Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 3: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Cho hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} 7x - 5 y = 9 & \\ 14x - 10y = 10& \end{matrix}\right.\). Tại sao không cần giải ta cũng kết luận được hệ phương trình này vô nghiệm?

Phương pháp giải:

Nhân cả hai vế của phương trình đầu với \(2\) rồi nhận xét.

Hướng dẫn giải:

Do \(\frac{7}{{14}} = \frac{{ - 5}}{{ - 10}} \ne \frac{9}{{10}} \Rightarrow \) hệ phương trình vô nghiệm

Giải các hệ phương trình

a) \(\left\{\begin{matrix} 2x - 3y = 1 & \\ x + 2y = 3& \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} 3x + 4y = 5 & \\ 4x - 2y = 2& \end{matrix}\right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{3}x + \frac{1}{2}y = \frac{2}{3}\\\frac{1}{3}x - \frac{3}{4}y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

d) \(\left\{ \begin{array}{l}0,3x - 0,2y = 0,5\\0,5x + 0,4y = 1,2\end{array} \right.\)

Phương pháp giải:

Ta có thể giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, hoặc phương pháp cộng đại số.

Hướng dẫn giải:

Câu a: Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} 2x - 3y = 1 & \\ x + 2y = 3& \end{matrix}\right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\x + 2y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\,\,\,(1)\\x = 3 - 2y\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Thế (2) vào (1) suy ra:

\(2(3 - 2y) - 3y = 1 \Leftrightarrow  - 7y =  - 5 \Leftrightarrow y = \frac{5}{7}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{11}}{7}\\y = \frac{5}{7}\end{array} \right.\)

Câu b: Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} 3x + 4y = 5 & \\ 4x - 2y = 2& \end{matrix}\right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 5\\4x - 2y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 5\\8x - 4y = 4\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11x = 9\\y = \frac{{5 - 3x}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{9}{{11}}\\y = \frac{7}{{11}}\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{9}{{11}}\\y = \frac{7}{{11}}\end{array} \right.\)

Câu c: Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{3}x + \frac{1}{2}y = \frac{2}{3}\\\frac{1}{3}x - \frac{3}{4}y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{3}x + \frac{1}{2}y = \frac{2}{3}\\\frac{1}{3}x - \frac{3}{4}y = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 3y = 4\\4x - 9y = 6\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12y =  - 2\\x = \frac{{4 - 3y}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - \frac{1}{6}\\x = \frac{9}{8}\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{9}{8}\\y =  - \frac{1}{6}\end{array} \right.\)

Câu d: Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0,3x - 0,2y = 0,5\\0,5x + 0,4y = 1,2\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}0,3x - 0,2y = 0,5\\0,5x + 0,4y = 1,2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 5\\5x + 4y = 12\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x - 4y = 10\\5x + 4y = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11x = 22\\y = \frac{{12 - 5x}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Hai bạn Vân và Lan đến cửa hàng mua trái cây. Bạn Vân mua 10 quả quýt, 7 quả cam với giá tiền là 17 800 đồng. Bạn Lan mua 12 quả quýt, 6 quả cam hết 18 000 đồng. Hỏi giá tiền mỗi quả quýt và mỗi quả cam là bao nhiêu?

Phương pháp giải:

- Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

- Lập phương trình dựa vào các điều kiện đề bài.

- Giải hệ, kiểm tra điều kiện và kết luận.

Hướng dẫn giải:

Gọi x (đồng) là giá tiền một quả quýt và y (đồng) là giá tiền một quả cam. Điều kiện 
x > 0, y > 0 ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{10x + 7y = 17800\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} (1)}\\
{12x + 6y = 18000\;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} \;{\mkern 1mu} (2)}
\end{array}} \right.\)

Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}

{10x + 7y = 17800}\\
{2x + y = 3000}
\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 800}\\
{y = 1400}
\end{array}} \right.\)

Vậy giá tiền một quả quýt: 800 đồng, một quả cam 1400 đồng

Trong một xí nghiệp may có hai dây chuyền may áo sơ mi. Ngày thứ nhất cả hai dây chuyền may được 930 áo. Ngày thứ hai do dây chuyền thứ nhất tăng năng suất 18%, dây chuyền thứ hai tăng năng suất 15% nên cả hai dây chuyền may được 1083 áo. Hỏi trong ngày thứ nhất mỗi dây chuyền may được bao nhiêu áo sơ mi?

Phương pháp giải:

- Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

- Lập các phương trình dựa vào điều kiện bài cho theo ẩn đã gọi.

- Giải hệ phương trình và kết luận nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Gọi số áo ở tháng thứ nhất của hai dây chuyền một và hai may được lần lượt là x, y (x > o, y > 0)

Theo bài ra: x + y = 930 (1)

Do tháng thứ hai tăng năng suất, dây chuyền một tăng 18%, dây chuyền hai tăng 15% nên đã may được 1083 áo, vậy:

\(\frac{{118}}{{100}}x + \frac{{115}}{{100}}y = 1083\,\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 930 &  (1)\\
\frac{{118}}{{100}}x + \frac{{115}}{{100}}y = 1083 & (2)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 930 - y\\
118x + 115y = 108300
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 930 - y\\
118(930 - y) + 115y = 108300
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 450\\
y = 480
\end{array} \right.\)

Vậy: Tháng thứ nhất dây chuyền một may được 450 áo

Tháng thứ nhất dây chuyền hai may được 480 áo

Giải các hệ phương trình

a) \(\left\{\begin{matrix} x + 3y + 2z =8 & \\ 2x + 2y + z =6& \\ 3x +y+z=6& \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} x - 3y + 2z =-7 & \\ -2x + 4y + 3z =8& \\ 3x +y-z=5& \end{matrix}\right.\)

Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc đưa về dạng tam giác để giải.

Hướng dẫn giải:

Câu a: Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x + 3y + 2z =8 & \\ 2x + 2y + z =6& \\ 3x +y+z=6& \end{matrix}\right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 2z = 8 & (1)\\2x + 2y + z = 6 & (2)\\3x + y + z = 6 &  & (3)\end{array} \right.\)

Lấy (3) trừ (2) vế cho vế ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y + 2z = 8\\2x + 2y + z = 6\\x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\4x + 2z = 8\\4x + z = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\z = 2\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy hệ có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}x = y\\z = 2\\x = 1\end{array} \right.\)

Câu b: Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x - 3y + 2z =-7 & \\ -2x + 4y + 3z =8& \\ 3x +y-z=5& \end{matrix}\right.\)

 \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3xy + 2z =  - 7\\ - 2x + 4y + 3z = 8\\3x + y - z = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 6y + 4z =  - 14 &  & (1)\\ - 2x + 4y + 3z = 8 &  & (2)\\3x + y - z = 5 &  &  & (3)\end{array} \right.\)

Lấy (1) cộng (2) vế cho vế ta được:

\[\left\{ \begin{array}{l} - 2y + 7z =  - 6 & (4)\\ - 2x + 4y + 3z = 8 & (2)\\3x + y - z = 5 &  & (3)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2y + 7z =  - 6\\ - 6x + 12y + 9z = 24\\6x + 2y - 2z = 10\end{array} \right.\]

\(\left\{ \begin{array}{l} - 2y - 7z =  - 6\\14y + 7z = 34\\3x + y - z = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}16y = 40\\ - 2y + 7z =  - 6\\3x + y - z = 5\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{5}{2}\\z = \frac{{2y - 6}}{7}\\x = \frac{{5 - y + z}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{5}{2}\\z =  - \frac{1}{7}\\x = \frac{{11}}{{14}}\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{5}{2}\\z =  - \frac{1}{7}\\x = \frac{{11}}{{14}}\end{array} \right.\)

Một cửa hàng bán áo sơ mi, quần âu nam và váy nữ. Ngày thứ nhất bán được 12 áo, 21 quần và 18 váy, doanh thu là 5349000 đồng. Ngày thứ hai bán được 16 áo, 24 quần và 12 váy, doanh thu là 5600 000 đồng. Ngày thứ ba bán được 24 áo, 15 quần và 12 váy, doanh thu là 5 259000 đồng. Hỏi giá bán mỗi áo, mỗi quần và mỗi váy là bao nhiêu?

