Toán 12 Chương 3 Bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian

a) Phương trình tham số của đường thẳng

Trong không gian, đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(M(x_0,y_0,z_0)\) và nhận vectơ \(\vec u=(a,;b;c)\) làm Vectơ chỉ phương (VTCP) có phương trình tham số là: 

\(\Delta: \left\{\begin{matrix} x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct \end {matrix}\right.(t\in\mathbb{R})\) (t được gọi là tham số).

Nếu \(a,b,c \ne 0\) thì ta có phương trình \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}=t\).

Hay \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta\).

b) Một số cách xác định Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Nếu \(\Delta _1 //\Delta 2\), \(\overrightarrow{u_1}\) là 1 VTCP của \(\Delta _1\) thì \(\overrightarrow{u_1}\) là 1 VTCP của \(\Delta _2\).

Nếu \(\Delta _1\perp \Delta _2\), \(\overrightarrow{u_1}\) là 1 VTCP của \(\Delta _1\), \(\overrightarrow{u_2}\) là 1 VTCP của \(\Delta _2\) thì \(\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}=0.\)

Nếu đường thẳng \(\Delta\) có VTCP \(\vec u\), tồn tại hai vectơ \(\vec u_1\) và \(\vec u_2\) sao cho \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{u_1}\\ \overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{u_2} \end{matrix}\right.\) thì \(\overrightarrow{u}=\left [ \overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2} \right ]\) là một VTCP của \(\Delta\).

Cho đường thẳng \(\Delta\) và mặt phẳng (P) sao cho: \(\bigg \lbrack \begin{matrix} \Delta \subset (P)\\ \Delta // (P) \end{matrix}\). Gọi \(\overrightarrow{u}\) là một VTCP \(\Delta\), \(\overrightarrow{n_P}\) là VTPT của (P) thì \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n_P}=0.\)

Nếu \(A,B\in \Delta\) thì \(\overrightarrow{AB}\) là một VTCP của \(\Delta\).

Trong không gian cho hai đường thẳng:  \(\Delta _1\) đi qua M1 và có một VTCP \(\overrightarrow{u_1}\), \(\Delta _2\) đi qua M2 và có một VTCP \(\overrightarrow{u_2}\).

Khi đó Vị trí tương đối giữa \(\Delta _1\) và \(\Delta _2\) được xác định như sau:

\(\Delta _1\) và \(\Delta _2\) chéo nhau \(\Leftrightarrow \left [ \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right ]. \overrightarrow{M_1.M_2}\neq 0\).

\(\Delta _1\) và \(\Delta _2\) cắt nhau \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left [ \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right ]. \overrightarrow{M_1.M_2}= 0\\ \overrightarrow{u_1}\neq k. \overrightarrow{u_2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\).

\(\Delta _1\) // \(\Delta _2\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u_1}=k.\overrightarrow{u_2}\\ M_1\in \Delta _1, M_1\notin \Delta _2 \end{matrix}\right.\).

\(\Delta _1\equiv \Delta _2 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u_1}=k.\overrightarrow{u_2}\\ M_1\in \Delta _1, M_1\in \Delta _2 \end{matrix}\right.\).

Trong không gian cho hai đường thẳng \(\Delta _1\) có một VTCP \(\overrightarrow{u_1}=(a_1;b_1;c_1)\), \(\Delta _2\) có một VTCP \(\overrightarrow{u_2}=(a_2;b_2;c_2)\)​, khi đó:

\(cos(\Delta _1;\Delta _2)=\left | cos(\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}) \right |=\frac{\left | \overrightarrow{u_1}\overrightarrow{u_2} \right |}{ \left | \overrightarrow{u_1} \right |.\left | \overrightarrow{u_2} \right |}\)\(=\frac{\left | a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2 \right |}{\sqrt{a^2_1+b^2_1+c^2_1} .\sqrt{a^2_2+b^2_2+c^2_2}}\)

Nhận xét:

​\(0^0\leq (\Delta _1;\Delta _2)\leq 90^0\).

\(\Delta _1\perp \Delta _2\Leftrightarrow a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0\).

Trong không gian cho đường thẳng \(\Delta\) có một VTCP \(\overrightarrow{u}=(a;b;c)\), mặt phẳng (P) có một VTPT \(\overrightarrow{n}=(A;B;C)\), khi đó:

\(sin(\widehat{\Delta ;(P)})=\left | cos(\overrightarrow{n};\overrightarrow{u}) \right |= \frac{\left | Aa+Bb+Cc \right |}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}.\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)

a) Khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng

Cho điểm M và đường thẳng \(\Delta\) đi qua N và có một VTCP \(\overrightarrow{u}\). Khi đó khoảng cách từ M đến \(\Delta\) xác định bởi công thức:

\(d(M;\Delta )=\frac{\left | \left [ \overrightarrow{NM};\overrightarrow{u} \right ] \right |}{\left | \overrightarrow{u} \right |}\)

b) Khoảng cách từ giữa đường thẳng và mặt phẳng song song 

Cho đường thẳng \(\Delta\) song song với mặt phẳng (P). M là một điểm thuộc đường thẳng \(\Delta\). Khi đó: 

\(d(\Delta;(P))=d(M;(P))\)

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cách 1: Trong không gian cho đường thẳng \(\Delta _1\) đi qua M1 có một VTCP \(\overrightarrow{u_1}\), 

\(\Delta _2\) đi qua M2 có một VTCP \(\overrightarrow{u_2}\). Khi đó:

\(d(\Delta _1;\Delta _2)=\frac{\left | [\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}] .\overrightarrow{M_1M_2}\right |}{[\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}]}\)

Cách 2: Gọi AB là đoạn vuông góc chung \(\Delta _1\), \(\Delta _2\) với\(A\in \Delta _1, B\in \Delta _2\) 

Suy ra: \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_1}=0\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_2}=0 \end{matrix}\right.\). Khi đó: \(d(\Delta _1;\Delta _2)=AB\)

Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a) d đi qua A(1; 2;-3) và B(-2; 2;0).

b) d đi qua  A(-2;4;3) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha):\) 2x-3y–6z+19=0.

c) d đi qua điểm A(2;-5;3) và song song với đường thẳng \(d':\) \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = 3 + 2t\\ z = 5 - 3t \end{array} \right.\).

d) d đi qua điểm M(3;1;5) và song song với hai mặt phẳng \((P):2x+3y-2z+1=0\)

và \((Q): x–3y+z-2=0\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0;1} \right).\)

Do d đi qua A và B nên VTCP của d là \(\overrightarrow u = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0;1} \right)\).

Mặt khác d đi qua A(1; 2;-3).

Suy ra phương trình tham số của d là \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t\\ y = 2\\ z = - 3 + t \end{array} \right.\)

b) VTPT của \((\alpha)\) là \(\vec n = (2; - 3; - 6).\)

Do \(d \bot (\alpha )\) nên d nhận \(\vec u =\vec n=(2;-3;-6)\) là VTCP.

Mặt khác d đi qua  A(-2;4;3).

Suy ra phương trình tham số của d là \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 2 + 2t\\ y = 4 - 3t\\ z = 3 - 6t \end{array} \right.\)

c) VTCP của d' là \(\overrightarrow {u'} = (1;2; - 3).\)

Do d// d’ nên VTCP của d \(\overrightarrow u = \overrightarrow {u'} = (1;2; - 3).\)

Mặt khác d đi qua điểm A(2;-5;3).

Suy ra phương trình tham số của d là \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = - 5 + 2t\\ z = 3 - 3t \end{array} \right.\)   

d) Ta có: \(\overrightarrow {{n_{(P)}}} = (2;3; - 2)\) và \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}} = (1; - 3;1)\) lần lượt là VTPT của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q).

Do: \(\left\{ \begin{array}{l} d//\left( P \right)\\ d//(Q) \end{array} \right.\) nên d có VTCP là: \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = ( - 3; - 4; - 9).\)

Mặt khác: d đi qua điểm M(3;1;5)

Suy ra phương trình tham số của d là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3 - 3t\\ y = 1 - 4t\\ z = 5 - 9t \end{array} \right.\)

Xác đinh trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:

a) \({\rm{d}}:\left\{ \begin{array}{l} x = - 3 + 2t\\ y = - 2 + 3t\\ z = 6 + 4t \end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l} x = 5 + t'\\ y = - 1 - 4t'\\ z = 20 + t' \end{array} \right.\).

b) \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 2 + t\\ z = 3 - t \end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t'\\ y = - 1 + 2t'\\ z = 2 - 2t' \end{array} \right.\). 

