Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 1: Hàm số

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y= \frac{3x-2}{2x+1}$

b) $y= \frac{x-1}{x^{2}+2x-3}$

c) $y= \sqrt{2x+1}-\sqrt{3-x}$

Phương pháp giải:

Tập xác định của hàm số $y = f(x)$ là tập hợp tất cả các số thực $x$ sao cho biểu thức $f(x)$ có nghĩa.

Một số chú ý:

1) $\dfrac{A}{B}$ có nghĩa khi $B \ne 0$

2) $\sqrt A$ có nghĩa khi $A \ge 0$

3) $\dfrac{1}{{\sqrt A }}$ có nghĩa khi $A > 0$

Hướng dẫn giải:

Câu a: Tìm tập xác định của hàm số $y= \frac{3x-2}{2x+1}$

Biểu thức $\frac{3x-2}{2x+1}$ có nghĩa $\Leftrightarrow 2x + 1 \neq 0\Leftrightarrow x\neq -\frac{1}{2}$

Từ đây ta suy ra tập xác định của hàm số là $D=R\setminus \left \{ \frac{-1}{2} \right \}$

Câu b: Tìm tập xác định của hàm số $y= \frac{x-1}{x^{2}+2x-3}$

Biểu thức $\frac{x-1}{x^{2}+2x-3}$ có nghĩa $\Leftrightarrow x^2+2x-3\neq 0$

$\Leftrightarrow x^2-x+3x-3\neq 0\Leftrightarrow (x-1)(x+3)\neq 0$

$\Leftrightarrow x\neq 1$ và $x\neq -3$

Vì vậy tập xác định D của hàm số là $D=\mathbb{R} \setminus (1;-3]$

Câu c: Tìm tập xác định của hàm số $y= \sqrt{2x+1}-\sqrt{3-x}$

 Biểu thức $\sqrt{2x+1}-\sqrt{3-x}$ có nghĩa $\Leftrightarrow 2x+1\geq 0$ và $3-x\geq 0$

$\Leftrightarrow x\geq -\frac{1}{2}$ và $x\leq 3$

Do đó $D=- \left [ \frac{1}{2};3 \right ]$ là tập xác định của hàm số

Cho hàm số $y = \left\{ \begin{array}{l} x + 1,{\rm{ }}x \ge 2\\ {x^2} - 2,{\rm{ }}x < 2 \end{array} \right.$

Tính giá trị của hàm số tại $x = 3, x = - 1, x = 2$

Phương pháp giải:

Xem lại chú ý trong SGK Toán 10 Đại số trang 34.

Ta đối chiếu từng giá trị của x cụ thể với điều kiện trong hàm số sau đó ta thay vào hàm số đi theo điều kiện đó.

Hướng dẫn giải:

Khi $x=3\geq 2$, nên giá trị của hàm số tại x = 3 là y = 3 + 1 = 4

Khi $x = -1 < 2$, nên giá trị của hàm số tại x = -1 là y =(-1)2 - 2 = -1

Khi $x = 2\geq 2$, nên giá trị của hàm số tại x = 2 là y = 2 + 1 = 3

Cho hàm số $y = 3 x^2 - 2x + 1$. Các điểm sau có thuộc đồ thị hay không?

a) M (- 1;6)

b) N (1;1)

c) P(0;1)

Phương pháp giải:

Để kiểm tra 1 điểm có thuộc đồ thị hàm số hay không ta thay x, y vào hàm số ban đầu nếu dấu bằng xảy ra thì điểm đó thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Chú ý: Điểm $A({x_0};{y_0})$ thuộc đồ thị $(G)$ của hàm số $y = f(x)$ có tập xác định $D$ khi và chỉ khi: 

$\left\{ \matrix{ {x_0} \in D \hfill \cr  f({x_0}) = {y_0} \hfill \cr} \right.$

Hướng dẫn giải:

Điểm $I(x;y) \in (C)x \Leftrightarrow y=f(x)( x\in D).$ 

Ta thấy $f(-1)=3(-1)^2-2(-1)+1=6\Rightarrow M(-1;6)\in (C)$

$f(1)=3.1^2-2.1+1=2\neq 1 \Rightarrow N(1;1)\notin (C)$

$f(0)=3.0^2-2.0+1=1\Rightarrow P(0;1)\in (C)$

Xét tính chẵn lẻ của hàm số:

a) $y = |x|$

b) $y = (x + 2)^2$

c) $y = x^3 + x$

d) $y = x^2 + x + 1$

Phương pháp giải:

Hàm số $y = f(x)$ với tập xác định $D$ gọi là hàm số chẵn nếu : $\forall x \in D$ thì $- x \in D$ và $f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)$.

Hàm số $y = f(x)$ với tập xác định $D$ gọi là hàm số lẻ nếu : $\forall x \in D$ thì $- x \in D$ và $f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)$.

Hướng dẫn giải:

Câu a: Xét tính chẵn lẻ của hàm số $y = |x|$

Hàm số y = |x| có tập xác định D = R vì |x| có nghĩa với mọi $x\in R.$

Do đó mọi $x\in D,$ ta có $x\in D$ hơn nữa ta có:

f(-x) = |-x| = |x| = f(x) (với f(x) = |x|)

Vì vậy f(x) là hàm số chẵn

Câu b: Xét tính chẵn lẻ của hàm số $y = (x + 2)^2$

Hàm số $y = (x + 2)^2$ có tập xác định D = R do đó $\forall x\in D, -x\in D$

Tuy nhiên ta thấy $\left\{\begin{matrix} f(-2)=0\neq 16 = f(2)\\ f(-2)=0\neq -16=-f(2) \end{matrix}\right.$ (với f(x) = (x + 2)2)

Vì vậy f(x) là không là hàm số chẵn và cũng không phải hàm số lẻ

Câu c: Xét tính chẵn lẻ của hàm số $y = x^3 + x$

Đặt $f(x)=x^3+x.$

Ta có hàm số đã cho có tập xác định là R, vì vậy với $\forall x \in R$ ta có $-x\in R$ và $f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x),$ do đó y = f(x) là một hàm số lẻ

Câu d: Xét tính chẵn lẻ của hàm số $y = x^2 + x + 1$

Hàm số đã cho có tập xác định D = R. Đặt f(x) = 2x + 1, ta có 1 và -1 đều thuộc D, tuy nhiên dễ thấy:

$3=f(1)\neq f(-1)=-1$ và $3=f(1)\neq -f(-1)=1$

Do đó hàm số $y=2x+1$ không là hàm số chẵn và cũng không là hàm số lẻ