Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 3: Dấu của nhị thức bậc nhất

Phần hướng dẫn giải bài tập Dấu của nhị thức bậc nhất sẽ giúp các em nắm được phương pháp và rèn luyện kĩ năng các giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.

Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 3: Dấu của nhị thức bậc nhất

1. Giải bài 1 trang 94 SGK Đại số 10

Xét dấu các biểu thức: 

a) \(f(x) = (2x - 1)(x + 3)\)

b) \(f(x) = (- 3x - 3)(x + 2)(x + 3)\)

c) \(f(x) = \frac{-4}{3x+1}-\frac{3}{2-x}\)

d) \(f(x) = 4x^2 - 1\)

Hướng dẫn giải:

Câu a: xét dấu biểu thức \(f(x) = (2x - 1)(x + 3)\)

Ta có: \(2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2};x + 3 = 0 \Leftrightarrow x =  - 3\)

Xét dấu f(x) trên tập xác định D = R, ta lập bảng xét dấu:

Nhìn vào bảng xét dấu, ta có:

f(x) > 0 khi \(x \in ( - \infty ; - 3) \cup (\frac{1}{2}; + \infty )\)

f(x) < 0 khi \(x \in ( - 3;\frac{1}{2})\) 

f(x) = 0 khi \(x =  - 3;x = \frac{1}{2}\) 

Câu b: Xét dấu biểu thức \(f(x) = (- 3x - 3)(x + 2)(x + 3)\)

Ta có: \(- 3x - 3 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1;x + 2 = 0 \Leftrightarrow x =  - 2;x + 3 = 0 \Leftrightarrow x =  - 3\)

Bảng xét dấu

Nhìn vào bảng xét dấu, ta có:

f(x) > 0 khi \(x \in ( - \infty ; - 3) \cup ( - 2; - 1)\)

f(x) < 0 khi \(x \in ( - 3; - 2) \cup ( - 1; + \infty )\)

f(x) = 0 khi \(x =  - 3;x =  - 2;x =  - 1\)

Câu c: Xét dấu biểu thức \(f(x) = \frac{-4}{3x+1}-\frac{3}{2-x}\)

\(f(x) = \frac{{ - 4(2 - x) - 3(3x + 1)}}{{(3x + 1)(2 - x)}} = \frac{{ - 5x - 11}}{{(3x + 1)(2 - x)}}\)

Ta có: f(x) không xác định khi \(x = \frac{{ - 1}}{3};x = 2.\)

Các nhị thức \( - 5x - 11;3x + 1;2 - x\) có nghiệm lần lượt là: \(\frac{{ - 11}}{5};\frac{{ - 1}}{3};2.\)

Bảng xét dấu

Nhìn vào bảng xét dấu, ta có:

f(x) > 0 khi \(x \in \left( {\frac{{ - 11}}{5};\frac{{ - 1}}{3}} \right) \cup (2; + \infty )\)

f(x) < 0 khi \(x \in \left( { - \infty ;\frac{{ - 11}}{5}} \right) \cup \left( {\frac{{ - 1}}{3};2} \right)\)

f(x) = 0 khi \(x = \frac{{ - 11}}{5}\) 

Câu d: Xét dấu biểu thức \(f(x) = 4x^2 - 1\)

Ta có: \(f(x) = 4{x^2} - 1 = (2x - 1)(2x + 1)\)

Các nhị thức: 2x - 1; 2x + 1 có các nghiệm lần lượt là \(\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}\)

Bảng xét dấu

Nhìn vào bảng, ta có:

f(x) > 0 khi \(x \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

f(x) < 0 khi \(x \in \left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\)

f(x) = 0 khi \(x =  \pm \frac{1}{2}\)

2. Giải bài 2 trang 94 SGK Đại số 10

Giải các bất phương trình

a) \(\frac{2}{x-1}\leq \frac{5}{2x-1}\)

b) \(\frac{1}{x+1}<\frac{1}{(x-1)^{2}}\)

c) \(\frac{1}{x}+\frac{2}{x+4}<\frac{3}{x+3}\)

d) \(\frac{x^{2}-3x+1}{x^{2}-1}<1\)

Hướng dẫn giải:

Câu a: Giải bất phương trình \(\frac{2}{x-1}\leq \frac{5}{2x-1}\)

Ta có: \(\frac{2}{{x - 1}} \le \frac{5}{{2x - 1}}\)

\( \Rightarrow \frac{2}{{x - 1}} - \frac{5}{{2x - 1}} \le 0 \Leftrightarrow \frac{{3 - x}}{{(x - 1)(2x - 1)}} \le 0\)

Đặt \(f(x) = \frac{{3 - x}}{{(x - 1)(2x - 1)}}\)

f(x) không xác định tại \(x = 1,x = \frac{1}{2}\)

Các nhị thức: \(3 - x,x - 1,2x - 1\) có các nghiệm lần lượt là: \(3;1;\frac{1}{2}\)

Xét dấu f(x), ta có:

Nhìn vào bảng xét dấu, ta có:

\(f(x) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left( {\frac{1}{2};1} \right) \cup {\rm{[}}3; + \infty )\)

Vậy bất phương trình có nghiệm: \(x \in \left( {\frac{1}{2};1} \right) \cup {\rm{[}}3; + \infty )\)

