Toán 12 Chương 4 Bài 1: Số phức

- Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a, b \in \mathbb R\) và \(i^2 =-1\))

- Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di ⇔ a = c\) và \(b = d\)

- Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bởi điểm \(M(a;b)\) trên mặt phẳng toạ độ.

- Độ dài của \(\overrightarrow {OM} \) là môđun của số phức z, kí hiệu là \(|z| = \overrightarrow {OM}  = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

- Số phức liên hợp của \(z = a + bi\) và \( \overline z= a - bi\).

Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có \(\mathbb{R}\subset \mathbb{C}.\)

Số phức \(bi\)(\(b\in\mathbb{R}\)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0).

Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo.

Số phức viết dưới dạng \(z = a + bi(a,b\in\mathbb{R})\) gọi là dạng đại số của số phức.

Ta có:

​\(\left| {\overline z } \right| = \left| z \right|\).

\(z = \overline z \Leftrightarrow z\) là số thực.

\(z = - \overline z \Leftrightarrow z\) là số ảo.

Tìm số phức z biết:

a) \(\left| z \right| = 5\) và \(z = \overline z\).

b) \(\left| z \right| = 4\) và \(z = -\overline z.\)

c) \(\left| z \right| = 6\) và phần thực của số phức z bằng ba lần phần ảo của z.

Hướng dẫn giải

Gọi số phức z cần tìm là \(z=x+yi\) suy ra: \(\overline z = x - yi\)

a) Ta có: \(z = \overline z\) nên \(x + yi = x - yi \Leftrightarrow 2yi = 0 \Leftrightarrow y = 0.\)

Mà \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{x^2}} = 5 \Leftrightarrow x = \pm 5.\)

Vậy số phức cần tìm là z=5; z=-5.

b) Ta có: \(z = -\overline z\) nên \(x + yi = -x + yi \Leftrightarrow 2x = 0 \Leftrightarrow x= 0.\)

Mà \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{y^2}} = 4 \Leftrightarrow y = \pm 4.\)

Vậy số phức z cần tìm là z=4i; z=-4i.

c) Phần thực của số phức z là x và phần ảo là y nên x=3y. Do đó ta có:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 3y\\ \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 3y\\ {\left( {3y} \right)^2} + {y^2} = 36 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 3y\\ {y^2} = \frac{{18}}{5} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = \frac{{3\sqrt {10} }}{5};x = \frac{{9\sqrt {10} }}{5}\\ y = - \frac{{3\sqrt {10} }}{5};x = - \frac{{9\sqrt {10} }}{5} \end{array} \right. \end{array}\)

vậy ta có \(z = \frac{{9\sqrt {10} }}{5} + \frac{{3\sqrt {10} }}{5}i;\,\,z = - \frac{{9\sqrt {10} }}{5} - \frac{{3\sqrt {10} }}{5}i.\)

Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện:

a) Phần thực của \(z\) bằng \(-2\)

b) Phần ảo của \(z\) bằng \(3\)

c) Phần thực của \(z\) thuộc khoảng \((-1; 2)\)

d) Phần ảo của \(z\) thuộc đoạn \([1; 3]\)

Hướng dẫn giải

a) Giả sử \(z = x + yi\) (\(x, y \in \mathbb R\)), khi đó trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), điểm \(M(x;y)\) biểu diễn số phức \(z\).

Phần thực của \(z\) bằng \(-2\), tức là \(x = -2, \, y \in R\).

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng \(x = -2\) trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) 

b) Giả sử \(z = x + yi\) (\(x, y \in \mathbb R\)), khi đó trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), điểm \(M(x;y)\) biểu diễn số phức \(z\).

Phần ảo của số phức \(z\) bằng \(3\) nên \(x \in R\) và \(y = 3.\)

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng \(y = 3\) trên mặt phẳng \(Oxy\).

c) Giả sử \(z = x + yi\) (\(x, y \in \mathbb R\)), khi đó trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), điểm \(M(x;y)\) biểu diễn số phức \(z\).

Ta có \(x \in (-1;2)\) và \(y \in \mathbb R\).

Vậy tập hợp số phức \(z\) cần tìm là các điểm nằm giữa hai đường thẳng \(x = -1\) và \(x = 2\) trên mặt phẳng \(Oxy\) 

d) Giả sử \(z = x + yi\) (\(x, y \in \mathbb R\)), khi đó trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), điểm \(M(x;y)\) biểu diễn số phức \(z\).

Ta có \(x \in \mathbb R\) và \(y \in [1;3]\)

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là phần mặt phẳng nằm giữa hai đường thẳng \(y = 1\) và \(y = 3\) (kể cả các điểm trên hai đường đó). 

