Toán 12 Chương 4 Bài 3: Phép chia số phức
Nội dung bài học Phép chia số phức dưới đây đã được eLib biên soạn cụ thể và chi tiết, đồng thời có các bài tập minh họa có hướng dẫn giải chi tiết giúp các em dễ dàng ôn luyện kiến thức và vận dụng vào giải bài tập. Mời các em cùng tham khảo.
Mục lục nội dung
1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Phép chia hai số phức
Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:
\(\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{\left( {c + di} \right)(a - bi)}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i\)
(Nhân cả tử và mẫu với \(a - bi\)(số phức liên hợp của mẫu)).
1.2. Chú ý
Với số phức \(z\ne0\) ta có:
Số phức nghịch đảo của \(z\): \({z^{ - 1}} = \frac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}}\overline z .\)
Thương của \(z'\) chia cho \(z\): \(\frac{{z'}}{z} = z'.{z^{ - 1}} = \frac{{z'.\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \frac{{z'.\overline z }}{{z.\overline z }}.\)
2. Bài tập minh họa
2.1. Bài tập 1
Tìm phần thực, phần ảo và tính môđun của số phức z thỏa: \({\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 - i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z.\)
Hướng dẫn giải
\({\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 - i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z\)
\(\Leftrightarrow z = \frac{{8 + i}}{{1 + 2i}} = \frac{{\left( {8 + i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}} = \frac{{10 - 15i}}{5} = 2 - 3i.\)
Vậy z có phần thực bằng 2, phần ảo bằng -3, môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {13} .\)
2.2. Bài tập 2
Tính số phức sau: \(z={\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} \right)^8}.\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\frac{{1 + i}}{{1 - i}} = \frac{{(1 + i)(1 + i)}}{2} = \frac{{2i}}{2} = i\)\(\Rightarrow \frac{{1 - i}}{{1 + i}} = \frac{1}{i} = - i.\)
Vậy: \({\left( {\frac{{1 + i}}{{1 - i}}} \right)^{16}} + {\left( {\frac{{1 - i}}{{1 + i}}} \right)^8} = {i^{16}} + {( - i)^8} = {({i^2})^8} + {\left( {{{\left( { - i} \right)}^2}} \right)^4} = 1 + 1 = 2.\)
2.3. Bài tập 3
Tìm số phức liên hợp của số phức: \(z = (1 + i)(3 - 2i) + \frac{1}{{3 + i}}\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(z = 5 + i + \frac{{3 - i}}{{(3 + i)(3 - i)}} = 5 + i + \frac{{3 - i}}{{10}}=\frac{53}{10}+\frac{9}{10}i\)
Suy ra số phức liên hợp của số phức z là: \(\overline z = \frac{{53}}{{10}} - \frac{9}{{10}}i\).
2.4. Bài tập 4
Tìm môđun của số phức \(z = \frac{{(1 + i)(2 - i)}}{{1 + 2i}}\).
Hướng dẫn giải
Ta có:\(z = \frac{{(1 + i)(2 - i)}}{{1 + 2i}} = \frac{{3 + i}}{{1 + 2i}} = \frac{{\left( {3 + i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}} = \frac{{5 + i}}{5} = 1 + \frac{1}{5}i.\)
Vậy môđun của số phức z là: \(\left| z \right| = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {26} }}{5}\).
2.5. Bài tập 5
Tìm số phức z thỏa: \(\frac{{(\overline z - 1).(2 - i)}}{{\overline z + 2i}} = \frac{{3 + i}}{2}\)
Hướng dẫn giải
Điều kiện: \(\overline z \ne -2i\) hay \(z\ne 2i\)
Khi đó: \(\frac{{(\overline z - 1).(2 - i)}}{{\overline z + 2i}} = \frac{{3 + i}}{2}\)\(\Leftrightarrow 2(\overline z - 1)(2 - i) = (3 + i)(\overline z + 2i)\)
\(\Leftrightarrow (\overline z - 1)(4 - 2i) = 3\overline z + 6i + iz + 2{i^2}\)
\(\Leftrightarrow (1 - 3i)\overline z = 2i + 4\)
\(\Leftrightarrow \overline z = \frac{{2i + 4}}{{1 - 3i}} = \frac{{(2i + 4)(1 + 3i)}}{{10}} = \frac{{ - 1}}{5} + \frac{7}{5}i\)
\(\Rightarrow z = \frac{{ - 1}}{5} - \frac{7}{5}i\).
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Câu 1: Thực hiện các phép chia sau:
a) \( \dfrac{2+i}{3-2i}\);
b) \( \dfrac{1+i\sqrt{2}}{2+i\sqrt{3}}\)
c) \( \dfrac{5i}{2-3i}\)
d) \( \dfrac{5-2i}{i}\)
Câu 2: Thực hiện các phép tính sau:
a) \({{(2 + i) + (1 + i)(4 - 3i)} \over {3 + 2i}}\)
b) \({{(3 - 4i)(1 + 2i)} \over {1 - 2i}} + 4 - 3i\)
Câu 3: Tìm nghịch đảo \( \dfrac{1}{z}\) của số phức \(z\), biết:
a) \(z = 1 + 2i\)
b) \(z = \sqrt2 - 3i\)
c) \(z = i\)
d) \(z = 5 + i\sqrt3\)
Câu 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) \((3 + 4i)x = (1 + 2i)(4 + i)\)
b) \(2ix + 3 = 5x + 4i\)
c) \(3x(2 – i) +1 = 2ix(1 + i) + 3i\)
Câu 5: Chứng minh rằng:
a) \(\overline {({{{z_1}} \over {{z_2}}})} = {{{{\bar z}_1}} \over {{{\bar z}_2}}}\)
b) \(|{{{z_1}} \over {{z_2}}}| = {{|{z_1}|} \over {|{z_2}|}}\)
3.2. Bài tập tắc nghiệm
Câu 1: Viết số phức \(\frac{1}{{{z^3}}}\) ở dạng \(a + bi\) với \(a,b\in\mathbb{R}\) biết \(z=1+i\).
A. \(\frac{1}{{{z^3}}} = \frac{1}{2}i\)
B. \(\frac{1}{{{z^3}}} = - \frac{1}{4} - \frac{1}{4}i\)
C. \(\frac{1}{{{z^3}}} = - \frac{1}{2}i\)
D. \(\frac{1}{{{z^3}}} = i\)
Câu 2: Cho số phức z thỏa \(\frac{{5(\overline z + i)}}{{z + i}} = 2 - i\). Tìm số phức \(\omega = 1 + z + {z^2}.\)
A. \(\omega = - 2 - 3i\)
B. \(\omega = 2 + 3i\)
C. \(\omega = 2 - 3i\)
D. \(\omega = - 2 + 3i\)
Câu 3: Cho số phức \(z = - 3 - 4i.\) Tìm mô đun của số phức \(w = iz + \frac{{25}}{z}.\)
A. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt 2\)
B. \(\left| {\rm{w}} \right| = 2\)
C. \(\left| {\rm{w}} \right| =5\)
D. \(\left| {\rm{w}} \right| = \sqrt 5\)
Câu 4: Cho số phức z=12-5i. Mô đun của số phức Z là :
A. 17
B. 13
C. 7
D. 5
Câu 5: Số nào trong các số sau là số thuần ảo ?
A. \({(2 + 2i)^2}\)
B. \((\sqrt 2 + 3i) + (\sqrt 2 - 3i)\)
C. \((\sqrt 2 + 3i).(\sqrt 2 - 3i)\)
D. \(\frac{{2 + 3i}}{{2 - 3i}}\)
3.3. Trắc nghiệm Online
Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Phép chia số phức Toán 12 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.
4. Kết luận
Qua bài học này giúp các em học sinh biết được một số nội dung chính như sau:
- Nắm được các phép tính về tổng và tích của hai số phức liên hợp
- Hiểu được phép chia hai số phức .
- Thực hiện được các phép tính cộng , trừ , nhân , chia số phức .