Toán 12 Chương 2 Bài 1: Lũy thừa

a) Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho \(n\) là một số nguyên dương.

- Với \(a\) là số thực tùy ý, lũy thừa bậc \(n\) của \(a\) là tích của \(n\) thừa số \(a\): \({a^n} = \underbrace {a.a......a}_n\)

- Với \(a\ne0\): 

• ​\(a^0=1\)

• ​\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)

Trong biểu thức \(a^m\), ta gọi \(a\) là cơ số, số nguyên \(m\) là số mũ.

- Chú ý: 

• \(0^0\) và \(0^n\) không có nghĩa.

• Lũy thừa với số mũ nguyên có các tihs chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

b) Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho \(a\) là số thực dương và số hữu tỉ \(r=\frac{m}{n}\) trong đó \(m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N},n\geq 2.\) Lũy thừa với số mũ \(r\) là số \(a^r\) xác đinh bởi: \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\).

c) Lũy thừa với số mũ thực

Cho \(a\) là một số dương, \(\alpha\) là một số vô tỉ:

Ta gọi giới hạn của dãy số \(\left( {{a^{{r_n}}}} \right)\) là lũy thừa của \(a\) với số mũ \(\alpha\), kí hiệu là \(a^{\alpha}.\)

\({a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a^{{r_n}}}\) với \(a = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {r_n}\).

Với số thực \(a>0\) ta có các tính chất sau:

• \(a^x.a^y=a^{x+y} \ \ \ x, y\in \mathbb{R}\)

• \(\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y} \ \ \ x, y \in \mathbb{R}\)

• \((a^x)^y=a^{xy} \ \ \ x,y\in R\)

• \(\sqrt[x]{a^y}=a^{\frac{y}{x}} \ \ \ x\in N, x\geq 2, y\in R\)

• \((a.b)^x=a^x.b^x\)

• \(\left ( \frac{a}{b} \right )^y=\frac{a^y}{b^y}\)

Cho số thực \(a\):

• Nếu \(a>1\) thì \(a^x > a^y\Leftrightarrow x>y\).

• Nếu \(0 a^y\Leftrightarrow x

Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{{a^{ - n}} + {b^{ - n}}}}{{{a^{ - n}} - {b^{ - n}}}} - \frac{{{a^{ - n}} - {b^{ - n}}}}{{{a^{ - n}} + {b^{ - n}}}}\left( {ab \ne 0;a \ne \pm b} \right)\)

Hướng dẫn giải

\(A = \frac{{{a^{ - n}} + {b^{ - n}}}}{{{a^{ - n}} - {b^{ - n}}}} - \frac{{{a^{ - n}} - {b^{ - n}}}}{{{a^{ - n}} + {b^{ - n}}}} = \frac{{{a^n} + {b^n}}}{{{a^n}{b^n}\left( {\frac{{{b^n} - {a^n}}}{{{a^n}{b^n}}}} \right)}} - \frac{{{b^n} - {a^n}}}{{{a^n}{b^n}\left( {\frac{{{a^n} + {b^n}}}{{{a^n}{b^n}}}} \right)}}\)

\(= \frac{{{{\left( {{a^n} + {b^n}} \right)}^2} - {{\left( {{b^n} - {a^n}} \right)}^2}}}{{\left( {{a^n} + {b^n}} \right)\left( {{b^n} - {a^n}} \right)}} = \frac{{4{a^n}{b^n}}}{{{b^{2n}} - {a^{2n}}}}\)

Câu 1: Tính

a) \({9^{{2 \over 5}}}{.27^{{2 \over 5}}}\);             

b) \({144^{{3 \over 4}}}:{9^{{3 \over 4}}}\);

c) \({\left( {{1 \over {16}}} \right)^{ - 0,75}} + {\left( {0,25} \right)^{{{ - 5} \over 2}}}\);

Câu 2: Tính

a)  \( \dfrac{10^{2+ \sqrt{7}}}{2^{2 + \sqrt{7}}. 5^{1+\sqrt{7}}}\)

b) \( ( 4^{2\sqrt{3}} - 4^{\sqrt{3} - 1}). 2^{-2\sqrt{3}}.\)

Câu 3: Cho a và b là các số dương. Đơn giản các biểu thức sau:

a) \( \dfrac{a^{\dfrac{4}{3}}\Big( a^{\dfrac{-1}{3}} + a^{\dfrac{2}{3}} \Big)} {a^{\dfrac{1}4}{\Big( a^{\dfrac{3}{4}} + a^{\dfrac{-1}{4}} \Big)}}\)

b) \( \dfrac{ a^{\dfrac{1}{3}}\sqrt{b} + b^{\dfrac{1}{3}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}} \)

c) \( \Big( \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} \Big)( a^{\dfrac{2}{3}} + b^{\dfrac{2}{3} }- \sqrt[3]{ab} \Big) \)

Câu 4: Tính 

a) \(27^{\dfrac{2}{3}} - (-2)^{-2} +(3\dfrac{3}{8})^{-\dfrac{1}{3}} \)

b) \( ( - 0.5)^{{-4}} - 625^{0,25} - (2\dfrac{1}{4})^{-1\dfrac{1}{2}} \)

Câu 5: Viết các số sau theo thứ tự tăng dần

a) \(1^{3,75}\) ; \(2^{-1}\) ; \((\frac{1}{2})^{-3}\)

b) \(98^{0}\) ; \(\left ( \frac{3}{7} \right )^{-1}\) ; \(32^{\frac{1}{5}}\).

Câu 1: Cho biểu thức \(P = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}{b^{ - \frac{1}{3}}} - {a^{ - \frac{1}{3}}}{b^{\frac{1}{3}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}}} - \sqrt[3]{{{b^2}}}}}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(P = \frac{1}{{\sqrt[3]{{ab}}}}\).

B. \(P = \sqrt[3]{{ab}}\).

C. \(P = {\left( {ab} \right)^{\frac{2}{3}}}\). 

D. \(P =  - \frac{1}{{\sqrt[3]{{{{\left( {ab} \right)}^2}}}}}\).

Câu 2: Biểu diễn biểu thức \(K = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt {\frac{2}{3}} }}}}\) dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.

A. \(K = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{5}{{18}}}}\)

B. \(K = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{{2}}}}\)

C. \(K = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{{8}}}}\)

D. \(K = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{{6}}}}\)

A. \(\alpha = \frac{2}{3}\)

B. \(\alpha = \frac{11}{6}\)

C. \(\alpha = \frac{1}{6}\)

D. \(\alpha = \frac{5}{3}\)

Câu 4: Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. \({2^{ - 2}} < 1 \)

B. \({(0,013)^{ - 1}} > 75\)

C. \({({\pi  \over 4})^{\sqrt 5  - 2}} > 1\)

D. \({({1 \over 3})^{\sqrt 8  - 3}} < 3\)

Câu 5: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. \(\sqrt {17} < \root 3 \of {28} \)

B. \(\root 4 \of {13} >\root 5 \of {23} \)

C. \({({1 \over 3})^{\sqrt 3 }} >{({1 \over 3})^{\sqrt 2 }}\)

D. \({4^{\sqrt 5 }} > {4^{\sqrt 7 }}\)

• Nắm được định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên, căn bậc n, lũy thừa với số mũ hữu tỉ

• Biết cách áp dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ thực để giải toán