Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 3: Dấu của nhị thức bậc nhất
Phần hướng dẫn giải bài tập Dấu của nhị thức bậc nhất sẽ giúp các em nắm được phương pháp và rèn luyện kĩ năng các giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.
Mục lục nội dung
1. Giải bài 1 trang 94 SGK Đại số 10
Xét dấu các biểu thức:
a) \(f(x) = (2x - 1)(x + 3)\)
b) \(f(x) = (- 3x - 3)(x + 2)(x + 3)\)
c) \(f(x) = \frac{-4}{3x+1}-\frac{3}{2-x}\)
d) \(f(x) = 4x^2 - 1\)
Hướng dẫn giải:
Câu a: xét dấu biểu thức \(f(x) = (2x - 1)(x + 3)\)
Ta có: \(2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2};x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3\)
Xét dấu f(x) trên tập xác định D = R, ta lập bảng xét dấu:
Nhìn vào bảng xét dấu, ta có:
f(x) > 0 khi \(x \in ( - \infty ; - 3) \cup (\frac{1}{2}; + \infty )\)
f(x) < 0 khi \(x \in ( - 3;\frac{1}{2})\)
f(x) = 0 khi \(x = - 3;x = \frac{1}{2}\)
Câu b: Xét dấu biểu thức \(f(x) = (- 3x - 3)(x + 2)(x + 3)\)
Ta có: \(- 3x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 1;x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2;x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3\)
Bảng xét dấu
Nhìn vào bảng xét dấu, ta có:
f(x) > 0 khi \(x \in ( - \infty ; - 3) \cup ( - 2; - 1)\)
f(x) < 0 khi \(x \in ( - 3; - 2) \cup ( - 1; + \infty )\)
f(x) = 0 khi \(x = - 3;x = - 2;x = - 1\)
Câu c: Xét dấu biểu thức \(f(x) = \frac{-4}{3x+1}-\frac{3}{2-x}\)
\(f(x) = \frac{{ - 4(2 - x) - 3(3x + 1)}}{{(3x + 1)(2 - x)}} = \frac{{ - 5x - 11}}{{(3x + 1)(2 - x)}}\)
Ta có: f(x) không xác định khi \(x = \frac{{ - 1}}{3};x = 2.\)
Các nhị thức \( - 5x - 11;3x + 1;2 - x\) có nghiệm lần lượt là: \(\frac{{ - 11}}{5};\frac{{ - 1}}{3};2.\)
Bảng xét dấu
Nhìn vào bảng xét dấu, ta có:
f(x) > 0 khi \(x \in \left( {\frac{{ - 11}}{5};\frac{{ - 1}}{3}} \right) \cup (2; + \infty )\)
f(x) < 0 khi \(x \in \left( { - \infty ;\frac{{ - 11}}{5}} \right) \cup \left( {\frac{{ - 1}}{3};2} \right)\)
f(x) = 0 khi \(x = \frac{{ - 11}}{5}\)
Câu d: Xét dấu biểu thức \(f(x) = 4x^2 - 1\)
Ta có: \(f(x) = 4{x^2} - 1 = (2x - 1)(2x + 1)\)
Các nhị thức: 2x - 1; 2x + 1 có các nghiệm lần lượt là \(\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}\)
Bảng xét dấu
Nhìn vào bảng, ta có:
f(x) > 0 khi \(x \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)
f(x) < 0 khi \(x \in \left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\)
f(x) = 0 khi \(x = \pm \frac{1}{2}\)
2. Giải bài 2 trang 94 SGK Đại số 10
Giải các bất phương trình
a) \(\frac{2}{x-1}\leq \frac{5}{2x-1}\)
b) \(\frac{1}{x+1}<\frac{1}{(x-1)^{2}}\)
c) \(\frac{1}{x}+\frac{2}{x+4}<\frac{3}{x+3}\)
d) \(\frac{x^{2}-3x+1}{x^{2}-1}<1\)
Hướng dẫn giải:
Câu a: Giải bất phương trình \(\frac{2}{x-1}\leq \frac{5}{2x-1}\)
Ta có: \(\frac{2}{{x - 1}} \le \frac{5}{{2x - 1}}\)
\( \Rightarrow \frac{2}{{x - 1}} - \frac{5}{{2x - 1}} \le 0 \Leftrightarrow \frac{{3 - x}}{{(x - 1)(2x - 1)}} \le 0\)
Đặt \(f(x) = \frac{{3 - x}}{{(x - 1)(2x - 1)}}\)
f(x) không xác định tại \(x = 1,x = \frac{1}{2}\)
Các nhị thức: \(3 - x,x - 1,2x - 1\) có các nghiệm lần lượt là: \(3;1;\frac{1}{2}\)
Xét dấu f(x), ta có:
Nhìn vào bảng xét dấu, ta có:
\(f(x) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left( {\frac{1}{2};1} \right) \cup {\rm{[}}3; + \infty )\)
Vậy bất phương trình có nghiệm: \(x \in \left( {\frac{1}{2};1} \right) \cup {\rm{[}}3; + \infty )\)
Câu b: Giải bất phương trình \(\frac{1}{x+1}<\frac{1}{(x-1)^{2}}\)
\(\frac{1}{{x + 1}} < \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{{(x - 1)}^2} - (x + 1)}}{{(x + 1){{(x - 1)}^2}}} < 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 3x}}{{(x + 1){{(x - 1)}^2}}} < 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{x(x - 3)}}{{(x + 1){{(x - 1)}^2}}} < 0\)
