGK Hình học 10

Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng \(\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{0}\)

Phương pháp giải

Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, \, \, B, \, \, C\) ta luôn có

  • \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).
  • \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).

Hướng dẫn giải

Vì tứ giác ABIJ là hình bình hành, nên \(\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow {JA} \) , do vậy \(\overrightarrow {IQ}  = \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {BQ} \) hay \(\overrightarrow {IQ}  = \overrightarrow {JA}  + \overrightarrow {BQ} \,\,(1)\)

Vì tứ giác BCPQ là hình bình hành, nên \(\overrightarrow {PC}  = \overrightarrow {QB} \) do vậy \(\overrightarrow {PS}  = \overrightarrow {PC}  + \overrightarrow {CS} \,\,hay\,\,\overrightarrow {PS}  = \overrightarrow {QB}  + \overrightarrow {{\rm{AR}}} \,\,(2)\) (vì \(\overrightarrow {AR}  = \overrightarrow {CS} \))

Ta cũng có \(\overrightarrow {RJ}  = \overrightarrow {RA}  + \overrightarrow {{\rm{AJ}}} \,\,(3)\)

Từ các đẳng thức (1),(2), (3), ta có:

\(\overrightarrow {RJ}  + \overrightarrow {IQ}  + \overrightarrow {PS}  = \overrightarrow {RA}  + \overrightarrow {AJ}  + \overrightarrow {JA}  + \overrightarrow {BQ}  + \overrightarrow {QB}  + \overrightarrow {AR} \)

\( = \overrightarrow {RA}  + \overrightarrow {AA}  + \overrightarrow {BB}  + \overrightarrow {AR} \)

\(\begin{array}{l} = \overrightarrow {RA}  + \vec 0 + \vec 0 + \overrightarrow {AR} \\ = \overrightarrow {RA}  + \overrightarrow {AR}  = \overrightarrow {RR}  = \vec 0\end{array}\)

5. Giải bài 5 trang 12 SGK Hình học 10

Cho tam giác ABC cạnh a. Tính độ dài của các vectơ  \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)  và \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\)

Phương pháp giải

Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, \, \, B, \, \, C\) ta luôn có

  • \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).
  • \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = a\)

Ta có \( - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {CB} \) (vì \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {CB} \) là hai vecto đối nhau) nên

\(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + ( - \overrightarrow {BC} ) = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB} \)

Dựng D sao cho B là trung điểm của DC, khi đó hai vecto \(\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {BD} \) cùng hướng và cùng độ dài nên \(\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {BD,} \) do vậy

\(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD} \, \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right|\)

Mặt khác tam giác DAC có BA là đường trung tuyến thoả mãn \(BA = BD = BC \Rightarrow BA = \frac{1}{2}DC\) (vì \(BD = BC\))

\( \Rightarrow \) Tam giác DAC vuông tại A và có AC = a, DC = a +  a = 2a.

Áp dụng định lí Pitago ta có \(A{D^2} = D{C^2} - A{C^2} = 3{a^2} \Rightarrow AD = a\sqrt 3 \)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC} } \right| = a\sqrt 3 \) 

6. Giải bài 6 trang 12 SGK Hình học 10

Cho hình bình hành ABCD  có tâm O. Chứng minh rằng

a) \(\overrightarrow {CO}  - \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {BA} \)

b) \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {DB} \)

c) \(\overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {OD}  - \overrightarrow {OC} \)

d) \(\overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC}  = \vec 0\)

Phương pháp giải

Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, \, \, B, \, \, C\) ta luôn có

  • \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).
  • \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).

Hướng dẫn giải

Câu a: Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của BD và AC.

Bởi vậy: \(\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {DO} \)

\( \Rightarrow  - \overrightarrow {OB}  =  - \overrightarrow {DO}  = \overrightarrow {OD} \)

Do đó \(\overrightarrow {CO}  - \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {CO}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {CD} \)

Mặt khác ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BA} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {CO}  - \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {BA.} \)

Câu b: Ta có \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + ( - \overrightarrow {BC} ) = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB} ,\) lại vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {CB} ,\) do vậy ta có:

\(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DB} \)

Câu c: Ta có \(\overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {BA} ;\,\,\,\,\overrightarrow {OD}  - \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {CD} \), vì ABCD là hình bình hành, nên \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BA} \), từ đó suy ra \(\overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {OD}  - \overrightarrow {OC} \)

Câu d: Ta có \(\overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {BB}  = \vec 0\)

7. Giải bài 7 trang 12 SGK Hình học 10

Cho \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) là hai vectơ khác\(\overrightarrow{0}\). Khi nào có đẳng thức

a) \(\left| {\vec a + \vec b} \right| = \left| {\vec a} \right| + \left| {\vec b} \right|\)

b) \(\left| {\vec a + \vec b} \right|\,\, = \,\,\left| {\vec a - \vec b} \right|\)

Phương pháp giải

Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, \, \, B, \, \, C\) ta luôn có

  • \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).
  • \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).

Hướng dẫn giải

Câu a: Dựng \(\overrightarrow {OA}  = \vec a;\,\overrightarrow {AB}  = \vec b,\) khi đó \(\vec a + \vec b = \overrightarrow {OB} \)

\( \Rightarrow \left| {\vec a + \vec b} \right|\,\, = \,\,\left| {\overrightarrow {OB} } \right|\)

Ta có: \(\left| {\vec a + \vec b} \right|\,\, = \,\,\left| {\vec a} \right|\, + \left| {\vec b} \right|\)

\( \Leftrightarrow OB = OA + AB \Leftrightarrow \vec a,\vec b\) cùng hướng.

Câu b: Từ điểm O ta dựng \(\overrightarrow {OA}  = \vec a,\overrightarrow {AB}  = \vec b,\,\overrightarrow {AC}  =  - \vec b\) khi đó

\(\vec a + \vec b = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OB} \)

\(\vec a - \vec b = \vec a + ( - \vec b) = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {OC} \)

Vì \(\left| {\vec a + \vec b} \right|\,\, = \,\,\left| {\vec a - \vec b} \right|\,\)nên OB = OC.

Chú ý rằng B, A, C thẳng hàng nên OBC là tam giác cân với OA là trung tuyến suy ra OA là đường cao hay \(OA \bot AB\)

\( \Leftrightarrow \vec a \bot \vec b\)(Chú ý rằng trường hợp \(\vec a,\vec b\) cùng phương không thể xảy ra với đẳng thức trên).

8. Giải bài 8 trang 12 SGK Hình học 10

Cho \(\left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right |= 0\) . So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\)

Phương pháp giải

Sử dụng lý thuyết: \(\left| {\overrightarrow x } \right| = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow x  = \overrightarrow 0 \)

Hướng dẫn giải

Từ \(\left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right | = 0\), ta có \(\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b} =  \overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{a} = -\overrightarrow{b}\)

Suy ra hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) đối nhau nên có cùng độ dài, cùng phương và ngược hướng.

9. Giải bài 9 trang 12 SGK Hình học 10

Chứng minh rằng \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau

Phương pháp giải

Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, \, \, B, \, \, C\) ta luôn có

  • \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).
  • \( \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của AD, khi đó\(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD}  \Leftrightarrow \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IA}  = \overrightarrow {ID}  - \overrightarrow {IC} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow {ID}  + \overrightarrow {IA} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \) I là trung điểm của BC.

10. Giải bài 10 trang 12 SGK Hình học 10

Cho ba lực \(\left | \overrightarrow{F_1} \right |=\overrightarrow{MA}, \left | \overrightarrow{F_2} \right |=\overrightarrow{MB}\) và\(\left | \overrightarrow{F_3} \right |=\overrightarrow{MC}\) cùng tác động vào một vât tại điểm M và đứng yên. Cho biết cường độ của \(\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}\) đều là 100N và \(\widehat{AMB}=60^0\)

Tìm cường độ và hướng của lực\(\overrightarrow{F_3}\)

Phương pháp giải

Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, \, \, B, \, \, C\) ta luôn có:

  • \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).
  • \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).

Hướng dẫn giải

Do ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) cùng tác động vào vật mà vật đứng yên nên tổng hợp lực phải bằng vecto không tức là

\(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \vec 0\,\,\,\,(*)\)

Dựng hình bình hành AMBD, ta có:

\((*) \Leftrightarrow \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {MC}  = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow \) M là trung điểm của DC như vậy hướng của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) ngược với hướng của tổng hợp lực \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} .\) Ta tính cường độ của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) ta có:

\(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {MD} } \right| = 2MI\)

\( = 2.\frac{{100.\sqrt 3 }}{2} = 100\sqrt 3 (N).\)

Ngày:15/07/2020 Chia sẻ bởi:

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM