Giải bài tập SGK Toán 10 Chương 2 Bài 2: Phương trình đường tròn
Hướng dẫn Giải bài tập SGK Hình học 10 Bài Phương trình đường tròn sẽ giúp các em học sinh nắm vững phương pháp giải bài tập và ôn luyện tốt kiến thức. Mời các em cùng theo dõi.
Mục lục nội dung
1. Giải bài 1 trang 83 SGK Hình học 10
Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:
a) \({x^2} + {\rm{ }}{y^2} - 2x-2y - 2{\rm{ }} = 0\)
b) \(16{x^2} + {\rm{ }}16{y^2} + {\rm{ }}16x{\rm{ }}-{\rm{ }}8y{\rm{ }}-{\rm{ }}11{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
c) \({x^{2}} + {\rm{ }}{y^{2}} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}6y{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
Phương pháp giải
Cho phương trình đường tròn: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0.\) Khi đó đường tròn có tâm \(I(a;\, b)\) và bán kính: \( {R^2} = {a^2} + {b^2} - c \Rightarrow R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} .\)
- Ráp công thức cụ thể vào công thức tổng quát để tìm a, b, c. Từ đó thay vào để tìm tâm và bán kính.
Hướng dẫn giải
Câu a:
Ta có: \(-2a = -2 \Rightarrow a = 1\)
\(-2b = -2 \Rightarrow b = 1 \Rightarrow I(1; 1)\)
\({R^2} = {a^2} + {b^2} - c \)\(= {1^2} + {1^2} - ( - 2) = 4 \Rightarrow R = \sqrt 4 = 2\)
Câu b:
\(\displaystyle 16{x^2} + {\rm{ }}16{y^2} + {\rm{ }}16x{\rm{ }}-{\rm{ }}8y{\rm{ }}-{\rm{ }}11{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + x - {1 \over 2}y - {{11} \over {16}} = 0\)
\(\displaystyle \eqalign{
& - 2a = 1 \Rightarrow a = - {1 \over 2} \cr
& - 2b = - {1 \over 2} \Rightarrow b = {1 \over 4} \cr
& \Rightarrow I\left( { - {1 \over 2};{1 \over 4}} \right) \cr} \)
\(\displaystyle {R^2} = {a^2} + {b^2} - c \)\(\displaystyle = {\left( { - {1 \over 2}} \right)^2} + {\left( {{1 \over 4}} \right)^2} - \left( { - {{11} \over {16}}} \right) = 1\)\(\displaystyle \Rightarrow R = \sqrt 1 = 1\)
Câu c:
\(\eqalign{ & - 2a = - 4 \Rightarrow a = 2 \cr & - 2b = 6 \Rightarrow b = - 3 \cr & \Rightarrow I\left( {2; - 3} \right) \cr} \) \({R^2} = {a^2} + {b^2} - c \)\(= {2^2} + {\left( { - 3} \right)^2} - \left( { - 3} \right) = 16 \) \(\Rightarrow R = \sqrt {16} = 4\)
2. Giải bài 2 trang 83 SGK Hình học 10
Lập phương trình đường tròn \((C)\) trong các trường hợp sau:
a) \((C)\) có tâm \(I(-2; 3)\) và đi qua \(M(2; -3)\);
b) \((C)\) có tâm \(I(-1; 2)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d : x – 2y + 7 = 0\)
c) \((C)\) có đường kính \(AB\) với \(A(1; 1)\) và \(B(7; 5).\)
Phương pháp giải
Câu a:
Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(a; \, b)\) và đi qua điểm \(M\) thì có bán kính là \(R=IM\) và có phương trình: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2} = I{M^2}.\)
Câu b:
Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(a; \, b)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d\) thì \(R = d\left( {I;\;d} \right).\)
Câu c:
Đường tròn \((C)\) có đường kính \(AB\) thì có tâm \(I\) là trung điểm của \(AB\) và bán kính: \(R = \dfrac{{AB}}{2}.\)
Hướng dẫn giải
(C) có tâm \(I\) và đi qua \(M\) nên bán kính \(R = IM\).
Câu a:
\(IM = \sqrt {{{\left( {2 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - 3} \right)}^2}} \) \( = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = \sqrt {52} \)
\(\Rightarrow {R^{2}} = IM^2 = 52\)
Phương trình đường tròn \((C)\):
\({\left( {x{\rm{ }} + 2} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} = 52\)
Câu b:
Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng \(d\)
\( \Rightarrow \) \(d(I; d) = R\)
Ta có: \( R = d(I, d) = \dfrac{|-1-2.2+7|}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}\) = \(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)
Phương trình đường tròn cần tìm là:
\({\left( {x{\rm{ }} + 1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}= \left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right )^{2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x{\rm{ }} + 1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2} = \dfrac{4}{5}\)
Câu c:
Tâm \(I\) là trung điểm của \(AB\), có tọa độ :
\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = \dfrac{{1 + 7}}{2} = 4\\
{y_I} = \dfrac{{1 + 5}}{2} = 3
\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {4;3} \right)\)
\(AB = \sqrt {{{\left( {7 - 1} \right)}^2} + {{\left( {5 - 1} \right)}^2}} \) \( = \sqrt {{6^2} + {4^2}} = 2\sqrt {13} \)
Suy ra \( R = \dfrac{{AB}}{2}= \sqrt {13}\)
Phương trình đường tròn cần tìm là:
\({\left( {x{\rm{ }} - 4{\rm{ }}} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} = 13\)
3. Giải bài 3 trang 84 SGK Hình học 10
Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm:
a) \(A(1; 2); B(5; 2); C(1; -3)\)
b) \(M(-2; 4); N(5; 5); P(6; -2)\)
Phương pháp giải
Câu a:
Gọi phương trình đường tròn có dạng: \(x^2+y^2-2 ax – 2by +c = 0\)
Khi đó thay tọa độ 3 điểm đề bài cho vào phương trình đường tròn ta được hệ phương trình 3 ẩn. Giải hệ phương trình này ta tìm được \(a, \, \, b, \, \, c\) hay tìm được phương trình đường tròn cần lập.
Hướng dẫn giải
Gọi phương trình đường tròn có dạng: \((C):x^2+y^2-2 ax – 2by +c = 0\)
\(A(1; 2)\in (C)\) nên:
\(1^2+ 2^2– 2a -4b + c = 0\)\(\Leftrightarrow 2a + 4b – c = 5\)
\(B(5; 2)\in (C)\) nên:
\(5^2+ 2^2– 10a -4b + c = 0 \)\(\Leftrightarrow 10a + 4b – c = 29\)
\(C(1; -3)\in (C)\) nên:
\(1^2+ (-3)^2 – 2a + 6b + c = 0 \)\(\Leftrightarrow 2a - 6b – c = 10\)
Ta có hệ: \(\left\{\begin{matrix} 2a + 4b- c = 5 (1) & & \\ 10a +4b - c= 29 (2) & & \\ 2a- 6b -c =10 (3) & & \end{matrix}\right.\)
Giải hệ ta được: \(\left\{ \matrix{
a = 3 \hfill \cr
b = - 0,5 \hfill \cr
c = - 1 \hfill \cr} \right.\)
Phương trình đường tròn cần tìm là: \({{x^2} + {\rm{ }}{y^2} - {\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0} \)
Câu b:
\(M(-2; 4)\in (C)\) nên:
\((-2)^2+ 4^2+4a -8b + c = 0 \)\( \Leftrightarrow 4a - 8b + c = -20\)
\(N(5; 5)\in (C)\) nên:
\(5^2+ 5^2– 10a -10b + c = 0\)\( \Leftrightarrow 10a +10b – c = 50\)
\(P(6; -2)\in (C)\) nên:
\(6^2+ (-2)^2 – 12a + 4b + c = 0 \)\(\Leftrightarrow 12a - 4b – c = 40\)
Ta có hệ phương trình:
$$\left\{ \matrix{
4a - 8b + c = - 20 \hfill \cr
10a + 10b - c = 50 \hfill \cr
12a - 4b - c = 40 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = 2 \hfill \cr
b = 1 \hfill \cr
c = - 20 \hfill \cr} \right.$$
Phương trình đường tròn đi qua ba điểm \(M(-2; 4); N(5; 5); P(6; -2)\) là:
\(x^2+ y^2- 4x – 2y - 20 = 0\)
4. Giải bài 4 trang 84 SGK Hình học 10
Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ \(Ox, Oy\) và đi qua điểm \(M(2 ; 1).\)
Phương pháp giải
Đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm \(I\) của nó phải cách đều hai trục tọa độ.
Đường tròn này lại đi qua điểm \(M(2 ; 1)\), mà điểm \(M\) này lại là góc phần tư thứ nhất nên tọa độ của tâm \(I\) phải là số dương: \(x_I=y_I>0.\)
Hướng dẫn giải
Gọi đường tròn cần tìm là (C) có tâm \(I(a ; b)\) và bán kính bằng \(R\).
\((C)\) tiếp xúc với \(Ox ⇒ R = d(I ; Ox) = |b|\)
\((C)\) tiếp xúc với Oy ⇒ R = d(I ; Oy) = |a|\)
\(⇒ |a| = |b|\)
\(⇒ a = b\) hoặc \(a = –b.\)
Mà (C) đi qua \(M(2;1)\) thuộc góc phần tư thứ nhất nên đường tròn nằm hoàn toàn ở góc phần tư thứ nhất hay \(a=b>0\)
Do đó \(R = \left| a \right| = \left| b \right| = a\), phương trình đường tròn cần tìm có dạng:
\({\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}a} \right)^2} + {\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}a} \right)^2} = {a^2}{\rm{ }}\)
\(M(2; \, 1)\) thuộc đường tròn nên ta có:
\({\left( {2{\rm{ }} - {\rm{ }}a} \right)^2} + {\left( {1{\rm{ }}-{\rm{ }}a} \right)^2} = {a^2}{\rm{ }}\)
\({a^2} - 6a + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = 1 \hfill \cr
a = 5 \hfill \cr} \right.(TM)\)
Từ đây ta được hai đường tròn thỏa mãn điều kiện
- Với \(a = 1\) \( \Rightarrow {\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }}} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2}{\rm{ }} = {\rm{ }}1 \, \, ({C_1})\)
- Với \(a = 5\) \(\Rightarrow {\left( {x - 5{\rm{ }}} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y - 5} \right)^2}{\rm{ }} = {\rm{ 25}} \, \, ({C_2})\)
5. Giải bài 5 trang 84 SGK Hình học 10
Lập phương trình của đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng \(d : 4x – 2y – 8 = 0.\)
Phương pháp giải
- Gọi tọa độ tâm \(I\) của đường tròn dựa vào đường thẳng \(d.\)
- Đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ nên: \(R = d\left( {I;\;Ox} \right) = d\left( {I;\;Oy} \right) \)\(\Leftrightarrow R = \left| {{x_I}} \right| = \left| {{y_I}} \right|.\)
Hướng dẫn giải
Gọi đường tròn cần tìm là (C) có tâm \(I(a ; b)\) và bán kính bằng \(R\).
\((C)\) tiếp xúc với \(Ox ⇒ R = d(I ; Ox) = |b|\)
\((C)\) tiếp xúc với \(Oy ⇒ R = d(I ; Oy) = |a|\)
\(⇒ |a| = |b|\)
\(⇒ a = b\) hoặc \(a = –b.\)
TH1: \(I(a; \, a)\):
\(I\in d \Leftrightarrow 4a – 2a – 8 = 0 \Rightarrow a = 4\)
Đường tròn cần tìm có tâm \(I(4; 4)\) và bán kính \(R = 4\) có phương trình là:
\({(x - 4)^2} + {(y - 4)^2} = {4^2} \)\(\Leftrightarrow {(x - 4)^2} + {(y - 4)^2} = 16\)
TH2: \(I(a; -a)\)
\(I\in d \Leftrightarrow 4a + 2a - 8 = 0 \Rightarrow a = \dfrac{4}{3}\)
Ta được đường tròn có phương trình là:
\((x -\dfrac{4}{3})^{2}+ (y +\dfrac{4}{3})^{2}= (\dfrac{4}{3})^{2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {x - {4 \over 3}} \right)^2} + {\left( {y + {4 \over 3}} \right)^2} = {{16} \over 9}\)
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn đề bài.
6. Giải bài 6 trang 84 SGK Hình học 10
Cho đường tròn \((C)\) có phương trình:
\({x^2} + {\rm{ }}{y^2} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} - {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của \((C).\)
b) Viết phương trình tiếp tuyến với \((C)\) đi qua điểm \(A(-1; 0).\)
c) Viết phương trình tiếp tuyến với \((C)\) vuông góc với đường thẳng \(3x – 4y + 5 = 0.\)
Phương pháp giải
Câu a:
Đường tròn \((C): \, {x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) có tâm \(I(a; \, b)\) và bán kính \(R=\sqrt{a^2+b^2-c}.\)
Câu b:
Xét xem điểm A có thuộc đường tròn (C) hay không.
Nếu A thuộc (C) thì tiếp tuyến tại A của (C) nhận \(\overrightarrow {IA} \) làm VTPT.
Từ đó lập phương trình đường thẳng đi qua A và nhận \(\overrightarrow {IA} \) làm VTVPT.
Câu c:
Gọi phương trình tiếp tuyến cần lập có dạng: \(d: \, 4x+3y+c=0.\)
Khi đó ta có: \(R = d\left( {I;\;d} \right).\)
Từ đó ta tìm được ẩn \(c\) hay lập được phương trình đề bài yêu cầu.
Hướng dẫn giải
Câu a:
Ta có: \(a = 2,b = - 4,c = - 5\)
Đường tròn có tâm \(I(2;-4)\), bán kính \(R = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} - \left( { - 5} \right)} = 5\)
\({x^2} + {\rm{ }}{y^2} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} - {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 2.x.2 + {2^2} + {y^2} + 2.y.4 + {4^2}\)\( = 25 \)
\(\Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = {5^2}\)
Tâm \(I(2 ; -4)\), bán kính \(R = 5\)
Câu b:
Thay tọa độ \(A(-1 ; 0)\) vào vế trái, ta có :
\((-1- 2 )^2 + (0 + 4)^2 = 3^2+4^2= 25\)
Vậy \(A(-1 ;0)\) là điểm thuộc đường tròn.
Tiếp tuyến với (C) tại \(A\) nhận \(\overrightarrow {IA} ( - 3;4)\) làm VTPT.
Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại \(A\) là:
\(-3(x +1) +4(y -0) =0 \)\( \Leftrightarrow 3x - 4y + 3 = 0\)
Câu c:
Đường thẳng \(3x – 4y + 5 = 0\) có VTPT \(\overrightarrow n(3;-4)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} = \left( {4;3} \right)\) là VTCP của d.
Tiếp tuyến \(d'\) vuông góc với đường thẳng \(3x – 4y + 5 = 0\) nên VTPT \(\overrightarrow {n'}=\overrightarrow {{u_d}}=(4;3)\)
Phương trình \(d'\) có dạng là: \(4x+3y+c=0\)
\(d'\) tiếp xúc \((C)\)
\(\Leftrightarrow d(I,d')=R\) \(\displaystyle \Leftrightarrow {{|4.2 + 3.( - 4) + c|} \over {\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 5 \) \(\Leftrightarrow |c - 4| = 25\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
c - 4 = 25 \hfill \cr
c - 4 = - 25 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
c = 29 \hfill \cr
c = - 21 \hfill \cr} \right.\)
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
\(4x+3y+29=0\) và \(4x+3y-21=0\).
