Giải bài tập SGK Toán 10 Chương 2 Bài 2: Phương trình đường tròn

1. Giải bài 1 trang 83 SGK Hình học 10

Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:

a) ${x^2} + {\rm{ }}{y^2} - 2x-2y - 2{\rm{ }} = 0$

b) $16{x^2} + {\rm{ }}16{y^2} + {\rm{ }}16x{\rm{ }}-{\rm{ }}8y{\rm{ }}-{\rm{ }}11{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

c) ${x^{2}} + {\rm{ }}{y^{2}} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}6y{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.$

Phương pháp giải

Cho phương trình đường tròn: ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0.$ Khi đó đường tròn có tâm $I(a;\, b)$ và bán kính: ${R^2} = {a^2} + {b^2} - c \Rightarrow R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} .$

- Ráp công thức cụ thể vào công thức tổng quát để tìm a, b, c. Từ đó thay vào để tìm tâm và bán kính.

Hướng dẫn giải

Câu a:

Ta có: $-2a = -2 \Rightarrow a = 1$

           $-2b = -2 \Rightarrow b = 1  \Rightarrow I(1; 1)$

${R^2} = {a^2} + {b^2} - c$$= {1^2} + {1^2} - ( - 2) = 4 \Rightarrow R = \sqrt 4  = 2$

Câu b:

$\displaystyle 16{x^2} + {\rm{ }}16{y^2} + {\rm{ }}16x{\rm{ }}-{\rm{ }}8y{\rm{ }}-{\rm{ }}11{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

$\displaystyle \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + x - {1 \over 2}y - {{11} \over {16}} = 0$

$\displaystyle \eqalign{ & - 2a = 1 \Rightarrow a = - {1 \over 2} \cr  & - 2b = - {1 \over 2} \Rightarrow b = {1 \over 4} \cr  & \Rightarrow I\left( { - {1 \over 2};{1 \over 4}} \right) \cr}$

$\displaystyle {R^2} = {a^2} + {b^2} - c$$\displaystyle = {\left( { - {1 \over 2}} \right)^2} + {\left( {{1 \over 4}} \right)^2} - \left( { - {{11} \over {16}}} \right) = 1$$\displaystyle \Rightarrow R = \sqrt 1  = 1$

Câu c:

$\eqalign{ & - 2a = - 4 \Rightarrow a = 2 \cr & - 2b = 6 \Rightarrow b = - 3 \cr & \Rightarrow I\left( {2; - 3} \right) \cr}$ ${R^2} = {a^2} + {b^2} - c$$= {2^2} + {\left( { - 3} \right)^2} - \left( { - 3} \right) = 16$ $\Rightarrow R = \sqrt {16} = 4$

2. Giải bài 2 trang 83 SGK  Hình học 10

Lập phương trình đường tròn $(C)$ trong các trường hợp sau:

a) $(C)$ có tâm $I(-2; 3)$ và đi qua $M(2; -3)$;

b) $(C)$ có tâm $I(-1; 2)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d : x – 2y + 7 = 0$

c) $(C)$ có đường kính $AB$ với $A(1; 1)$ và $B(7; 5).$

Phương pháp giải

Câu a:

Đường tròn $(C)$ có tâm $I(a; \, b)$ và đi qua điểm $M$ thì có bán kính là $R=IM$ và có phương trình: ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2} = I{M^2}.$

Câu b:

Đường tròn $(C)$ có tâm $I(a; \, b)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d$ thì $R = d\left( {I;\;d} \right).$

Câu c:

Đường tròn $(C)$ có đường kính $AB$ thì có tâm $I$ là trung điểm của $AB$ và bán kính: $R = \dfrac{{AB}}{2}.$

Hướng dẫn giải

(C) có tâm $I$ và đi qua $M$ nên bán kính $R = IM$.

Câu a:

$IM = \sqrt {{{\left( {2 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - 3} \right)}^2}}$ $= \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = \sqrt {52}$

$\Rightarrow {R^{2}} = IM^2 = 52$

Phương trình đường tròn $(C)$:

${\left( {x{\rm{ }} + 2} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} = 52$

Câu b:

Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng $d$

$\Rightarrow$ $d(I; d) = R$

Ta có: $R = d(I, d) = \dfrac{|-1-2.2+7|}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}$ = $\dfrac{2}{\sqrt{5}}$ 

Phương trình đường tròn cần tìm là:

${\left( {x{\rm{ }} + 1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}= \left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right )^{2}$  

$\Leftrightarrow {\left( {x{\rm{ }} + 1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2} = \dfrac{4}{5}$

Câu c:

Tâm $I$ là trung điểm của $AB$, có tọa độ :

$\left\{ \begin{array}{l} {x_I} = \dfrac{{1 + 7}}{2} = 4\\ {y_I} = \dfrac{{1 + 5}}{2} = 3 \end{array} \right. \Rightarrow I\left( {4;3} \right)$

$AB = \sqrt {{{\left( {7 - 1} \right)}^2} + {{\left( {5 - 1} \right)}^2}}$ $= \sqrt {{6^2} + {4^2}} = 2\sqrt {13}$

Suy ra $R  = \dfrac{{AB}}{2}= \sqrt {13}$   

Phương trình đường tròn cần tìm là:

${\left( {x{\rm{ }} - 4{\rm{ }}} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} = 13$

3. Giải bài 3 trang 84 SGK Hình học 10

Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm:

a) $A(1; 2); B(5; 2); C(1; -3)$

b) $M(-2; 4); N(5; 5); P(6; -2)$

Phương pháp giải

Câu a:

Gọi phương trình đường tròn có dạng:  $x^2+y^2-2 ax – 2by +c = 0$ 

Khi đó thay tọa độ 3 điểm đề bài cho vào phương trình đường tròn ta được hệ phương trình 3 ẩn. Giải hệ phương trình này ta tìm được $a, \, \, b, \, \, c$ hay tìm được phương trình đường tròn cần lập.

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình đường tròn có dạng: $(C):x^2+y^2-2 ax – 2by +c = 0$

$A(1; 2)\in (C)$ nên:

$1^2+ 2^2– 2a -4b + c = 0$$\Leftrightarrow   2a + 4b – c = 5$

$B(5; 2)\in (C)$ nên:

$5^2+ 2^2– 10a -4b + c = 0$$\Leftrightarrow    10a + 4b – c = 29$

$C(1; -3)\in (C)$ nên:

$1^2+ (-3)^2 – 2a + 6b + c = 0$$\Leftrightarrow     2a - 6b – c = 10$

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix} 2a + 4b- c = 5 (1) & & \\ 10a +4b - c= 29 (2) & & \\ 2a- 6b -c =10 (3) & & \end{matrix}\right.$

Giải hệ ta được:  $\left\{ \matrix{ a = 3 \hfill \cr  b = - 0,5 \hfill \cr  c = - 1 \hfill \cr} \right.$

Phương trình đường tròn cần tìm là: ${{x^2} + {\rm{ }}{y^2} - {\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0}$

Câu b:

$M(-2; 4)\in (C)$ nên:

$(-2)^2+ 4^2+4a -8b + c = 0$$\Leftrightarrow   4a - 8b + c = -20$

$N(5; 5)\in (C)$ nên:

$5^2+ 5^2– 10a -10b + c = 0$$\Leftrightarrow    10a +10b – c = 50$

$P(6; -2)\in (C)$ nên:

$6^2+ (-2)^2 – 12a + 4b + c = 0$$\Leftrightarrow     12a - 4b – c = 40$

Ta có hệ phương trình: 

$$\left\{ \matrix{ 4a - 8b + c = - 20 \hfill \cr  10a + 10b - c = 50 \hfill \cr  12a - 4b - c = 40 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = 2 \hfill \cr  b = 1 \hfill \cr  c = - 20 \hfill \cr} \right.$$

Phương trình đường tròn đi qua ba điểm $M(-2; 4); N(5; 5); P(6; -2)$ là:

$x^2+ y^2- 4x – 2y - 20 = 0$ 

4. Giải bài 4 trang 84 SGK Hình học 10

Phương pháp giải

5. Giải bài 5 trang 84 SGK Hình học 10

Phương pháp giải

6. Giải bài 6 trang 84 SGK Hình học 10

Cho đường tròn $(C)$ có phương trình:

 ${x^2} + {\rm{ }}{y^2} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} - {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của $(C).$

b) Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$ đi qua điểm $A(-1; 0).$

c) Viết phương trình tiếp tuyến với $(C)$ vuông góc với đường thẳng $3x – 4y + 5 = 0.$

Phương pháp giải

Câu a:

Đường tròn $(C): \, {x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ có tâm $I(a; \, b)$ và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}.$

Câu b:

Xét xem điểm A có thuộc đường tròn (C) hay không.

Nếu A thuộc (C) thì tiếp tuyến tại A của (C) nhận $\overrightarrow {IA}$ làm VTPT.

Từ đó lập phương trình đường thẳng đi qua A và nhận $\overrightarrow {IA}$ làm VTVPT.

Câu c:

Gọi phương trình tiếp tuyến cần lập có dạng: $d: \, 4x+3y+c=0.$

Khi đó ta có: $R = d\left( {I;\;d} \right).$

Từ đó ta tìm được ẩn $c$ hay lập được phương trình đề bài yêu cầu.

Hướng dẫn giải

Câu a:

Ta có: $a = 2,b =  - 4,c =  - 5$

Đường tròn có tâm $I(2;-4)$, bán kính $R = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} - \left( { - 5} \right)}  = 5$

${x^2} + {\rm{ }}{y^2} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} - {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

$\Leftrightarrow {x^2} - 2.x.2 + {2^2} + {y^2} + 2.y.4 + {4^2}$$= 25$

$\Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = {5^2}$

 Tâm $I(2 ; -4)$, bán kính $R = 5$

Câu b:

Thay tọa độ $A(-1 ; 0)$ vào vế trái, ta có :

$(-1- 2 )^2 + (0 + 4)^2 = 3^2+4^2= 25$

Vậy $A(-1 ;0)$ là điểm thuộc đường tròn.

Tiếp tuyến với (C) tại $A$ nhận $\overrightarrow {IA} ( - 3;4)$ làm VTPT.

Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại $A$ là:

$-3(x +1) +4(y -0) =0$$\Leftrightarrow   3x - 4y + 3 = 0$

Câu c:

Đường thẳng $3x – 4y + 5 = 0$ có VTPT $\overrightarrow n(3;-4)$$\Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \left( {4;3} \right)$ là VTCP của d.

Tiếp tuyến $d'$ vuông góc với đường thẳng $3x – 4y + 5 = 0$ nên VTPT $\overrightarrow {n'}=\overrightarrow {{u_d}}=(4;3)$ 

Phương trình $d'$ có dạng là: $4x+3y+c=0$

$d'$ tiếp xúc $(C)$

$\Leftrightarrow d(I,d')=R$ $\displaystyle  \Leftrightarrow {{|4.2 + 3.( - 4) + c|} \over {\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 5$ $\Leftrightarrow |c - 4| = 25$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ c - 4 = 25 \hfill \cr  c - 4 = - 25 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ c = 29 \hfill \cr  c = - 21 \hfill \cr} \right.$

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

$4x+3y+29=0$ và $4x+3y-21=0$.