Đặt \(f(x) = \frac{{x(x - 3)}}{{(x + 1){{(x - 1)}^2}}}\)
f(x) không xác định tại x=-1; x=1
Xét dấu f(x):
Nhìn vào bảng xét dấu, ta có: \(f(x) < 0\)
\( \Leftrightarrow x \in ( - \infty ; - 1) \cup {\rm{[}}0;1) \cup (1;3)\)Vậy bất phương trình có nghiệm: \(x \in ( - \infty ; - 1) \cup {\rm{[}}0;1) \cup (1;3)\)
Câu c: Giải bất phương trình \(\frac{1}{x}+\frac{2}{x+4}<\frac{3}{x+3}\)
\(\frac{1}{x} + \frac{2}{{x + 4}} < \frac{3}{{x + 3}} \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{2}{{x + 4}} - \frac{3}{{x + 3}} < 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{(x + 4)(x + 3) + 2x(x + 3) - 3(x + 4).x}}{{x(x + 4)(x + 3)}} < 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{x + 12}}{{x(x + 4)(x + 3)}} < 0\)
Đặt \(f(x) = \frac{{x + 12}}{{x(x + 4)(x + 3)}}\)
f(x) không xác định tại x=0; x= -4; x=-3
Xét dấu f(x), ta có:
\( \Rightarrow f(x) < 0 \Leftrightarrow x \in ( - 12; - 4) \cup ( - 3;0)\)
Vậy bất phương trình có nghiệm \(x \in ( - 12; - 4) \cup ( - 3;0)\).
Câu d: Giải bất phương trình \(\frac{x^{2}-3x+1}{x^{2}-1}<1\)
\(\frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} - 1}} < 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} - 1}} - 1 < 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{{2 - 3x}}{{(x - 1)(x + 1)}} < 0\)
Đặt \( f(x) = \frac{{2 - 3x}}{{(x - 1)(x + 1)}}\)
f(x) không xác định tại x=-1; x=1
Xét dấu f(x), ta có:
Vậy bất phương trình có nghiệm: \(x \in ( - 1;\frac{2}{3}) \cup (1; + \infty ).\)
3. Giải bài 3 trang 94 SGK Đại số 10
Giải các bất phương trình:
a) \(|5x - 4| \geq 6\)
b) \(\left| {\frac{{ - 5}}{{x + 2}}} \right| < \left| {\frac{{10}}{{x - 1}}} \right|\)
Hướng dẫn giải:
Câu a: Giải bất phương trình \(|5x - 4| \geq 6\)
\(\left| {5x - 4} \right| \ge 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
5x - 4 \ge 6\\
5x - 4 \le - 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
x \le - \frac{2}{5}
\end{array} \right.\)
Vậy bất phương trình có nghiệm: \(\left[ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
x \le - \frac{2}{3}
\end{array} \right.\)
Câu b: Giải bất phương trình \(\left| {\frac{{ - 5}}{{x + 2}}} \right| < \left| {\frac{{10}}{{x - 1}}} \right|\)
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2;1} \right\}\)
\(\begin{array}{l}\left| {\frac{{ - 5}}{{x + 2}}} \right| < \left| {\frac{{10}}{{x - 1}}} \right| \Leftrightarrow {\left( {\frac{{ - 5}}{{x + 2}}} \right)^2} < {\left( {\frac{{10}}{{x - 1}}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{ - 5}}{{x + 2}}} \right)^2} - {\left( {\frac{{10}}{{x - 1}}} \right)^2} < 0 \Leftrightarrow \left[ {\frac{{ - 5}}{{x + 2}} - \frac{{10}}{{x - 1}}} \right]\left[ {\frac{{ - 5}}{{x + 2}} + \frac{{10}}{{x - 1}}} \right] < 0\\ \Leftrightarrow \frac{{ - 15x - 15}}{{(x + 2)(x - 1)}}.\frac{{5x + 25}}{{(x + 2)(x - 1)}} < 0\\ \Leftrightarrow \frac{{( - 15x - 15)(5x + 25)}}{{{{(x + 2)}^2}{{(x - 1)}^2}}} < 0\end{array}\)
Đặt \(f(x) = \frac{{( - 15x - 15)(5x + 25)}}{{{{(x + 2)}^2}{{(x - 1)}^2}}}\)
Hàm số \(f(x)\) không xác định tại x=-2 và x=1
Các nhị thức -15x-15 và 5x+25 có nghiệm lần lượt là -1 và -5
\(\begin{array}{l}
{(x + 2)^2} = 0 \Leftrightarrow x = - 2\\
{(x - 1)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1
\end{array}\)
Bảng xét dấu f(x):
Vậy f(x)<0 khi \(x \in ( - \infty ; - 5) \cup \left( { - 1;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
Tham khảo thêm
- doc Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 1: Bất đẳng thức
- doc Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn
- doc Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 4: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
- doc Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 5: Dấu của tam thức bậc hai
- doc Giải bài tập SGK Toán 10 Ôn tập chương IV: Bất đẳng thức. Bất phương trình