Toán 12 Chương 4 Bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

Các căn bậc hai của số thực \(a<0\) là \(\pm i\sqrt a.\)

Xét phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\) với \(a,b,c\in \mathbb{R},a\ne0.\)

Đặt \(\Delta=b^2-4ac\)

• Nếu \(\Delta=0\) thì phương trình có một nghiệm kép (thực) \(x=-\frac{b}{2a}.\)
• Nếu \(\Delta>0\) thì phương trình có hai nghiệm thực \(x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt \Delta}{2a}.\)
• Nếu \(\Delta<0\) thì phương trình có hai nghiệm phức \({x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm i\sqrt {\left| \Delta \right|} }}{{2a}}.\)

Trên \(\mathbb{C}\), mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt).

Tổng quát, mọi phương trình bậc \(n\) \((n\in\mathbb{N}^*)\)đều có \(n\) nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phải phân biệt). 

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) \(\,\,({z^2} - z)(z + 3)(z + 2) = 10\)

b) \(\,\,{(z + 3)^4} + {(z + 5)^4} = 2\)

c) \(\,\,{({z^2} + 3z + 6)^2} + 2z({z^2} + 3z + 6) - 3{z^2} = 0\)

Hướng dẫn giải

a) \(\,\,({z^2} - z)(z + 3)(z + 2) = 10\)

\(\Leftrightarrow {\left( {{z^2} - 2z} \right)^2} + 7\left( {{z^2} - 2z} \right) + 10 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {z^2} - 2z = - 2\\ {z^2} - 2z = - 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 1 \pm i\\ z = 1 \pm 2i \end{array} \right..\)

b) \(\,\,{(z + 3)^4} + {(z + 5)^4} = 2\)

Đặt \({\rm{t}} = z + {\rm{4}}\), khi đó phương trình trở thành:

\({(t - 1)^4} + {(t + 1)^4} = 2 \Leftrightarrow {t^4} + 6{t^2} = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {t^2} = 0\\ {t^2} + 6 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 0\\ t = \pm \sqrt 6 i \end{array} \right.\)

Với \({\rm{t }} = {\rm{ }}0 \Rightarrow z = - 4.\)

Với \({\rm{t }} = {\rm{ }}\sqrt[{}]{6}i \Rightarrow z = - 4 + \sqrt[{}]{6}i.\)

Với \({\rm{t }} = {\rm{ - }}\sqrt[{}]{6}i \Rightarrow z = - 4 - \sqrt[{}]{6}i.\)

c) \(\,\,{({z^2} + 3z + 6)^2} + 2z({z^2} + 3z + 6) - 3{z^2} = 0\)

 Đặt \(t = {z^2} + 3z + 6\), khi đó phương trình trở thành:

\({t^2} + 2zt - 3{z^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = z\\ t = - 3z \end{array} \right.\)

Với  \(t = z \Rightarrow {z^2} + 3z + 6 = z \Leftrightarrow z = - 1 \pm \sqrt 5 i.\)

Với  \(t = - 3z \Rightarrow {z^2} + 3z + 6 = - 3z \Leftrightarrow z = - 3 \pm \sqrt 3.\)

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) \(\,\,{z^2} + 2z + 5 = 0\)

b) \({z^3} + 8 = 0\)

c) \(z^3-27=0\)

d) \(\,\,{z^4} - {z^3} + 6{z^2} - 8z - 16 = 0\)

Hướng dẫn giải

a) \(\,\,{z^2} + 2z + 5 = 0\)

Ta có: \({\Delta '} = - \,4 = 4{i^2} \Rightarrow z = - 1 \pm 2i\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm: \(z=-1+2i;z=-1-2i.\)

b) \({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {z^3} + 8 = 0 \Leftrightarrow (z + 2)({z^2} - 2z + 4) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = - 2\\ {z^2} - 2z + 4 = 0\,(*) \end{array} \right.\)

Giải (*): 

Ta có: \(\Delta ' = - 3 = 3{i^2}\). Vậy (*) có hai nghiệm phức: \(z = 1 \pm \sqrt 3 i.\)

Vậy phương trình có 3 nghiệm phức: \(z=-2;z=1+\sqrt 3i;z=1-\sqrt3i.\)

c) \({z^3} - 27 = 0 \Leftrightarrow \left( {z - 3} \right)\left( {{z^2} + 3z + 9} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = 3\\ {z^2} + 3z + 9 = 0\,(*) \end{array} \right.\)

Giải (*):

Ta có: \(\Delta = - 27 = 27i^2\). Vậy (*) có hai nghiệm phức: \(z =\frac{-3\pm 3\sqrt3i}{2}.\)