Câu b: Giải bất phương trình \(\frac{1}{x+1}<\frac{1}{(x-1)^{2}}\)

\(\frac{1}{{x + 1}} < \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{{(x - 1)}^2} - (x + 1)}}{{(x + 1){{(x - 1)}^2}}} < 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 3x}}{{(x + 1){{(x - 1)}^2}}} < 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{x(x - 3)}}{{(x + 1){{(x - 1)}^2}}} < 0\)

Đặt \(f(x) = \frac{{x(x - 3)}}{{(x + 1){{(x - 1)}^2}}}\)

f(x) không xác định tại x=-1; x=1

Xét dấu f(x):

Nhìn vào bảng xét dấu, ta có: \(f(x) < 0\)

\( \Leftrightarrow x \in ( - \infty ; - 1) \cup {\rm{[}}0;1) \cup (1;3)\)Vậy bất phương trình có nghiệm: \(x \in ( - \infty ; - 1) \cup {\rm{[}}0;1) \cup (1;3)\)

Câu c: Giải bất phương trình \(\frac{1}{x}+\frac{2}{x+4}<\frac{3}{x+3}\)

\(\frac{1}{x} + \frac{2}{{x + 4}} < \frac{3}{{x + 3}} \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{2}{{x + 4}} - \frac{3}{{x + 3}} < 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{(x + 4)(x + 3) + 2x(x + 3) - 3(x + 4).x}}{{x(x + 4)(x + 3)}} < 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{x + 12}}{{x(x + 4)(x + 3)}} < 0\)

Đặt \(f(x) = \frac{{x + 12}}{{x(x + 4)(x + 3)}}\)

f(x) không xác định tại x=0; x= -4; x=-3

Xét dấu f(x), ta có: 

\( \Rightarrow f(x) < 0 \Leftrightarrow x \in ( - 12; - 4) \cup ( - 3;0)\)

Vậy bất phương trình có nghiệm \(x \in ( - 12; - 4) \cup ( - 3;0)\).

Câu d: Giải bất phương trình \(\frac{x^{2}-3x+1}{x^{2}-1}<1\)

\(\frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} - 1}} < 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} - 1}} - 1 < 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{2 - 3x}}{{(x - 1)(x + 1)}} < 0\)

Đặt \( f(x) = \frac{{2 - 3x}}{{(x - 1)(x + 1)}}\) 

f(x) không xác định tại x=-1; x=1

Xét dấu f(x), ta có: 

Vậy bất phương trình có nghiệm: \(x \in ( - 1;\frac{2}{3}) \cup (1; + \infty ).\)

3. Giải bài 3 trang 94 SGK Đại số 10

Giải các bất phương trình:

a) \(|5x - 4| \geq 6\)

b) \(\left| {\frac{{ - 5}}{{x + 2}}} \right| < \left| {\frac{{10}}{{x - 1}}} \right|\)

Hướng dẫn giải:

Câu a: Giải bất phương trình \(|5x - 4| \geq 6\)

\(\left| {5x - 4} \right| \ge 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
5x - 4 \ge 6\\
5x - 4 \le  - 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
x \le  - \frac{2}{5}
\end{array} \right.\)

Vậy bất phương trình có nghiệm: \(\left[ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
x \le  - \frac{2}{3}
\end{array} \right.\)

Câu b: Giải bất phương trình \(\left| {\frac{{ - 5}}{{x + 2}}} \right| < \left| {\frac{{10}}{{x - 1}}} \right|\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2;1} \right\}\)

\(\begin{array}{l}\left| {\frac{{ - 5}}{{x + 2}}} \right| < \left| {\frac{{10}}{{x - 1}}} \right| \Leftrightarrow {\left( {\frac{{ - 5}}{{x + 2}}} \right)^2} < {\left( {\frac{{10}}{{x - 1}}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{ - 5}}{{x + 2}}} \right)^2} - {\left( {\frac{{10}}{{x - 1}}} \right)^2} < 0 \Leftrightarrow \left[ {\frac{{ - 5}}{{x + 2}} - \frac{{10}}{{x - 1}}} \right]\left[ {\frac{{ - 5}}{{x + 2}} + \frac{{10}}{{x - 1}}} \right] < 0\\ \Leftrightarrow \frac{{ - 15x - 15}}{{(x + 2)(x - 1)}}.\frac{{5x + 25}}{{(x + 2)(x - 1)}} < 0\\ \Leftrightarrow \frac{{( - 15x - 15)(5x + 25)}}{{{{(x + 2)}^2}{{(x - 1)}^2}}} < 0\end{array}\)

Đặt \(f(x) = \frac{{( - 15x - 15)(5x + 25)}}{{{{(x + 2)}^2}{{(x - 1)}^2}}}\)

Hàm số \(f(x)\) không xác định tại x=-2 và x=1

Các nhị thức -15x-15 và 5x+25 có nghiệm lần lượt là -1 và -5

\(\begin{array}{l}
{(x + 2)^2} = 0 \Leftrightarrow x =  - 2\\
{(x - 1)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1
\end{array}\)

Bảng xét dấu f(x):

Vậy f(x)<0 khi \(x \in ( - \infty ; - 5) \cup \left( { - 1;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)

Ngày:03/08/2020 Chia sẻ bởi:

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM