Toán 12 Ôn tập chương 3: Nguyên hàm, Tích phân và Ứng dụng

Tìm các nguyên hàm sau:

Tính các tích phân sau:

a)  \(I=\int_{1}^{3}x(3x+2lnx)dx.\)

b)  \(I=\int_{1}^{2}\frac{x^2+ln^2x}{x}dx.\)

c) \(I = \int\limits_{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}^1 {\frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{{{x^2}}}dx} .\)

Hướng dẫn giải

a) \(I=\int_{1}^{2}3x^2dx+\int_{1}^{2}2xlnxdx\)
Đặt \(I_1=\int_{1}^{2}3x^2dx; I_2=\int_{1}^{2}2xlnxdx\)
\(I_1=\int_{1}^{2}3x^2dx=x^3\bigg |^2_1=7.\)
\(I_2=\int_{1}^{2}lnxd(x^2)=(x^2lnx)\bigg|^2_1-\int_{1}^{2}xdx=4ln2- \frac{x^2}{2}\bigg|^2_1=4ln2-\frac{3}{2}.\)
Vậy \(I=I_1+I_2=4ln2-\frac{11}{2}.\)

b) Ta tách tích phân I như sau: \(I=\int_{1}^{2}\frac{x^2+ln^2x}{x}dx=\int_{1}^{2}xdx+\int_{1}^{2}\frac{ln^2x}{x}dx\)
\(I_1=\int_{1}^{2}xdx=\frac{x^2}{2}\bigg|^2_1=\frac{3}{2}\)
\(I_2=\int_{1}^{2}\frac{ln^2x}{x}dx\)
Đặt \(t=lnx\Rightarrow dt=\frac{1}{x}dx\)
Đổi cận: \(x=2\Rightarrow t=ln2;x=1\Rightarrow t=0\)
\(I_2=\int_{0}^{ln2}t^2dt=\frac{t^3}{3}\bigg |^{ln2}_0=\frac{ln^32}{3}\)
Vậy \(I=I_1+I_2=\frac{3}{2}+\frac{ln^32}{3}.\)

c) \(I = \int\limits_{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}^1 {\frac{{\sqrt {1 - {x^2}} }}{{{x^2}}}dx} .\)

Đặt \(x = \cos t,t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow dx = - \sin tdt\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi }{4}\\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \end{array} \right.\)

Khi đó: 

\(\begin{array}{l} I = - \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^0 {\frac{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}t} .\sin t}}{{{{\cos }^2}t}}dt} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\left| {\sin t} \right|.\sin t}}{{{{\cos }^2}t}}dt} \\ = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}t}} - 1} \right)dt} = \left. {\left( {\tan t - t} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = 1 - \frac{\pi }{4}. \end{array}\)

a) \(I = \int\limits {\left( {3x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \,dx\).

b) \(J = \int\limits {\left( {5{{\sin }^2}x - \sin x + 2} \right)\cos x} \,dx\).

Hướng dẫn giải

a) \(I = \int\limits {\left( {3x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \,dx\)

\(I = \int\limits {\left( {3{x^2} - 5x - 2} \right)} \,dx = {x^3} - \frac{{5{x^2}}}{2} - 2x + C.\)

b) \(J = \int\limits {\left( {5{{\sin }^2}x - \sin x + 2} \right)\cos x} \,dx\)

Đặt: \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\) 

Khi đó: \(J = \int\limits {\left( {5{t^2} - t + 2} \right)} \,dt = \frac{{5{t^3}}}{3} - \frac{{{t^2}}}{2} + 2t + C = \frac{5}{3}{\sin ^3}x - \frac{{{{\sin }^2}x}}{2} + 2\sin x + C.\)

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \frac{1}{{1 + \sqrt {4 - 3{\rm{x}}} }},y = 0,x = 0,x = 1\) quay quanh trục Ox. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành.

Hướng dẫn giải

Thể tích cần tìm: \(V = \pi \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{{\left( {1 + \sqrt {4 - 3x} } \right)}^2}}}}\)

Đặt:\(t = \sqrt {4 - 3x} \Rightarrow dt = - \frac{3}{{2\sqrt {4 - 3x} }}dx \Leftrightarrow dx = - \frac{2}{3}tdt\left( {x = 0 \Rightarrow t = 2;x = 1 \Rightarrow t = 1} \right)\)

Khi đó: 

\(\begin{array}{l} V = \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^2 {\frac{t}{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}}dt} = \frac{{2\pi }}{3}\int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{1 + t}} - \frac{1}{{{{\left( {1 + t} \right)}^2}}}} \right)dt} \\ = \left. {\frac{{2\pi }}{3}\left( {\ln \left| {1 + t} \right| + \frac{1}{{1 + t}}} \right)} \right|_1^2 = \frac{\pi }{9}\left( {6\ln \frac{3}{2} - 1} \right). \end{array}\)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2 + x, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 1.

Hướng dẫn giải

Diện tích hình phẳng cần tính là: \(S=\int_{0}^{1}\left | x^2+x \right |dx\)
Với \(x\in [0;1]\Rightarrow S=\int_{0}^{1}(x^2+x)dx\)
Suy ra \(S=(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2})\bigg |^1_0=\frac{5}{6}.\)
Vậy \(S=\frac{5}{6}\).

Câu 1:  Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f(x)=(x-1)(1-2x)(1-3x)\)

b) \(f(x)=sin4xcos^22x\)

c) \(f(x)=\frac{1}{1-x^2}\)

d) \(f(x)=(e^x-1)^3\)

Câu 2: Tính:

a) \(\int (2-x)sinxdx\)

b) \(\frac{\int (x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\)

c) \(\int \frac{e^{3x+1}}{e^x+1}dx\)

d) \(\int \frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\)

e) \(\int \frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}dx\)

g) \(\int \frac{1}{(1+x)(2-x)}dx\)

Câu 3: Tính

a) \(\int_{3}^{0}\frac{x}{\sqrt{1+x}}dx\)

b) \(\int_{1}^{64} \frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}dx\)

c) \(\int_{0}^{2} x^2.e^{3x}dx\)

d) \(\int_{0}^{\pi} \sqrt{1+sin2x}dx\)

Câu 4: Tính

a) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos2xsin^2xdx\)

b) \(\int_{-1}^{1}\left | 2^2-2^{-x} \right |dx\)

c) \(\int_{-1}^{2} \frac{(x+1)(x+2)(x+3)}{x^2}dx\)

d) \(\int_{-1}^{\frac{\pi }{2}} (sinx+cosx)^2dx\)

e) \(\int_{-1}^{\pi } (x+sinx)^2dx\)

Câu 5: Xét hình phẳng D giới hạn bởi \(y=2\sqrt{1-x^2}\) và \(y=2(1-x)\)

a) Tính diện tích hình D

b) Quay hình D xung quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành

Câu 1: Biết \(F\left( x \right) = \left( {ax + b} \right).{e^x}\) là nguyên hàm của hàm số \(y = \left( {2x + 3} \right).{e^x}.\) Tính tổng a + b.

A. a+b=2

B. a+b=3

C. a+b=4

D. a+b=5

Câu 2: Trong các tích phân sau, tích phân nào không có cùng giá trị với \(I = \int\limits_1^2 {{x^3}\sqrt {{x^2} - 1} dx} .\)

A. \(\frac{1}{2}\int_1^2 {t\sqrt {t - 1} dt}\)

B. \(\frac{1}{2}\int_1^4 {t\sqrt {t - 1} dt}\)

C. \(\int_0^{\sqrt 3 } {\left( {{t^2} + 1} \right){t^2}dt}\)

D. \(\int_0^{\sqrt 3 } {\left( {{x^2} + 1} \right){x^2}dx}\)

Câu 3: Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho biểu thức \(P = n\ln n - \int_1^n {\ln xdx}\) có giá trị không vượt quá 2017.

A. 2017

B. 2018

C. 4034

D. 4036

Câu 4: Hàm số nào sau đây không phải làm nguyên hàm của hàm số  \(f(x) = 2\sin 2x.\)

A. \(F(x) = 2{\sin ^2}x\)

B. \(F(x) = - 2{\cos ^2}x\)

C. \(F(x) = - 1 - \cos 2x\)

D. \(F(x) = - 1 - 2\cos x\sin x\)

Câu 5: Cho hàm số \(f(x) = \frac{a}{{{{(x + 1)}^3}}} + bx{e^x}.\) Tìm a và b biết rằng \(f'(x) = - 22\) và \(\int\limits_0^1 {f(x)dx = 5.}\)

A. \(a = - 2;b = - 8\)

B. \(a = 2;b =8\)

C. \(a =8;b =2\)

D. \(a =-8;b =-2\)

Qua bài học này giúp các em học sinh nắm được một số nội dung chính như sau:

• Hiểu được định nghĩa nguyên hàm của hàm số trên K, phân biệt rõ một nguyên hàm với họ nguyên hàm của một hàm số.
• Biết các tính chất cơ bản của nguyên hàm.
• Nắm được các phương pháp tính nguyên hàm.
• Tìm được nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm và các tính chất của nguyên hàm.
• Sử dụng phương pháp đổi biến số, phương pháp tính nguyên hàm từng phần để tính nguyên hàm.