Vậy phương trình có 3 nghiệm phức: \(z=3;z=\frac{-3+3\sqrt3i}{2};z=\frac{-3-3\sqrt3i}{2}.\)

d) \(\,\,{z^4} - {z^3} + 6{z^2} - 8z - 16 = 0 \Leftrightarrow (z + 1)(z - 2)({z^2} + 8) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z = - 1\\ z = 2\\ z = \pm 2\sqrt 2 i \end{array} \right.\)

Câu 1: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) \( - 3{z^2} +2z - 1 = 0\)

b) \(7{z^2} + {\rm{ }}3z + 2 = 0\)

c) \(5{z^2} -7z+ 11=  0\) 

Câu 2: Biết \(z_1\) và \(z_2\) là hai nghiệm của phương trình \(2{{x}^{2}}+\sqrt{3}x+3=0\). Hãy tính :

\(\begin{align} & a)\,z_{1}^{2}+z_{2}^{2} \\ & b)z_{1}^{3}+z_{2}^{3} \\ & c)z_{1}^{4}+z_{2}^{4} \\ & d)\dfrac{{{z}_{1}}}{{{z}_{2}}}+\dfrac{{{z}_{2}}}{{{z}_{1}}} \\ \end{align} \)

Câu 3: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) \({z^4} + {z^2}-6= 0\)

b) \({z^4} + 7{z^2} + 10 = 0\)

Câu 4: Cho \(a, b, c \in \mathbb R\), \(a \ne 0\), \(z_1\) và \(z_2\) là hai nghiệm của phương trình \(a{z^2} + {\rm{ }}bz{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Hãy tính \({z_1} + {z_2}\) và \({z_1} {z_2}\) theo các hệ số \(a, b, c\). 

Câu 5: Chứng minh rằng hai số phức liên hợp \(z \) và \(\overline{z} \) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.

Câu 6: Cho \(z = a + bi\) là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận \(z\) và \( \overline{z}\) làm nghiệm

Câu 1: Biết \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \(2{z^2} + \sqrt 3 z + 3 = 0\). Tính \(z_1^2 + z_2^2\).

A.  \(-\frac{9}{4}\)

B.  \(\frac{8}{3}\)

C.  \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

D.   \(\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}\)

Câu 2: Kí hiệu \(z_0\) là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình \(4{z^2} - 16z + 17 = 0.\)Trên mặt phẳng toạ độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức \({\rm{w}} = i{z_0}?\)

A.  \({M}\left( {\frac{1}{2};2} \right).\)

B. \({M}\left( {-\frac{1}{2};2} \right).\)

C.  \({M}\left( {-\frac{1}{4};1} \right).\)

D. \({M}\left( {\frac{1}{4};1} \right).\)

Câu 3: Gọi \(z_1,z_2\) là các nghiệm phức của phương trình \(z^2+4z+5=0\). Đặt  \({\rm{w}} = {\left( {1 + {z_1}} \right)^{100}} + {\left( {1 + {z_2}} \right)^{100}}.\) Tìm w.

A. \({\rm{w}} = {2^{51}}\) 

B.  \({\rm{w}} = {2^{50}}i\)

C.  \({\rm{w}} =- {2^{51}}\) 

D.  \({\rm{w}} = -{2^{50}}i\)

Câu 4: Tính S là tổng các nghiệm phức của phương trình \({z^3} - 8 = 0.\)

A.  \(S=0\)

B.  \(S=i\)

C.  \(S=2i\sqrt3\)

D.  \(S=1\)

Câu 5: Trong các khẳng  định sau , khẳng định nào không đúng :

A. Tập hợp số thực là tập con của số phức 

B. Nếu tổng của 2 số phức là số thực thì cả 2 số ấy đều là số thực 

C. Hai số phức đối nhau có hình biểu diễn là hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O 

D. Hai số phức liên hợp có hình biểu diễn là hai điểm đối xứng nhau trục Ox.

Câu 6: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa \(\left| z \right| = \sqrt 2 \) và  \(z^2\) là số thuần ảo 

A. \(\left\{ \begin{array}{l} a = \pm 1\\ b = \pm 1 \end{array} \right.\)

B. \(\left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = 1 \end{array} \right.\)

C. \(\left\{ \begin{array}{l} a =- 1\\ b = -1 \end{array} \right.\)

D. \(\left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b =- 1 \end{array} \right.\)

Qua bài học này giúp các em học sinh biết được một số nội dung chính như sau:

• Nắm được căn bậc hai của một số thực âm; cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực trong mọi trường hợp đối với Δ
• Biết tìm được căn bậc 2 của một số thực âm và giải phương trình bậc hai với hệ số thực trong mọi trường hợp đối với Δ