Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 1: Hàm số

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y= \frac{3x-2}{2x+1}\)

b) \(y= \frac{x-1}{x^{2}+2x-3}\)

c) \(y= \sqrt{2x+1}-\sqrt{3-x}\)

Phương pháp giải:

Tập xác định của hàm số \(y = f(x)\) là tập hợp tất cả các số thực \(x\) sao cho biểu thức \(f(x)\) có nghĩa.

Một số chú ý:

1) \(\dfrac{A}{B}\) có nghĩa khi \(B \ne 0\)

2) \(\sqrt A \) có nghĩa khi \(A \ge 0\)

3) \(\dfrac{1}{{\sqrt A }}\) có nghĩa khi \(A > 0\)

Hướng dẫn giải:

Câu a: Tìm tập xác định của hàm số \(y= \frac{3x-2}{2x+1}\)

Biểu thức \(\frac{3x-2}{2x+1}\) có nghĩa \(\Leftrightarrow 2x + 1 \neq 0\Leftrightarrow x\neq -\frac{1}{2}\)

Từ đây ta suy ra tập xác định của hàm số là \(D=R\setminus \left \{ \frac{-1}{2} \right \}\)

Câu b: Tìm tập xác định của hàm số \(y= \frac{x-1}{x^{2}+2x-3}\)

Biểu thức \(\frac{x-1}{x^{2}+2x-3}\) có nghĩa \(\Leftrightarrow x^2+2x-3\neq 0\)

\(\Leftrightarrow x^2-x+3x-3\neq 0\Leftrightarrow (x-1)(x+3)\neq 0\)

\(\Leftrightarrow x\neq 1\) và \(x\neq -3\)

Vì vậy tập xác định D của hàm số là \(D=\mathbb{R} \setminus (1;-3]\)

Câu c: Tìm tập xác định của hàm số \(y= \sqrt{2x+1}-\sqrt{3-x}\)

 Biểu thức \(\sqrt{2x+1}-\sqrt{3-x}\) có nghĩa \(\Leftrightarrow 2x+1\geq 0\) và \(3-x\geq 0\)

\(\Leftrightarrow x\geq -\frac{1}{2}\) và \(x\leq 3\)

Do đó \(D=- \left [ \frac{1}{2};3 \right ]\) là tập xác định của hàm số

Cho hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}
x + 1,{\rm{ }}x \ge 2\\
{x^2} - 2,{\rm{ }}x < 2
\end{array} \right.\)

Tính giá trị của hàm số tại \(x = 3, x = - 1, x = 2\)

Phương pháp giải:

Xem lại chú ý trong SGK Toán 10 Đại số trang 34.

Ta đối chiếu từng giá trị của x cụ thể với điều kiện trong hàm số sau đó ta thay vào hàm số đi theo điều kiện đó.

Hướng dẫn giải:

Khi \(x=3\geq 2\), nên giá trị của hàm số tại x = 3 là y = 3 + 1 = 4

Khi \(x = -1 < 2\), nên giá trị của hàm số tại x = -1 là y =(-1)2 - 2 = -1

Khi \(x = 2\geq 2\), nên giá trị của hàm số tại x = 2 là y = 2 + 1 = 3

Cho hàm số \(y = 3 x^2 - 2x + 1\). Các điểm sau có thuộc đồ thị hay không?

a) M (- 1;6)

b) N (1;1)

c) P(0;1)

Phương pháp giải:

Để kiểm tra 1 điểm có thuộc đồ thị hàm số hay không ta thay x, y vào hàm số ban đầu nếu dấu bằng xảy ra thì điểm đó thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Chú ý: Điểm \(A({x_0};{y_0})\) thuộc đồ thị \((G)\) của hàm số \(y = f(x)\) có tập xác định \(D\) khi và chỉ khi: 

\(\left\{ \matrix{
{x_0} \in D \hfill \cr 
f({x_0}) = {y_0} \hfill \cr} \right.\)

Hướng dẫn giải:

Điểm \(I(x;y) \in (C)x \Leftrightarrow y=f(x)( x\in D).\) 

Ta thấy \(f(-1)=3(-1)^2-2(-1)+1=6\Rightarrow M(-1;6)\in (C)\)

\(f(1)=3.1^2-2.1+1=2\neq 1 \Rightarrow N(1;1)\notin (C)\)

\(f(0)=3.0^2-2.0+1=1\Rightarrow P(0;1)\in (C)\)

Xét tính chẵn lẻ của hàm số:

a) \(y = |x|\)

b) \(y = (x + 2)^2\)

c) \(y = x^3 + x\)

d) \(y = x^2 + x + 1\)

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f(x)\) với tập xác định \(D\) gọi là hàm số chẵn nếu : \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\).

Hàm số \(y = f(x)\) với tập xác định \(D \) gọi là hàm số lẻ nếu : \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\).

Hướng dẫn giải:

Câu a: Xét tính chẵn lẻ của hàm số \(y = |x|\)

Hàm số y = |x| có tập xác định D = R vì |x| có nghĩa với mọi \(x\in R.\)

Do đó mọi \(x\in D,\) ta có \(x\in D\) hơn nữa ta có:

f(-x) = |-x| = |x| = f(x) (với f(x) = |x|)

Vì vậy f(x) là hàm số chẵn

Câu b: Xét tính chẵn lẻ của hàm số \(y = (x + 2)^2\)

Hàm số \(y = (x + 2)^2\) có tập xác định D = R do đó \(\forall x\in D, -x\in D\)

Tuy nhiên ta thấy \(\left\{\begin{matrix} f(-2)=0\neq 16 = f(2)\\ f(-2)=0\neq -16=-f(2) \end{matrix}\right.\) (với f(x) = (x + 2)2)

Vì vậy f(x) là không là hàm số chẵn và cũng không phải hàm số lẻ

Câu c: Xét tính chẵn lẻ của hàm số \(y = x^3 + x\)

Đặt \(f(x)=x^3+x.\)

Ta có hàm số đã cho có tập xác định là R, vì vậy với \(\forall x \in R\) ta có \(-x\in R\) và \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x),\) do đó y = f(x) là một hàm số lẻ

Câu d: Xét tính chẵn lẻ của hàm số \(y = x^2 + x + 1\)

Hàm số đã cho có tập xác định D = R. Đặt f(x) = 2x + 1, ta có 1 và -1 đều thuộc D, tuy nhiên dễ thấy:

\(3=f(1)\neq f(-1)=-1\) và \(3=f(1)\neq -f(-1)=1\)

Do đó hàm số \(y=2x+1\) không là hàm số chẵn và cũng không là hàm số lẻ