Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 5: Dấu của tam thức bậc hai

Phần hướng dẫn giải bài tập Dấu của tam thức bậc hai ẩn sẽ giúp các em nắm được phương pháp và rèn luyện kĩ năng các giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.

Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 5: Dấu của tam thức bậc hai

1. Giải bài 1 trang 105 SGK Đại số 10

Xét dấu các tam thức bậc hai

a) \(5x^2 - 3x + 1\)

b) \(- 2x^2 + 3x + 5\)

c) \(x^2 + 12x + 36\)

d) \((2x - 3)(x + 5)\)

Phương pháp giải:

Cho đa thức bậc hai: \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\;\;\left( {a \ne 0} \right),\;\;\)\(\Delta  = {b^2} - 4ac.\)

+) Nếu \(\Delta < 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a,\) với mọi \(x \in R.\)

+) Nếu \(\Delta = 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a,\) trừ khi \(x=-\frac{b}{2a}.\)

+) Nếu \(\Delta > 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) khi \(x < x_1\) hoặc \(x > x_2,\) trái dấu với hệ số \(a\) khi \(x_1 < x < x_2\) trong đó \(x_1, \, \, x_2 \, \, (x_1 < x_2)\) là hai nghiệm của \(f(x).\)

Hướng dẫn giải:

Câu a: Xét dấu tam thức bậc hai \(5x^2 - 3x + 1\)

Xét \(f(x) = 5{x^2} - 3x + 1\) có

\(\Delta  = {3^2} - 4.5.1 =  - 11 < 0\) mà a = 5 > 0

Suy ra: \(f(x) > 0\,\,\,\forall x \in R\)

Câu b: Xét dấu tam thức bậc hai \(- 2x^2 + 3x + 5\)

Xét \(f(x) =  - 2{x^2} + 3x + 5\) có:

\(\Delta  = {3^2} - 4( - 2).5 = 49 > 0\), suy ra f(x) có nghiệm \({x_1} =  - 1,{x_2} = \frac{5}{2}\)

Mà a = -2 < 0, do vậy f(x) < 0 với \(\left[ \begin{array}{l}x > \frac{5}{2}\\x <  - 1\end{array} \right.\)

f(x) > 0 với \( - 1 < x < \frac{5}{2}\)

f(x) = 0 với \(\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = \frac{5}{2}\end{array} \right.\)

Câu c: Xét dấu tam thức bậc hai \(x^2 + 12x + 36\)

Xét \(f(x) = {x^2} + 12x + 36\) có \(\Delta ' = {6^2} - 36 = 0\)

Suy ra: f(x) > 0 với mọi \(x \in R\backslash {\rm{\{ }} - 6\} \)

f(x) = 0 với x = - 6

Câu d: Xét dấu tam thức bậc hai \((2x - 3)(x + 5)\)

Xét f(x) = (2x-3)(x+5) có 2 nghiệm \(x =  - 5,x = \frac{3}{2}\) , mà a = 2 > 0

Do vậy: f(x) > 0 với \(\forall x:\left[ \begin{array}{l}x > \frac{3}{2}\\x <  - 5\end{array} \right.\)

f(x) < 0 với \(\forall x: - 5 < x < \frac{3}{2}\)

f(x) = 0 với \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\x =  - 5\end{array} \right.\)

2. Giải bài 2 trang 105 SGK Đại số 10

Lập bảng xét dấu các biểu thức sau

a) \(f(x) = (3x^2 - 10x + 3)(4x - 5)\)

b) \(f(x) = (3x^2 - 4x)(2x^2 - x - 1)\)

c) \(f(x) = (4x^2 - 1)(- 8x^2 + x - 3)(2x + 9)\)

d) \(f(x) =\frac{(3x^{2}-x)(3-x^{2})}{4x^{2}+x-3}\)

Phương pháp giải:

Cho nhị thức: \(f(x)=a x+b\) ta có:

+) \(f(x)\) cùng dấu với hệ số \(a\) khi \(x \in\left( { - \frac{b}{a};\, + \infty } \right).\)

+) \(f(x)\) trái dấu với hệ số \(a\) khi \(x \in \left( { + \infty ; \, - \frac{b}{a}} \right)\)

Cho đa thức bậc hai: \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\;\;\left( {a \ne 0} \right),\;\;\)\(\Delta  = {b^2} - 4ac.\)

+) Nếu \(\Delta < 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a,\) với mọi \(x \in R.\)

+) Nếu \(\Delta = 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a,\) trừ khi \(x=-\frac{b}{2a}.\)

+) Nếu \(\Delta > 0\) thì \(f(x)\) luôn cùng dấu với hệ số \(a\) khi \(x < x_1\) hoặc \(x > x_2,\) trái dấu với hệ số \(a\) khi \(x_1 < x < x_2\) trong đó \(x_1, \, \, x_2 \, \, (x_1 < x_2)\) là hai nghiệm của \(f(x).\)

Hướng dẫn giải:

Câu a: Lập bảng xét dấu biểu thức \(f(x) = (3x^2 - 10x + 3)(4x - 5)\)

Xét tan thức 3x2 - 10x + 3 và nhị thức 4x - 5, rồi lập bảng xét dầu f(x), ta được:

Bảng xét dấu:

Câu b: Lập bảng xét dấu biểu thức \(f(x) = (3x^2 - 4x)(2x^2 - x - 1)\)

Xét tam giác: 3x2 - 4x và 2x2 - x -1, rồi lập bảng xét dấu f(x) là được: 

Bảng xét dấu:

Câu c: Lập bảng xét dấu biểu thức \(f(x) = (4x^2 - 1)(- 8x^2 + x - 3)(2x + 9)\)

