Giải bài tập SGK Toán 10 Chương 2 Bài 3: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Phần hướng dẫn giải bài tập Bài Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác sẽ giúp các em nắm được phương pháp và rèn luyện kĩ năng các giải bài tập từ SGK Hình học 10. Hi vọng rằng đây sẽ là những tài liệu hữu ích trong công tác giảng dạy và học tập của quý thầy cô và các em học sinh.

Giải bài tập SGK Toán 10 Chương 2 Bài 3: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

1. Giải bài 1 trang 59 SGK Hình học 10

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(\widehat{B}= 58^0\) và cạnh \(a = 72 cm\). Tính \(\widehat{C}\), cạnh \(b\), cạnh \(c\) và đường cao \(h_a\)

Phương pháp giải

  • Định lý tổng 3 góc trong một tam giác: \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0.\)
  • Dựa vào công thức lượng giác của các góc nhọn trong tam giác vuông để làm tính các cạnh và chiều cao cần tìm của tam giác.

Hướng dẫn giải

Theo định lí tổng \(3\) góc trong một tam giác ta có:

\(\eqalign{
& \widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0} \cr
& \Rightarrow \widehat C = {180^0} - \widehat A - \widehat B \cr&= {180^0} - {90^0} - {58^0} = {32^0} \cr} \)

Xét tam giác vuông \(ABC\) có:

\(\cos C = \frac{b}{a}\) \( \Rightarrow b =a. \cos C= 72.\cos {32^0} \) \(\Rightarrow b \approx 61,06cm\);

\(\sin C = \frac{c}{a} \) \(\Rightarrow c =a.\sin C= 72.\sin{32^0}\)\( \Rightarrow c \approx 38,15cm\)

\(a{h_a} = bc  \)\(\Rightarrow h_a =\frac{b.c}{a} = \frac{{61,06.38,15}}{{72}}\) \(\Rightarrow h_a ≈ 32,36cm.\)

2. Giải bài 2 trang 59 SGK  Hình học 10

Cho tam giác \(ABC\) biết các cạnh \(a = 52, 1cm\); \(b = 85cm\) và \(c = 54cm\). Tính các góc \(\widehat{A}\), \(\widehat{B}\), \(\widehat{C}\).

Phương pháp giải

  • Áp dụng định lý hàm số cosin: \( \cos: a^2=b^2+c^2-2bc.\cos A.\) để tìm hai trong 3 góc của tam giác.
  • Tính góc còn lại bằng cách lấy 180 độ trừ đi hai góc đã biết (Định lí tổng ba góc của một tam giác).

Hướng dẫn giải

Từ định lí cosin ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.cosA.\)

Ta suy ra \(\cos A = \dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)

\(= \dfrac{85^{2}+54^{2}-(52,1)^{2}}{2.85.54}\)

\(\Rightarrow \cos A  ≈ 0,809  \Rightarrow \widehat{A}≈ 36^0\) 

\(\begin{array}{l}
{b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos B\\
\Rightarrow \cos B = \frac{{{c^2} + {a^2} - {b^2}}}{{2ca}}\\
= \frac{{{{54}^2} + 52,{1^2} - {{85}^2}}}{{2.54.52,1}} \approx - 0,2834
\end{array}\)

\(\Rightarrow  \widehat{B}≈  106^0 28’\) ;

\(\widehat{C} = {180^0} - \left( {A + B} \right) \) \(\approx {180^0} - \left( {{{36}^0} + {{106}^0}28'} \right)≈  37^032’\).

3. Giải bài 3 trang 59 SGK Hình học 10

Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat{A}  = 120^0\) cạnh \(b = 8cm\) và \(c = 5cm\). Tính cạnh \(a\), và góc  \(\widehat{B}\), \(\widehat{C}\) của tam giác đó.

