Giải bài tập SGK Toán 10 Chương 2 Bài 1: Phương trình đường thẳng

1. Giải bài 1 trang 80 SGK Hình học 10

Lập phương trình tham số của đường thẳng \(d\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(d\) đi qua điểm \(M(2; 1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = (3;4).\)

b) \(d\) đi qua điểm \(M(-2; 3)\) và có vec tơ pháp tuyến \(\vec{n}= (5; 1).\)

Phương pháp giải

- Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(x_0; y_0)\) và có vecto chỉ phương \(\vec{u}=(a; \, b)\) có phương trình tham số: \(\left\{\begin{matrix} x = x_0 + at& \\ y = y_0 +bt & \end{matrix}\right..\)

- Đường thẳng \(d\) có VTPT là \(\vec{n}=(a; \, b)\) thì có VTCP là \(\vec{u}=(-b; \, a)\) hoặc \(\vec{u}=(b; \, -a).\)

Hướng dẫn giải

Câu a:

Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(2; 1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = (3;4)\) là:   \(d:\left\{\begin{matrix} x= 2+3t& \\ y= 1+4t& \end{matrix}\right.\)

Câu b:

Vì \(\vec{n} = (5; 1)\) nên ta chọn vectơ  \(\vec{a} ⊥  \vec{n}\) có tọa độ \(\vec{a} = (1; -5)\) làm VTCP.

Phương trình tham số của \(d:\left\{\begin{matrix} x= -2+t& \\ y= 3-5t& \end{matrix}\right.\)

2. Giải bài 2 trang 80 SGK  Hình học 10

Lập phương trình tổng quát của đường thẳng \(∆\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(∆\) đi qua điểm \(M (-5; -8)\) và có hệ số góc \(k = -3\)

b) \(∆\) đi qua hai điểm \(A(2; 1)\) và \(B(-4; 5)\).

a) \(∆\) đi qua điểm \(M (-5; -8)\) và có hệ số góc \(k = -3\)

b) \(∆\) đi qua hai điểm \(A(2; 1)\) và \(B(-4; 5)\)

Phương pháp giải

Câu a:

Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M(x_0; \, y_0)\) và có hệ số góc \(k\) có phương trình tổng quát: \(y=k(x-x_0)+y_0.\)

Câu b:

- Tìm \(\overrightarrow {AB} \) suy ra VTPT của đường thẳng \(AB\).

- Phương trình tổng quát \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

Hướng dẫn giải

Câu a:

\(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( { - 5; - 8} \right)\) và có hệ số góc \(k =  - 3\) nên:

Phương trình của \(∆\) là : \(y = -3(x + 5) -8 \)\( \Leftrightarrow y =  - 3x - 23\)

\(\Rightarrow\) PTTQ của ∆ là \( 3x + y + 23 = 0\)

Câu b:

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A(2; 1)\) và \(B(-4; 5)\) nên nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 6;4} \right)\) làm VTCP

\( \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {4;6} \right)\) là một VTPT của \(\Delta \).

\(\Delta \) đi qua \(A\left( {2;1} \right)\) và có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {4;6} \right)\) nên có PTTQ:

\(\begin{array}{l}4\left( {x - 2} \right) + 6\left( {y - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4x + 6y - 14 = 0\\ \Leftrightarrow 2x + 3y - 7 = 0\end{array}\)

Cách khác:

Đường thẳng \(∆\) đi qua \(A(2; 1)\) và \(B(-4; 5)\) có phương trình:

\(\dfrac{x-2}{-4-2}=\dfrac{y-1}{5-1} \\  \Leftrightarrow 2(x-2) =-3(y-1)  \)

\(\Rightarrow ∆ : 2x + 3y - 7 = 0.\)

3. Giải bài 3 trang 80 SGK Hình học 10

Cho tam giác \(ABC\), biết \(A(1; 4), B(3; -1)\) và \(C(6; 2).\)

a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng \(AB, BC\), và \(CA.\)

b) Lập phương trình tổng quát của đường cao \(AH\) và trung tuyến \(AM.\)

a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng \(AB, BC\), và \(CA.\)

b) Lập phương trình tổng quát của đường cao \(AH\) và trung tuyến \(AM.\)

Phương pháp giải

Câu a:

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A,B\):

• Tìm tọa độ \(\overrightarrow {AB} \) suy ra VTPT của \(AB\).
• PTTQ: \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

Câu b:

- Đường cao AH là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC  hay nhận VTCP của BC là VTPT.

- Đường trung tuyến AM là đường thẳng đi qua A và trung điểm M của BC.

Hướng dẫn giải

Câu a:

Phương trình \(AB\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 5} \right)\)

Đường thẳng \(AB\) nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 5} \right)\) làm VTCP nên nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {5;2} \right)\) làm VTPT

Mà \(AB\) đi qua \(A\left( {1;4} \right)\) nên PTTQ: \(5\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 4} \right) = 0\) hay \(5x + 2y - 13 = 0\)

Phương trình \(AC\).

Ta có: \(\overrightarrow {AC}  = \left( {5; - 2} \right)\)

Đường thẳng \(AC\) nhận \(\overrightarrow {AC}  = \left( {5; - 2} \right)\) làm VTCP nên nhận \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;5} \right)\) làm VTPT

Mà \(AC\) đi qua \(A\left( {1;4} \right)\) nên PTTQ: \(2\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y - 4} \right) = 0\) hay \(2x + 5y - 22 = 0\)

Phương trình \(BC\).

Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \left( {3;3} \right)\)

Đường thẳng \(BC\) nhận \(\overrightarrow {BC}  = \left( {3;3} \right) = 3\left( {1;1} \right)\) làm VTCP nên nhận \(\overrightarrow {{n_3}}  = \left( {1; - 1} \right)\) làm VTPT

Mà \(BC\) đi qua \(B\left( {3; - 1} \right)\) nên PTTQ: \(1\left( {x - 3} \right) - 1\left( {y + 1} \right) = 0\) hay \(x - y - 4 = 0\)

Cách khác:

Phương trình đường thẳng \(AB:  \dfrac{x-1}{3-1}=\dfrac{y-4}{-1-4}\)

\(\Leftrightarrow  \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-4}{-5}\) \( \Leftrightarrow 5x+2y-13=0. \)

Tương tự ta có:

phương trình đường thẳng \(BC: x - y -4 = 0\)

phương trình đường thẳng \(CA: 2x + 5y -22 = 0\)

Câu b:

Đường cao \(AH\) là đường thẳng đi qua \(A(1; 4)\) và vuông góc với \(BC\).

\(\vec{BC} = (3; 3)\)

\({AH}  ⊥ {BC}\) nên AH nhận vectơ \(\vec{n} = (3; 3)\) làm vectơ pháp tuyến và có phương trình tổng quát:

\(AH : 3(x - 1) + 3(y -4) = 0\)

\(\Leftrightarrow 3x + 3y - 15 = 0\)

\(\Leftrightarrow x + y - 5 = 0\)

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\) ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_M} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = \frac{{3 + 6}}{2} = \frac{9}{2}\\
{y_M} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = \frac{{ - 1 + 2}}{2} = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\)

Do đó \(M (\dfrac{9}{2}; \dfrac{1}{2})\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( {\dfrac{7}{2}; - \dfrac{7}{2}} \right) = \dfrac{7}{2}\left( {1; - 1} \right)\)

Trung tuyến \(AM\) là đường thẳng đi qua điểm \(A(1;4)\) và nhận \(\overrightarrow {u_4}   = \dfrac{2}{7}\overrightarrow {AM} = \left( {1; - 1} \right)\) làm VTCP nên nhận \(\overrightarrow {{n_4}}  = \left( {1;1} \right)\) làm VTPT

PTTQ: \(1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 4} \right) = 0\) hay \( x + y - 5 = 0\).

4. Giải bài 4 trang 80 SGK Hình học 10

Phương pháp giải

5. Giải bài 5 trang 80 SGK Hình học 10

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:

a) 

\(d_1: 4x - 10y + 1 = 0 \);

\(d_2 : x + y + 2 = 0\)

b)

\(d_1:  12x - 6y + 10 = 0  \);

\(d_2:\left\{\begin{matrix} x= 5+t& \\ y= 3+2t& \end{matrix}\right.\)

c)

\(d_1:8x + 10y - 12 = 0  \);

\( d_2 :  \left\{\begin{matrix} x= -6+5t& \\ y= 6-4t& \end{matrix}\right.\)

Phương pháp giải

Câu a:

Cho hai đường thẳng: \({d_1}:\;\;ax + by + c = 0,\) \({d_2}:\;\;a'x + b'y + c' = 0.\) Khi đó: 

• \({d_1}  \cap  {d_2}:\;\;\dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}.\)
• \({d_1}//{d_2}:\;\;\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}.\)
• \({d_1} \equiv {d_2}:\;\;\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}.\)

Câu b, c:

Viết \(d_2\) dưới dạng tổng quát và nhận xét các bộ số tỉ lệ.

Hướng dẫn giải

Câu a:

Xét hệ \(\left\{\begin{matrix} 4x-10y + 1= 0& \\ x + y + 2 = 0& \end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\dfrac{4}{1} \ne \dfrac{{ - 10}}{1} \Rightarrow {d_1} \cap {d_2}.\)

Vậy \(d_1\) và \(d_2\) cắt nhau.

Chú ý:

Có thể bấm máy tính giải hệ trên ra nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( { - \dfrac{3}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)\) suy ra hai đường thẳng cắt nhau.

Khi giải hệ cần chuyển vế như sau rồi mới bấm máy: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
4x - 10y = - 1\\
x + y = - 2
\end{array} \right.\)

Bấm MODE 5 1 rồi nhập lần lượt các hệ số:

4   -10   -1

1     1    -2

Sau đó sẽ ra nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( { - \frac{3}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\).

Câu b:

Viết \(d_2:\left\{\begin{matrix} x= 5+t& \\ y= 3+2t& \end{matrix}\right.\) dưới dạng tổng quát.

\(\begin{array}{l}
{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + t\\
y = 3 + 2t
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x = 10 + 2t\\
y = 3 + 2t
\end{array} \right.\\
\Rightarrow 2x - y = 7\\
\Leftrightarrow 2x - y - 7 = 0
\end{array}\)

Do đó \(d_2: 2x - y - 7 = 0.\)

Ta có: \(\dfrac{{12}}{2} = \dfrac{{ - 6}}{{ - 1}} \ne \dfrac{{10}}{{ - 7}} \Rightarrow {d_1}//{d_2}.\)

Vậy \(d_1// d_2\).

Cách khác:

Cách 1:

Giải hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + t\\
y = 3 + 2t\\
12x - 6y + 10 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + t\\
y = 3 + 2t\\
12\left( {5 + t} \right) - 6\left( {3 + 2t} \right) + 10 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + t\\
y = 3 + 2t\\
12t + 60 - 18 - 12t + 10 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + t\\
y = 3 + 2t\\
52 = 0\left( {VN} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Hệ trên vô nghiệm nên hai đường thẳng song song.

Cách 2:

\({d_1}\) nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {12; - 6} \right)\) làm VTPT.

\({d_2}\) nhận \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;2} \right)\) làm VTCP nên nhận \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2; - 1} \right)\) làm VTPT.

Dễ thấy \(\overrightarrow {{n_1}}  = 6\overrightarrow {{n_2}} \) nên \({d_1},{d_2}\) song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm \(M\left( {5;3} \right) \in {d_2}\) thay vào \({d_1}\) ta được:

\(12.5 - 6.3 + 10 = 52 \ne 0\) nên \(M \notin {d_1}\).

Vậy \({d_1}//{d_2}\).

Câu c: 

\(d_1:8x + 10y - 12 = 0  \)

Viết \( d_2  :  \left\{\begin{matrix} x= -6+5t& \\ y= 6-4t& \end{matrix}\right.\) dưới dạng tổng quát:

\(\begin{array}{l}
{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}
x = - 6 + 5t\\
y = 6 - 4t
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4x = - 24 + 20t\\
5y = 30 - 20t
\end{array} \right.\\
\Rightarrow 4x + 5y = 6\\
\Leftrightarrow 4x + 5y - 6 = 0
\end{array}\)

Do đó \(d_2: 4x + 5y - 6 = 0\)  

Ta có: \(\dfrac{8}{4} = \dfrac{{10}}{5} = \dfrac{{ - 12}}{{ - 6}}\left( { = 2} \right)\) \( \Rightarrow {d_1} \equiv {d_2}.\)

Vậy \(d_1\) trùng \(d_2\).

Cách khác:

Cách 1: Xét hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
8x + 10y - 12 = 0\\
x = - 6 + 5t\\
y = 6 - 4t
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 6 + 5t\\
y = 6 - 4t\\
8\left( { - 6 + 5t} \right) + 10\left( {6 - 4t} \right) - 12 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 6 + 5t\\
y = 6 - 4t\\
- 48 + 40t + 60 - 40t - 12 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 6 + 5t\\
y = 6 - 4t\\
0 = 0\left( {dung} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Do đó hệ có vô số nghiệm hay \(d_1\) trùng \(d_2\).

Cách 2: 

\({d_1}\) nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {8;10} \right)\) làm VTPT.

\({d_2}\) nhận \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {5; - 4} \right)\) làm VTCP nên nhận \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {4;5} \right)\) làm VTPT.

Dễ thất \(\overrightarrow {{n_1}}  = 2\overrightarrow {{n_2}} \) nên \({d_1},{d_2}\) song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm \(M\left( { - 6;6} \right) \in {d_2}\), thay vào \({d_1}\) được:

\(8.\left( { - 6} \right) + 10.6 - 12 = 0\) nên \(M \in {d_1}\).

Vậy \({d_1} \equiv {d_2}\).

6. Giải bài 6 trang 80 SGK Hình học 10

Phương pháp giải

7. Giải bài 7 trang 81 SGK Hình học 10

Phương pháp giải

8. Giải bài 8 trang 81 SGK Hình học 10

Tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau:

a) \(A(3; 5), \) \(∆ : 4x + 3y + 1 = 0\);

b)  \(B(1; -2),\) \( d: 3x - 4y - 26 = 0\);

c) \(C(1; 2),\) \( m: 3x + 4y - 11 = 0\);

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(M(x_0; \, y_0)\) đến đường thẳng \(\Delta: \, ax+by+c=0\) là:  \( d(M, \,∆) = \dfrac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)

Hướng dẫn giải

Câu a:

\( d(A,∆) =\dfrac{|4.3+3.5+1|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}= \dfrac{28}{5}\) 

Câu b:

\( d(B,d) =\dfrac{|3.1-4.(-2)-26|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}} \) \(= \dfrac{|-15|}{5} = \dfrac{15}{5}\)\( = 3\)

Câu c:

Ta có: \(3.1+4.2-11=0\) do đó điểm \(C\) nằm trên đường thẳng \(m\) \(\Rightarrow  d(C, \,m) =0.\)

Cách khác:

\(d\left( {C,m} \right) = \dfrac{{\left| {3.1 + 4.2 - 11} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \dfrac{0}{5} = 0\)

9. Giải bài 9 trang 81 SGK Hình học 10