Phương pháp giải:

- Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

- Lập các phương trình dựa vào điều kiện đề bài theo ẩn đã gọi.

- Giải hệ phương trình và kết luận nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Gọi x, y, z lần lượt là giá tiền mỗi áo, mỗi quần và mỗi váy (0 < x, y, z < 5259000; x, y, z tính bằng đồng)

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

 \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{12x + 21y + 18z = 5349000}\\
{16x + 24y + 12z = 5600000}\\
{24x + 15y + 12z = 5259000}
\end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4x + 7y + 6z = 1783000\\
4x + 6y + 3z = 1400000\\
8x + 5y + 4z = 1753000
\end{array} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 98000}\\
{y = 125000}\\
{z = 86000}
\end{array}} \right.\)

Giải các hệ phương trình sau bằng máy tính bỏ túi (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)

a) \(\left\{\begin{matrix} 3x - 5y = 6 & \\ 4x + 7y =-8& \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} -2x +3y = 5 & \\ 5x +2y = 4& \end{matrix}\right.\)

c) \(\left\{\begin{matrix} 2x - 3y +4z=-5 & \\ -4x +5y-z=6& \\ 3x+4y-3z=7& \end{matrix}\right.\)

d) \(\left\{\begin{matrix} -x+2y-3z=2 & \\ 2x +y+2z=-3& \\ -2x-3y+z=5& \end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải:

Câu a: Giải hệ phương trình sau bằng máy tính bỏ túi \(\left\{\begin{matrix} 3x - 5y = 6 & \\ 4x + 7y =-8& \end{matrix}\right.\)

Nếu sử dụng máy tính CASIO fx-500 MS ta ấn liên tiếp các phím 

thấy hiện ra màn hình x = 0.048780487.

Ấn tiếp phím =  ta thấy màn hình hiện ra y = -1.170731707.

Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai ta được nghiệm gần đúng của hệ phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}
x \approx 0,05\\
y \approx  - 1,17
\end{array} \right.\)

Câu b: Giải hệ phương trình sau bằng máy tính bỏ túi \(\left\{\begin{matrix} -2x +3y = 5 & \\ 5x +2y = 4& \end{matrix}\right.\)

Ấn 

Kết quả x = 0.105263157. Ấn tiếp  = kết quả y = -1.736842105

Câu c: Giải hệ phương trình sau bằng máy tính bỏ túi \(\left\{\begin{matrix} 2x - 3y +4z=-5 & \\ -4x +5y-z=6& \\ 3x+4y-3z=7& \end{matrix}\right.\)

Ấn 

thấy hiện ra trên màn hình x=0.217821782.

Ấn tiếp phím =  ta thấy màn hình hiện ra y = 1.297029703

Ấn tiếp phím =  trên màn hình hiện ra z = -0.386138613

Vậy nghiệm gần đúng của hệ phương trình là (làm tròn kết quả đế chữ số thaaph phân thứ hai)

\(\left\{ \begin{array}{l}x \approx 0,22\\y \approx 1,30\\z \approx  - 0,39\end{array} \right.\)

Câu d: Giải hệ phương trình sau bằng máy tính bỏ túi \(\left\{\begin{matrix} -x+2y-3z=2 & \\ 2x +y+2z=-3& \\ -2x-3y+z=5& \end{matrix}\right.\)

Thực hiện tương tự câu c)

Kết quả: x = -1.870967742

y = -0.35483709

z = 0.193548387