Phương pháp giải

  • Định lý hàm số \( \cos: \, \, a^2=b^2+c^2-2bc.\cos A.\)
  • Định lý hàm số \(\sin:  \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}.\)
  • Tổng ba góc trong một tam giác: \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0. \)

Hướng dẫn giải

Ta có   

\(\eqalign{
& {a^2}  = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\cr &= {8^2} + {5^2} - 2.8.5.\cos{120^0} \cr&= 64 + 25 + 40 = 129 \cr
& \Rightarrow a = \sqrt {129} \approx 11,36cm \cr} \)

Theo định lí sin:

\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} \) \(\Rightarrow \sin B = \frac{{b\sin A}}{a} \approx \frac{{8\sin {{120}^0}}}{{11,36}} \approx 0,61 \) \(\Rightarrow B \approx {37^0}35'\)

\(A+B+C=180^0\) (Tổng ba góc trong một tam giác)

\(\Rightarrow \widehat{C}=180^0- (\widehat{A} + \widehat{B})\)\(=180^0-(120^0+37^0 35')\)  

\(\Rightarrow\widehat{C}= 22^0 25’.\)

4. Giải bài 4 trang 59 SGK Hình học 10

Tính diện tích \(S\) của tam giác có số đo các cạnh lần lượt là \(7, \, \,9\) và \(12\).

Phương pháp giải

Áp dụng hệ thức Hê-rông: \(S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\) với \(p=\frac{a+b+c}{2}.\)

Hướng dẫn giải

Diện tích tam giác là:

\(S = \sqrt {14\left( {14 - 7} \right)\left( {14 - 9} \right)\left( {14 - 12} \right)}  \) \(= \sqrt {980}  \approx 31,3\)

5. Giải bài 5 trang 59 SGK Hình học 10

Tam giác \(ABC\) có  \(\widehat{A} = 120^0\). Tính cạnh \(BC\) cho biết cạnh \(AC = m\) và \(AB = n\).

Phương pháp giải

Định lý hàm số \( \cos: \, \, a^2=b^2+c^2-2bc.\cos A.\)

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lý hàm số \(\cos\) ta có:

\(\eqalign{ & BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.\cos A \cr
&  = {m^2} + {n^2} - 2.m.n.\cos 120^0 \cr
& = {m^2} + {n^2} - 2mn.\left( { - \frac{1}{2}} \right) \cr &= {m^2} + {n^2} + m.n \cr
& \Rightarrow BC = \sqrt {{m^2} + {n^2} + m.n}. \cr} \)

6. Giải bài 6 trang 59 SGK Hình học 10

Tam giác \(ABC\) có các cạnh \(a = 8cm, \,  b = 10cm, \,  c = 13cm.\)

a) Tam giác đó có góc tù không? 

b) Tính độ dài đường trung tuyến \(MA\) của tam giác \(ABC\) đó.

Phương pháp giải

Câu a:

  • Áp dụng định lý: Trong tam giác có góc đối diện với cạnh lớn nhất là góc lớn nhất.
  • \(\cos\alpha <0\) thì \(\alpha \) là góc tù.
  • Định lý hàm số \( \cos: \, \, a^2=b^2+c^2-2bc.\cos A.\)

Câu b:

Công thức đường trung tuyến: \( m_a^2=\frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}.\)

Hướng dẫn giải

Câu a:

Vì cạnh c = 13cm lớn nhất nên góc đối diện là góc C lớn nhất.

\(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\\
= \frac{{{8^2} + {{10}^2} - {{13}^2}}}{{2.8.10}} = - \frac{1}{{32}} < 0\\
\Rightarrow C > {90^0}\)

Vậy tam giác \(ABC\) có góc \(C\) tù.

Câu b:

Áp dụng công thức tính đường trung tuyến, ta có: 

\(\begin{array}{l}
A{M^2} = m_a^2 = \frac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}\\
= \frac{{2\left( {{{10}^2} + {{13}^2}} \right) - {8^2}}}{4} = \frac{{237}}{2}\\
\Rightarrow AM = \sqrt {\frac{{237}}{2}} \approx 10,89\left( {cm} \right)
\end{array}\)

7. Giải bài 7 trang 59 SGK Hình học 10

Tính góc lớn nhất của tam giác \(ABC\) biết:

a)  Các cạnh \(a = 3cm, \, b = 4cm,\, c = 6cm.\)

b) Các cạnh \(a = 40cm, \, b = 13cm, \, c = 37cm.\)

Phương pháp giải

Áp dụng định lý: Trong tam giác có góc đối diện với cạnh lớn nhất là góc lớn nhất.

Câu a: \(\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.\)

Câ  b: \(\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.\)

Hướng dẫn giải

Câu a:

Ta có: \(c > b > a \Rightarrow \widehat{C} \) là góc lớn nhất của tam giác \(ABC.\)

\(\cos \widehat{C} = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\) \(= \frac{3^2+4^2 -6^2}{2.3.4}= \frac{-11}{24}≈  -0,4583\)    

Suy ra \(\widehat{C}=  117^017’.\)

Câu b:

Ta có: \(a > c > b \Rightarrow \widehat{A} \) là góc lớn nhất của tam giác \(ABC.\)

\(\cos \widehat{A} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} \) \(= \frac{13^{2} +37^{2}-40^{2}}{2.13.37}\) = \(\frac{-31}{481}\)

Suy ra \(\widehat{A}= 93^042’.\)

8. Giải bài 8 trang 59 SGK Hình học 10

Cho tam giác \(ABC\) biết cạnh \(a = 137,5cm; \widehat{B} = 83^0, \, \widehat{C} = 57^0.\) Tính góc \(A,\) bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp, cạnh \(b\) và \(c\) của tam giác.

Phương pháp giải

  • Tổng ba góc trong một tam giác: \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0. \)
  • Định lý hàm số sin \( \dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}.\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\widehat{A} = 180^0- (\widehat{B}+ \widehat{C}) = 40^0\)

\(\dfrac{a}{{\sin A}} = 2R\) \( \Leftrightarrow R = \dfrac{a}{{2\sin A}} = \dfrac{{137,5}}{{2\sin {{40}^0}}} \approx 106,96\)

Áp dụng định lí \(\sin\):

\(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} =  \dfrac{c}{\sin C}\), ta có:

\(b =\dfrac{a \sin B}{\sin A}= \dfrac{137,5.\sin83^{0}}{\sin40^0} ≈ 212,31cm.\)

\(c  =\dfrac{a \sin C}{\sin A}= \dfrac{137,5.\sin57^{0}}{\sin40^0} ≈ 179,40cm.\)

9. Giải bài 9 trang 59 SGK Hình học 10

Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(AB = a, BC = b ,BD = m\), và \(AC = n\). Chứng minh rằng:

\({m^2} + {n^2} = 2({a^2} + {b^2})\)

Phương pháp giải

- Tính chất hình bình hành: Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

- Công thức đường trung tuyến: \( m_a^2=\frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}.\)

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó O là trung điểm của AC và BD.

Tam giác ABD có AO là đường trung tuyến.

Áp dụng định lí về đường trung tuyến:

\(A{O^2} = \frac{{2\left( {A{B^2} + A{D^2}} \right) - B{D^2}}}{4}\)

Mà O là trung điểm AC nên \(AO = \frac{{AC}}{2} = \frac{n}{2}\)

Thay \(OA = \frac{n}{2}, \, AB = a,\) \(AD = BC = b\) và \(BD = m\) ta được: 

\(\begin{array}{l}
{\left( {\frac{n}{2}} \right)^2} = \frac{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {m^2}}}{4}\\
\Leftrightarrow \frac{{{n^2}}}{4} = \frac{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {m^2}}}{4}\\
\Leftrightarrow {n^2} = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {m^2}\\
\Leftrightarrow {m^2} + {n^2} = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)
\end{array}\)

10. Giải bài 10 trang 60 SGK Hình học 10

Hai chiếc tàu thủy \(P\) và \(Q\) cách nhau \(300m\).Từ \(P\) và \(Q\) thẳng hàng với chân \(A\) của tháp hải đăng \(AB\) ở trên bờ biển người ta nhìn chiều cao \(AB\) của tháp dưới các góc \(\widehat {BPA} = {35^0},\widehat {BQA} = {48^0}.\) Tính chiều cao của tháp.

Phương pháp giải

Dựa vào công thức lượng giác của các góc nhọn trong tam giác vuông.

  • \(\cot Q=\frac{AQ}{AB} \Rightarrow AQ\)
  • \(\cot P = \frac{{AP}}{{AB}} \Rightarrow AP\)

Hướng dẫn giải

Tam giác ABQ vuông tại A có: \(\cot Q=\frac{AQ}{AB} \Rightarrow AQ = AB\cot48^0\)

Tam giác ABP vuông tại A có: \(\cot P = \frac{{AP}}{{AB}} \Rightarrow AP = AB\cot {35^0}\) 

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow AP - AQ = AB\cot {35^0} - AB\cot {48^0}\\
\Leftrightarrow PQ = AB\left( {\cot {{35}^0} - \cot {{48}^0}} \right)\\
\Rightarrow AB = \frac{{PQ}}{{\cot {{35}^0} - \cot {{48}^0}}}\\
= \frac{{300}}{{\cot {{35}^0} - \cot {{48}^0}}}\\
= \frac{{300}}{{\frac{1}{{\tan {{35}^0}}} - \frac{1}{{\tan {{48}^0}}}}}
\end{array}\)

\( \approx {{300} \over {1,4281 - 0,9004}} \)\(\approx 568,457m.\)

11. Giải bài 11 trang 60 SGK Hình học 10

Muốn đo chiều cao của tháp Chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận, người ta lấy hai điểm \(A\) và \(B\) trên mặt đất có khoảng cách \(AB = 12m\) cùng thẳng hàng với chân \(C\) của tháp để đặt hai giác kế. Chân của giác kế có chiều cao \(h = 1,3m\). Gọi \(D\) là đỉnh tháp và hai điểm \(A_1, \, B_1\) cùng thẳng  hàng với \(C_1\) thuộc chiều cao \(CD\) của tháp. Người ta đo được \(\widehat {D{A_1}{C_1}} = {49^0}\) và \(\widehat {D{B_1}{C_1}} = {35^0}.\) Tính chiều cao của  \(CD\) của tháp đó.

Hình 2.23

Hình 2.24

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(A_1B_1=AB=12m.\)

Xét \(\Delta DC_1A_1\) có: \(\cot \widehat {D{A_1}{C_1}} = \frac{{{A_1}{C_1}}}{{{C_1}D}}\)

\(\Rightarrow {A_1}{C_1} = {C_1}D.\cot \widehat {D{A_1}{C_1}}\) \(=C_1D.\cot 49^0\)

Xét \(\Delta DC_1B_1\) có: \(\cot \widehat {D{B_1}{C_1}} = \frac{{{B_1}{C_1}}}{{{C_1}D}} \)

\(\Rightarrow {B_1}{C_1} = {C_1}D.\cot \widehat {D{B_1}{C_1}}\) \(=C_1D.\cot 35^0\)

Mà \(A_1B_1=C_1B_1-C_1A_1\)\(=C_1D.\cot 35^0-C_1D.\cot 49^0\)

\(=C_1D(\cot 35^0 - \cot 49^0).\)

\(\Rightarrow C_1D=\frac{A_1B_1}{\cot 35^0 - \cot 49^0}  =\frac{12}{\cot 35^0 - \cot 49^0}\)\(\approx 21,47 \, m. \)

Vậy chiều cao \(CD\) của tháp là: 

\(DC = C{C_1} + {C_1}D = 1,3 + 21,47\) \(= 22,77m.\)

Ngày:21/08/2020 Chia sẻ bởi:

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM