Giải bài tập SGK Toán 10 Bài 3: Hàm số bậc hai

Xác định tọa độ của đỉnh và các giao điểm với trục tung, trục hoành (nếu có) của mỗi parabol.

a) \(y = x^2 - 3x + 2\)

b) \(y = - 2x^2 + 4x - 3\)

c) \(y = x^2 - 2x\)

d) \(y = - x^2 + 4\)

Hướng dẫn giải:

Cho parabol: \(y = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\):

Tọa độ đỉnh I của parabol là: \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)

Muốn xác định tọa độ giao điểm của parabol với trục tung thì ta cho  x = 0 sau đó tìm y.

Muốn xác định tọa độ giao điểm của parabol với trục hoành thì ta cho y = 0 sau đó tìm x.

Hướng dẫn giải:

Câu a: Xác định tọa độ của đỉnh và các giao điểm với trục tung, trục hoành (nếu có) của parabol \(y = x^2 - 3x + 2\)

Ta có: a = 1, b=-3,c=2

Hoành độ đỉnh: \({x_0} =  - \frac{b}{{2a}} \Rightarrow {y_0} =  - \frac{1}{4}\)

Vậy đỉnh  

\(x = 0 \Rightarrow y = 2:\) (P) cắt trục tung tại điểm A(0;2)\(I\left( {\frac{3}{2}; - \frac{1}{4}} \right)\)

\(y = 0 \Rightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)

(P) cắt trục hoành tại B(1;0) và C(2;0)

Câu b:  Xác định tọa độ của đỉnh và các giao điểm với trục tung, trục hoành (nếu có) của parabol \(y = - 2x^2 + 4x - 3\)

a=-2, b=4, c=-3

\({x_0} =  - \frac{b}{{2a}} = 1 \Rightarrow {y_0} =  - 1\)

Đỉnh I(1;-1), giao điểm với trục tung A(0;-3). (P) không cắt trục hoành

Câu c: Xác định tọa độ của đỉnh và các giao điểm với trục tung, trục hoành (nếu có) của parabol \(y = x^2 - 2x\)

Đỉnh I(1;-1), cắt trục tung tại O(0;0), cắt trục hoành tại O(0;0) và B(2;0)

Câu d: Xác định tọa độ của đỉnh và các giao điểm với trục tung, trục hoành (nếu có) của parabol \(y = - x^2 + 4\)

Đỉnh I(0;4) cắt trục tung tại A(0;4), cắt trục hoành tại B(2;0) và C(-2;0)

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số

a) \(y = 3x^2- 4x + 1\)

b) \(y = - 3x^2 + 2x - 1\)

c) \(y = 4x^2- 4x + 1\)

d) \(y = - x^2 + 4x - 4\)

e) \(y = 2x^2+ x + 1\)

f) \(y = - x^2 + x - 1\)

Phương pháp giải:

Dựa vào đồ thị của hàm số \(y= a x^2 + bx + c\) ( a khác 0), ta có bảng biến thiên của nó trong hai trường hợp a > 0 và a < 0 như sau:

Cách vẽ:

Bước 1: Xác định tọa độ của đỉnh \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)

Bước 2: Vẽ trục đối xứng \(x =  - \frac{b}{{2a}}\)

Bước 3: Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung, trục hoành ( nếu có)

Xác định thêm một số điểm thuộc đồ thị để vẽ đồ thị chính xác hơn.

Bước 4: Vẽ parabol

Khi vẽ parabol cần lưu ý đến dấu của hệ số a (a > 0 thì bề lõm quay lên trên); (a < 0 thì bề lõm quay xuống dưới).

Hướng dẫn giải:

Câu a: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số \(y = 3x^2- 4x + 1\)

Hoành độ đỉnh \({x_0} =  - \frac{b}{{2a}} = \frac{2}{3} \Rightarrow {y_0} =  - \frac{1}{3}\)

Đỉnh \(I\left( {\frac{2}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\)

Trục đối xứng: \(x = \frac{2}{3}\)

Giao điểm với Oy là A(0;1)

Bảng biến thiên

Đồ thị

Câu b: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số \(y = - 3x^2 + 2x - 1\)

Đỉnh \(I\left( {\frac{1}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\)

Trục đối xứng: \(x = \frac{1}{3}\)

Giao điểm với Oy là A(0;-1)

Bảng biến thiên

Đồ thị

Câu c: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số \(y = 4x^2- 4x + 1\)

Đỉnh \(I\left( {\frac{1}{2};0} \right)\)

Trục đối xứng: \(x = \frac{1}{2}\)

Giao điểm với Oy là A(0;1)

Bảng biến thiên

Đồ thị

Câu d: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số \(y = - x^2 + 4x - 4\)

Đỉnh \(I\left( {2;0} \right)\)

Trục đối xứng: \(x = 2\)

Giao điểm với Oy là A(0;-4)

Bảng biến thiên

Đồ thị

Câu e: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số \(y = 2x^2+ x + 1\)

Đỉnh \(I\left( { - \frac{1}{4};\frac{7}{8}} \right)\)

Trục đối xứng: \(x =  - \frac{1}{4}\)

Giao điểm với Oy là A(0;1)

Bảng biến thiên

Đồ thị

Câu f: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số \(y = - x^2 + x - 1\)

Đỉnh \(I\left( {\frac{1}{2}; - \frac{3}{4}} \right)\)

Trục đối xứng: \(x = \frac{1}{2}\)

Giao điểm với Oy là A(0;-1)

Bảng biến thiên 

Đồ thị 

Xác định parabol \(y = ax^2 + bx + 2\), biết rằng parabol đó:

a) Đi qua hai điểm \(M(1; 5)\) và \(N(- 2; 8)\)

b) Đi qua hai điểm \(A(3;- 4)\) và có trục đối xứng là x=\(\frac{{ - 3}}{2}\)

c) Có đỉnh là \(I(2;- 2)\)

d) Đi qua điểm \(B(- 1; 6)\) và tung độ của đỉnh là \(\frac{{ - 1}}{4}\)

Hướng dẫn giải:

Thay tọa độ các điểm M, N vào phương trình parabol.

Giải hệ phương trình và kết luận.

Hướng dẫn giải:

Câu a: Xác định parabol \(y = ax^2 + bx + 2\) đi qua hai điểm \(M(1; 5)\) và \(N(- 2; 8)\)

Parabol \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + 2\)  đi qua hai điểm M(1;5), N(-2;8)

\(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 3\\4a - 2b + 2 = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 3\\4a - 2b = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\end{array} \right.\)

Vậy parabol là: \(y = 2{x^2} + x + 2\)

Câu b: Xác định parabol \(y = ax^2 + bx + 2\) đi qua hai điểm \(A(3;- 4)\) và có trục đối xứng là x=\(\frac{{ - 3}}{2}\)

Ta tìm a, b thoả: \(\left\{ \begin{array}{l}9a + 3b + 2 =  - 4\\ - \frac{3}{2} =  - \frac{b}{{2a}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9a + 3b =  - 6\\b = 3a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{3}\\b =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy parabol: \(y =  - \frac{1}{3}{x^2} - x + 2\)

Câu c: Xác định parabol \(y = ax^2 + bx + 2\) có đỉnh là \(I(2;- 2)\)

 Từ giả thiết, ta có: \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 2;\frac{{ - \Delta }}{{4a}} =  - 2\)  hay b =-4a và \[8a{\rm{ }} - {b^2} =  - 8a.\]

Suy ra: a = 1; b =-4.Vậy \(y = {x^2} - 4x + 2.\)

Câu d: Xác định parabol \(y = ax^2 + bx + 2\) đi qua điểm \(B(- 1; 6)\) và tung độ của đỉnh là \(\frac{{ - 1}}{4}\)

Từ giả thiết, ta có: \(6 = a - b + 2;\frac{{ - \Delta }}{{4a}} =  - \frac{1}{4}\) hay \(a - b = 4\)  và \(8a - {b^2} =  - a\)

Suy ra: a = 1; b = -3 hoặc a = 16; b = 12

Vậy: \(y = {x^2} - 3x + 2\) hoặc \(y = 16{x^2} + 12x + 2\)

4. Giải bài 4 trang 50 SGK Đại số 10

 Xác định a, b, c, biết parabol \(y = ax^2 + bx + c\) đi qua điểm A(8; 0) và có đỉnh I(6; - 12)

Phương pháp giải:

Tọa độ đỉnh của parabol: \(y = ax^2+ bx + c\) là: \(I\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Theo đề bài ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}64a + 8b + c = 0\\ - \frac{b}{{2a}} = 6\\ - \frac{\Delta }{{4a}} =  - 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}64a + 8b + c = 0\\12a + b = 0\\4ac - {b^2} =  - 48a\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}b =  - 12a\\c = 32a\\128{a^2} - 144{a^2} =  - 48a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - 36\\c = 96\end{array} \right.\)