Xét các tam giác 4x2 -1, -8x2 + x -3 và nhị thức 2x + 9. Lập bảng xét dấu f(x), ta được:

Câu d: Lập bảng xét dấu biểu thức \(f(x) =\frac{(3x^{2}-x)(3-x^{2})}{4x^{2}+x-3}\)

Xét các tam thức: 3x2 - x, 3 - x2, 4x2 + x - 3. Lập bảng xét dấu f(x), ta được:

Bảng xét dấu:


3. Giải bài 3 trang 105 SGK Đại số 10

Giải các bất phương trình sau

a) \(4x^2 - x + 1 < 0\)

b) \(- 3x^2 + x + 4 \geq 0\)

c) \(\frac{1}{x^{2}-4}<\frac{3}{3x^{2}+x-4}\)

d) \(x^2 - x - 6 \leq 0\)

Phương pháp giải:

Sử dụng cách xét dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai để giải bất phương trình.

Hướng dẫn giải:

Câu a: Giải bất phương trình \(4x^2 - x + 1 < 0\)

Xét tam thức \(f\left( x \right){\rm{ }} = 4{x^2} - x + 1\) có: \(\Delta  = {1^2} - 16 =  - 15 < 0\)

Mà \(a{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }} > {\rm{ }}0 \Rightarrow f(x) > 0\) với mọi x.

Suy ra bất phương trình vô nghiệm

Câu b: Giải bất phương trình \(- 3x^2 + x + 4 \geq 0\)

Xét \(f(x) =  - 3{x^2} + x + 4\) có \(a = b + c =  - 3 - 1 + 4 = 0\)

\( \Rightarrow f(x)\) có 2 nghiệm: \(x =  - 1,x = \frac{4}{3}\)

Mà a = -3 < 0, do đó: \(f(x) \ge 0 \Leftrightarrow  - 1 \le x \le \frac{4}{3}\)

Vậy bất phương trình có nghiệm \( - 1 \le x \le \frac{4}{3}\)

Câu d: Giải bất phương trình \(x^2 - x - 6 \leq 0\)

Xét \(f(x) = {x^2} - x - 6\) có hai nghiệm x = 3, x = -2, mà hệ số a = 1

Suy ra: \(f(x) \le 0 \Leftrightarrow  - 2 \le x \le 3\)

Vậy bất phương trình có nghiệm: \( - 2 \le x \le 3\)

Câu c: Giải bất phương trình \(\frac{1}{x^{2}-4}<\frac{3}{3x^{2}+x-4}\)

\(\frac{1}{{{x^2} - 4}} < \frac{3}{{3{x^2} + x - 4}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{3{x^2} + x - 4 - 3({x^2} - 4)}}{{({x^2} - 4)(3{x^2} + x - 4)}} < 0 \Leftrightarrow \frac{{x + 8}}{{({x^2} - 4)(3{x^2} + x - 4)}} < 0\)

Lập bảng xét dấu: \(f(x) = \frac{{x + 8}}{{({x^2} - 4)(3{x^2} + x - 4)}},\) ta có

Nhìn vào bảng xét dấu ta có bất phương trình đã cho có nghiệm

\(x \in \left( { - \infty ; - 8} \right) \cup ( - 2; - \frac{4}{3}) \cup (1;2)\)  

4. Giải bài 4 trang 105 SGK Đại số 10

Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau vô nghiệm

a) \((m - 2)x^2 + 2(2m - 3)x + 5m - 6 = 0\)

b) \((3 - m)x^2 - 2(m + 3)x + m + 2 = 0\)

Phương pháp giải:

+) Xét với từng trường hợp để phương trình đã cho là phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai.

+) Phương trình bậc hai vô nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta '  < 0.\)

Hướng dẫn giải:

Câu a: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \((m - 2)x^2 + 2(2m - 3)x + 5m - 6 = 0\) vô nghiệm

Đặt \(f(x) = (m - 2){x^2} + 2(2m - 3)x + 5m - 6\)

Nếu \(m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2.\) Khi đó phương trình f(x) = 0 trở thành \(2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x =  - 2\) là nghiệm.

Suy ra m = 2 không là giá trị cần tìm.

Nếu \(m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2.\) Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {(2m - 3)^2} - (m - 2)(5m - 6)\\ = 4{m^2} - 12m + 9 - 5{m^2} + 6m + 10m - 12\\ =  - {m^2} + 4m - 3\end{array}\)

Phương trình f(x) = 0 vô nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' < 0\)

\( \Leftrightarrow  - {m^2} + 4m - 3 < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3\\m < 1\end{array} \right.\)

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}m > 3\\m < 1\end{array} \right.\)là giá trị cần tìm.

Câu b: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \((3 - m)x^2 - 2(m + 3)x + m + 2 = 0\) vô nghiệm

Đặt \(f(x) = (3 - m){x^2} - 2(m + 3)x + m + 2\)

Nếu \(3 - m = 0 \Leftrightarrow m = 3,\) khi đó phương trình trở thành \( - 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{6}\) là nghiệm

Suy ra: m =3 không là giá trị cần tìm.

Nếu \(3 - m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 0.\) Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {(m + 3)^2} - (3 - m)(m + 2)\\ = {m^2} + 6m + 9 - 3m - 6 + {m^2} + 2m = 2{m^2} + 5m + 3\end{array}\)

Phương trình f(x) = 0 vô nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' < 0\)

\( \Leftrightarrow 2{m^2} + 5m + 3 < 0 \Leftrightarrow  - \frac{3}{2} < m <  - 1\)

Ngày:03/08/2020 Chia sẻ bởi:

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM