Giải bài tập SGK Toán 10 Chương 2 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0 độ đến 180 độ

Cho $AOB$ là tam giác cân tại $O$ có $OA = a$ và có các đường cao $OH$ và $AK.$ Giả sử $\widehat {AOH} = \alpha.$ Tính $AK$ và $OK$ theo $a$ và $α.$

Hướng dẫn giải

Do tam giác $OAB$ cân tại $O$ nên ta có $\widehat {AOB} = 2\widehat {AOH}=2\alpha < 90^0$

Tam giác $OKA$ vuông tại $K$ nên ta có:

$\sin \widehat {AOK} = \frac{{AK}}{{OA}}$

$\Rightarrow AK = OA.\sin \widehat {AOK}$$\Rightarrow AK = a.\sin 2\alpha.$

$\cos \widehat {AOK} = \frac{{OK}}{{OA}}$

$\Rightarrow OK = OA.cos\widehat {AOK}$$\Rightarrow OK = a.\cos 2\alpha .$

Chứng minh rằng với mọi góc $α \, (0^0≤ α ≤ 180^0)$ ta đều có $\sin ^2\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1.$

Vẽ nửa đường tròn lượng giác (O; 1).

Với mọi α (0º ≤ α ≤ 180º) ta đều có điểm M(x0; y0) thuộc nửa đường tròn sao cho $\widehat {xOM} = \alpha$

Khi đó ta có: sin α = y0 ; cos α = x0.

Mà M thuộc đường tròn lượng giác nên OM=1.

Ta có:

$\begin{array}{l} {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = y_0^2 + x_0^2\\ = O{E^2} + O{F^2} = M{F^2} + O{F^2}\\ = O{M^2} = {1^2} = 1\\ \Rightarrow {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \end{array}$

Cho góc $x$, với $\cos x = \frac{1}{3}.$ Tính giá trị của biểu thức: $P = 3\sin^2x  +\cos^2x.$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\sin^2x + {\cos ^2}x = 1$ $\Rightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x.$   

Do đó $P = 3{\sin ^2}x + {\cos ^2}x$$= 3(1 - {\cos ^2}x) + {\cos ^2}x$

$= 3 - 3{\cos ^2}x + {\cos ^2}x$

$= 3 - 2{\cos ^2}x$

$= 3 - 2.{\left( {{1 \over 3}} \right)^2} = {{25} \over 9}.$

Cách trình bày khác:

$\begin{array}{l} {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\\ \Rightarrow {\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x\\ = 1 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{8}{9}\\ \Rightarrow P = 3{\sin ^2}x + {\cos ^2}x\\ = 3.\frac{8}{9} + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2}\\ = \frac{{25}}{9} \end{array}$

Cho hình vuông $ABCD$. Tính: $\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BA} } \right), \, \sin\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right),$$\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right).$

Hướng dẫn giải

+) Dựng $\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {BA}$ ta có :

$\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AE} } \right) = \widehat {CAE}$

Mà ABCD là hình vuông nên $\widehat {BAC} = {45^0}$

$\Rightarrow \widehat {CAE} = {180^0} - \widehat {BAC}$ $= {180^0} - {45^0} = {135^0}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \cos {135^0}\\ =  \cos \left( {{{180}^0} - {{45}^0}} \right) = - \cos {45^0}\\ = - \frac{1}{{\sqrt 2 }} \end{array}$

Vậy $\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BA} } \right) = -\frac{1}{{\sqrt 2 }}$

- Dựng $\overrightarrow {AF}  = \overrightarrow {BD}$ ta có: $\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AF} } \right) = \widehat {CAF}$

Mà $\overrightarrow {AF}  = \overrightarrow {BD}$ nên AF//BD.

Lại có AC $\bot$ BD nên AC $\bot$ AF hay $\widehat {CAF}=90^0$.

Vậy $\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right)$ $= \cos \widehat {CAF} = \cos {90^0} = 0$

- Vì $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD}$ là hai véc tơ ngược hướng nên:

$\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = {180^0}$ $\Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = \cos {180^0} =  - 1$