Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB. Vẽ các vectơ  \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\) và \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\)

Phương pháp giải

Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, \, \, B, \, \, C\) ta luôn có

• \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).
• \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).

Hướng dẫn giải

Trên đoạn thẳng AB ta lấy điểm M' để có \(\overrightarrow{AM'}\)= \(\overrightarrow{MB}\)

Như vậy \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{MB}\)= \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{AM'}\) = \(\overrightarrow{MM'}\) ( quy tắc 3 điểm)

Vậy vec tơ \(\overrightarrow{MM'}\) chính là vec tơ tổng của \(\overrightarrow{MA}\) và \(\overrightarrow{MB}\)

\(\overrightarrow{MM'}\) = \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{MB}\) .

Ta lại có \(\overrightarrow{MA}\) - \(\overrightarrow{MB}\) = \(\overrightarrow{MA}\) + (- \(\overrightarrow{MB}\))

\(\Rightarrow\) \(\overrightarrow{MA}\) - \(\overrightarrow{MB}\) = \(\overrightarrow{MA}\) + \(\overrightarrow{BM}\) (vectơ đối)

Theo tính chất giao hoán của tổng vectơ ta có

\(\overrightarrow{MA}\) +\(\overrightarrow{BM}\) = \(\overrightarrow{BM}\) + \(\overrightarrow{MA}\) = \(\overrightarrow{BA}\) (quy tắc 3 điểm)

Vậy \(\overrightarrow{MA}\) - \(\overrightarrow{MB}\) = \(\overrightarrow{BA}\)

Cho hình bình hành ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}\) 

Phương pháp giải

Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, \, \, B, \, \, C\) ta luôn có

• \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).
• \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).

Hướng dẫn giải

Do đẳng thức (1) nên ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  + ( - \overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MB} )\\ = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD}  + ( - \overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MB} )\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  + ( - \overrightarrow {MC} ) + ( - \overrightarrow {MB} )\\ = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD}  - \overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MB} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MD}  - \overrightarrow {MC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CD} .\end{array}\)

Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CD} \), do vậy (1) là đẳng thức đúng.

Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì ta luôn có 

a) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}\)

b) \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}= \overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CB}\)

Phương pháp giải

Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, \, \, B, \, \, C\) ta luôn có:

• \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).
• \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).

Hướng dẫn giải

Câu a: Ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA}  = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow (\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} ) + (\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA} ) = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CA}  = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AA}  = \vec 0\)

Hiển nhiên đẳng thức cuối cùng là đúng nên ta có:

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA}  = \vec 0\)

Câu b: Ta có: \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {DB} ,\overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {DB} \)

Từ đó suy ra \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CD} \)

Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng \(\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{0}\)

Phương pháp giải

Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, \, \, B, \, \, C\) ta luôn có

• \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).
• \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).

Hướng dẫn giải

Vì tứ giác ABIJ là hình bình hành, nên \(\overrightarrow {IB}  = \overrightarrow {JA} \) , do vậy \(\overrightarrow {IQ}  = \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {BQ} \) hay \(\overrightarrow {IQ}  = \overrightarrow {JA}  + \overrightarrow {BQ} \,\,(1)\)

Vì tứ giác BCPQ là hình bình hành, nên \(\overrightarrow {PC}  = \overrightarrow {QB} \) do vậy \(\overrightarrow {PS}  = \overrightarrow {PC}  + \overrightarrow {CS} \,\,hay\,\,\overrightarrow {PS}  = \overrightarrow {QB}  + \overrightarrow {{\rm{AR}}} \,\,(2)\) (vì \(\overrightarrow {AR}  = \overrightarrow {CS} \))

Ta cũng có \(\overrightarrow {RJ}  = \overrightarrow {RA}  + \overrightarrow {{\rm{AJ}}} \,\,(3)\)

Từ các đẳng thức (1),(2), (3), ta có:

\(\overrightarrow {RJ}  + \overrightarrow {IQ}  + \overrightarrow {PS}  = \overrightarrow {RA}  + \overrightarrow {AJ}  + \overrightarrow {JA}  + \overrightarrow {BQ}  + \overrightarrow {QB}  + \overrightarrow {AR} \)

\( = \overrightarrow {RA}  + \overrightarrow {AA}  + \overrightarrow {BB}  + \overrightarrow {AR} \)

\(\begin{array}{l} = \overrightarrow {RA}  + \vec 0 + \vec 0 + \overrightarrow {AR} \\ = \overrightarrow {RA}  + \overrightarrow {AR}  = \overrightarrow {RR}  = \vec 0\end{array}\)

Cho tam giác ABC cạnh a. Tính độ dài của các vectơ  \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)  và \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\)

Phương pháp giải

Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, \, \, B, \, \, C\) ta luôn có

• \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).
• \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = a\)

Ta có \( - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {CB} \) (vì \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {CB} \) là hai vecto đối nhau) nên

\(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + ( - \overrightarrow {BC} ) = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB} \)

Dựng D sao cho B là trung điểm của DC, khi đó hai vecto \(\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {BD} \) cùng hướng và cùng độ dài nên \(\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {BD,} \) do vậy

\(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD} \, \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right|\)

Mặt khác tam giác DAC có BA là đường trung tuyến thoả mãn \(BA = BD = BC \Rightarrow BA = \frac{1}{2}DC\) (vì \(BD = BC\))

\( \Rightarrow \) Tam giác DAC vuông tại A và có AC = a, DC = a +  a = 2a.

Áp dụng định lí Pitago ta có \(A{D^2} = D{C^2} - A{C^2} = 3{a^2} \Rightarrow AD = a\sqrt 3 \)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC} } \right| = a\sqrt 3 \) 

Cho hình bình hành ABCD  có tâm O. Chứng minh rằng

a) \(\overrightarrow {CO}  - \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {BA} \)

b) \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {DB} \)

c) \(\overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {OD}  - \overrightarrow {OC} \)

d) \(\overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC}  = \vec 0\)

Phương pháp giải

Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, \, \, B, \, \, C\) ta luôn có

• \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).
• \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).

Hướng dẫn giải

Câu a: Vì ABCD là hình bình hành nên O là trung điểm của BD và AC.

Bởi vậy: \(\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {DO} \)

\( \Rightarrow  - \overrightarrow {OB}  =  - \overrightarrow {DO}  = \overrightarrow {OD} \)

Do đó \(\overrightarrow {CO}  - \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {CO}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {CD} \)

Mặt khác ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BA} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {CO}  - \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {BA.} \)

Câu b: Ta có \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + ( - \overrightarrow {BC} ) = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB} ,\) lại vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {CB} ,\) do vậy ta có:

\(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DB} \)

Câu c: Ta có \(\overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {BA} ;\,\,\,\,\overrightarrow {OD}  - \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {CD} \), vì ABCD là hình bình hành, nên \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BA} \), từ đó suy ra \(\overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {OD}  - \overrightarrow {OC} \)

Câu d: Ta có \(\overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {BA}  - \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {BB}  = \vec 0\)

Cho \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) là hai vectơ khác\(\overrightarrow{0}\). Khi nào có đẳng thức

a) \(\left| {\vec a + \vec b} \right| = \left| {\vec a} \right| + \left| {\vec b} \right|\)

b) \(\left| {\vec a + \vec b} \right|\,\, = \,\,\left| {\vec a - \vec b} \right|\)

Phương pháp giải

Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, \, \, B, \, \, C\) ta luôn có

• \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).
• \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).

Hướng dẫn giải

Câu a: Dựng \(\overrightarrow {OA}  = \vec a;\,\overrightarrow {AB}  = \vec b,\) khi đó \(\vec a + \vec b = \overrightarrow {OB} \)

\( \Rightarrow \left| {\vec a + \vec b} \right|\,\, = \,\,\left| {\overrightarrow {OB} } \right|\)

Ta có: \(\left| {\vec a + \vec b} \right|\,\, = \,\,\left| {\vec a} \right|\, + \left| {\vec b} \right|\)

\( \Leftrightarrow OB = OA + AB \Leftrightarrow \vec a,\vec b\) cùng hướng.

Câu b: Từ điểm O ta dựng \(\overrightarrow {OA}  = \vec a,\overrightarrow {AB}  = \vec b,\,\overrightarrow {AC}  =  - \vec b\) khi đó

\(\vec a + \vec b = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OB} \)

\(\vec a - \vec b = \vec a + ( - \vec b) = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {OC} \)

Vì \(\left| {\vec a + \vec b} \right|\,\, = \,\,\left| {\vec a - \vec b} \right|\,\)nên OB = OC.

Chú ý rằng B, A, C thẳng hàng nên OBC là tam giác cân với OA là trung tuyến suy ra OA là đường cao hay \(OA \bot AB\)

\( \Leftrightarrow \vec a \bot \vec b\)(Chú ý rằng trường hợp \(\vec a,\vec b\) cùng phương không thể xảy ra với đẳng thức trên).

Cho \(\left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right |= 0\) . So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\)

Phương pháp giải

Sử dụng lý thuyết: \(\left| {\overrightarrow x } \right| = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow x  = \overrightarrow 0 \)

Hướng dẫn giải

Từ \(\left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right | = 0\), ta có \(\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b} =  \overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{a} = -\overrightarrow{b}\)

Suy ra hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) đối nhau nên có cùng độ dài, cùng phương và ngược hướng.

Chứng minh rằng \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau

Phương pháp giải

Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, \, \, B, \, \, C\) ta luôn có

• \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).
• \( \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của AD, khi đó\(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD}  \Leftrightarrow \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IA}  = \overrightarrow {ID}  - \overrightarrow {IC} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow {ID}  + \overrightarrow {IA} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \) I là trung điểm của BC.

Cho ba lực \(\left | \overrightarrow{F_1} \right |=\overrightarrow{MA}, \left | \overrightarrow{F_2} \right |=\overrightarrow{MB}\) và\(\left | \overrightarrow{F_3} \right |=\overrightarrow{MC}\) cùng tác động vào một vât tại điểm M và đứng yên. Cho biết cường độ của \(\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}\) đều là 100N và \(\widehat{AMB}=60^0\)

Tìm cường độ và hướng của lực\(\overrightarrow{F_3}\)

Phương pháp giải

Với quy tắc ba điểm tùy ý \(A, \, \, B, \, \, C\) ta luôn có:

• \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm).
• \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB} \) (quy tắc trừ).

Hướng dẫn giải

Do ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) cùng tác động vào vật mà vật đứng yên nên tổng hợp lực phải bằng vecto không tức là

\(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \vec 0\,\,\,\,(*)\)

Dựng hình bình hành AMBD, ta có:

\((*) \Leftrightarrow \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {MC}  = \vec 0\)

\( \Leftrightarrow \) M là trung điểm của DC như vậy hướng của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) ngược với hướng của tổng hợp lực \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} .\) Ta tính cường độ của lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) ta có:

\(\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {MD} } \right| = 2MI\)

\( = 2.\frac{{100.\sqrt 3 }}{2} = 100\sqrt 3 (N).\)