Tìm số thực x, y thỏa mãn:

a) \(5x + y + 5xi = 2y - 1 + (x - y)i.\)

b) \(\left( { - x + 2y} \right)i + \left( {2x + 3y + 1} \right) = \left( {3x - 2y + 2} \right) + \left( {4x - y - 3} \right)i\)

Hướng dẫn giải

a) \(\begin{array}{l} 5x + y + 5xi = 2y - 1 + (x - y)i\\ \Leftrightarrow (3x + y) + 5xi = (2y - 1) + (x - y)i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x + y = 2y - 1\\ 5x = x - y \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - \frac{1}{7}.\\ y = \frac{4}{7}. \end{array} \right. \end{array}\)

b) Ta có: \(\left( { - x + 2y} \right)i + \left( {2x + 3y + 1} \right) = \left( {3x - 2y + 2} \right) + \left( {4x - y - 3} \right)i\)  khi:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - x + 2y = 4x - y - 3}\\ {2x + 3y + 1 = 3x - 2y + 2} \end{array}} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {5x - 3y = 3}\\ {x - 5y = - 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \frac{9}{{11}}}\\ {y = \frac{4}{{11}}} \end{array}} \right.\)

Câu 1: Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(z\), biết:

a) \(z = 1 - πi\)

b) \(z = \sqrt 2 - i\)

c) \(z = 2\sqrt 2\)

d) \(z = -7i\)

Câu 2: Tìm các số thực \(x, y\) thỏa màn:

a) \(2x + 1 + (1 – 2y)i\) \( = 2 – x + (3y – 2)i\)

b) \(4x + 3 + (3y – 2)i \) \( = y  +1 + (x – 3)i\)

c) \(x + 2y + (2x – y)i \) \( = 2x + y + (x  + 2y)i\)

Câu 3: Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện

a) Phần thực của \(z\) bằng \(-2\)

b) Phần ảo của \(z\) bằng \(3\)

c) Phần thực của \(z\) thuộc khoảng \((-1; 2)\)

d) Phần ảo của \(z\) thuộc đoạn \([1; 3]\)

Câu 4: Cho hai số phức \(\alpha  = a + bi,\beta  = c + di\). Hãy tìm điều kiện của \(a, b, c , d\) để các điểm biểu diễn \(\alpha \) và \(\beta \) trên mặt phẳng tọa độ:

a) Đối xứng với nhau qua trục \(Ox\);

b) Đối xứng với nhau qua trục \(Oy\);

c) Đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ ba;

d) Đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.

Câu 5: Trên mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện:

a) Phần thực của \(z\) bằng phần ảo của nó ;

b) Phần thực của \(z\) là số đối của phần ảo của nó ;

c) Phần ảo của \(z \) bằng hai lần phần thực của nó cộng với \(1\);

d) Modun của \(z\) bằng \(1\), phần thực của \(z\) không âm.

Câu 1: Tìm điểm biểu diễn của số phức \(z = 5 - 3i\) trên mặt phẳng phức.

A. \(M\left( {5; - 3} \right)\)

B.  \(N\left( { - 3;5} \right)\)

C.  \(P\left( { - 5;3} \right)\)

D.  \(Q\left( {3; - 5} \right)\)

Câu 2: Xác định tập hợp các điểm trong hệ tọa độ vuông góc biểu diễn số phức \(z = x + iy\) thỏa mãn điều kiện \(\left| z \right| = 2\).

A. Đường tròn \({x^2} + {y^2} = 4\)

B. Đường thẳng y=2

C. Đường thẳng x=2

D. Hai đường thẳng x=2 và y=2

Câu 3: Cho số phức \(z = ax + bi\,\left( {a,b \in R} \right)\), mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Đối với số phức z, a là phần thực.

B. Điểm \(M\left( {a,b} \right)\) trong một hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng phức được gọi là điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi\).

C. Đối với số phức z, bi là phần ảo.

D. Số  i được gọi là đơn vị ảo.

Câu 4: Tìm mệnh đề sai trong các mênh đề sau:

A. Số phức  z=a+bi đuợc biểu diễn bằng đỉểm M(a;b) trong mặt phẳng phức Oxy

B. Số phức z=a+bi có môđun là \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) 

C. Số phức z=a+bi=0 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 0\\ b = 0 \end{array} \right.\) 

D. Số phức z=-a+bi có số phức liên hợp là z=-a+bi 

Câu 5: Cho số phức z=a+bi . Số phức \(z^2\) có phần ảo là : 

A. ab

B. \(2a^2b^2\)

C. \(a^2b^2\)

D. 2ab

Câu 6: Cho số phức z = 2 – 2i. Tìm khẳng định sai

A. Phần thực của z là 2.

B. Phần ảo của z là -2.

C. Số phức liên hợp của z là \(\overline z  =  - 2 + 2i\)

D. \(\left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = 2\sqrt 2 \)

Qua bài học này giúp các em nắm được một số nội dung chính như sau:

• Hiểu được số phức , phần thực phần ảo của nó; hiểu được ý nghĩa hình học của khái niệm môđun, số phức liên hợp, hai số phức bằng nhau.
• Biết biểu diễn số phức trên mặt phẳng toạ độ
• Xác định được môđun của số phức , phân biệt được phần thực và phần ảo của số phức.
• Biết cách xác định được điều kiện để hai số phức bằng nhau.