Hướng dẫn giải

a) d qua A(-3;-2;6) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {2;3;4} \right).\) 

d’ qua B(5;-1;20) có VTCP \(\overrightarrow {u'} = \left( {1; - 4;1} \right)\).

\(\overrightarrow {AB} = \left( {8;1;14} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4\\ { - 4}&1 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2\\ 1&1 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 1&{ - 4} \end{array}} \right|} \right) = \left( {19;2; - 11} \right).\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {AB} = 19.8 + 2.1 - 11.14 = 152 + 2 - 154 = 0\\ \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {19;2; - 11} \right) \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right.\)

Suy ra d và d' cắt nhau.

b) d qua A(1;2;3) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 1} \right).\) 

d’ qua B(1;-1;2) có VTCP \(\overrightarrow {u'} = \left( {2; 2;-2} \right).\)

\(\overrightarrow {AB} = \left( {0;-3;-1} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ 2&{ - 2} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1\\ { - 2}&2 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 2&2 \end{array}} \right|} \right) = \left( {0;0;0} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {u'} = 2\overrightarrow u \\ \overrightarrow {AB} = \left( {0; - 3; - 1} \right) \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right.\)  

Suy ra d và d' song song với nhau.

Câu 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) trong các trường hợp sau:

a) \(d\) đi qua điểm \(M(5 ; 4 ; 1)\) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}(2 ; -3 ; 1)\) ;

b) \(d\) đi qua điểm \(A(2 ; -1 ; 3)\) và vuông góc với mặt phẳng \((α)\) có phương trình: \(x + y - z + 5 = 0\) ;

c) \(d\) đi qua điểm \(B(2 ; 0 ; -3)\) và song song với đường thẳng \(∆\) có phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x =1+2t\\ y=-3+3t\\ z=4t \end{matrix}\right.\)  ;

Câu 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d\): \(\left\{\begin{matrix} x=2+t  \\ y=-3+2t  \\ z= 1+3t \end{matrix}\right.\) lần lượt trên các mặt phẳng sau:

a) \((Oxy)\) 

b) \((Oyz)\).

Câu 3: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d' trong các trường hợp sau:

a) d: \(\left\{\begin{matrix} x=-3+2t & \\ y=-2+3t& \\ z=6+4t& \end{matrix}\right.\) và     d': \(\left\{\begin{matrix} x=5+t'& \\ y=-1-4t'& \\ z=20+t'& \end{matrix}\right.\) ;

b) d: \(\left\{\begin{matrix} x=1+t& \\ y=2+t& \\ z=3-t& \end{matrix}\right.\) và     d':  \(\left\{\begin{matrix} x=1+2t'& \\ y=-1+2t'& \\ z=2-2t'.& \end{matrix}\right.\)

Câu 4: Tìm \(a\) để hai đường thẳng sau đây cắt nhau: 

\(d:\left\{\begin{matrix} x=1+at & \\ y=t & \\ z= -1+2t & \end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{\begin{matrix} x=1-t' & \\ y=2+2t' & \\ z= 3-t'. & \end{matrix}\right.\)

Câu 5: Tìm số giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((α)\) :

a) d: \(\left\{\begin{matrix} x=12+4t & \\ y=9+3t & \\ z=1+t & \end{matrix}\right.\) và \((α) : 3x + 5y - z - 2 = 0\) ;

b) d:  \(\left\{\begin{matrix} x=1+t & \\ y=2-t & \\ z=1+2t & \end{matrix}\right.\) và \((α) : x + 3y + z+1 = 0\) ;

c) d:  \(\left\{\begin{matrix} x=1+t & \\ y=1+2t & \\ z=2-3t & \end{matrix}\right.\) và \((α) : x + y + z - 4 = 0\)

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;3;-4) và hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{1} {d_2}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{1} .\) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với cả d1 và d2. ​

A.  \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z + 4}}{4}\)

B.  \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z + 4}}{{ - 4}}\)

C.  \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z + 4}}{4}\)

D.  \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z + 4}}{{ - 4}}\)

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{4} = \frac{{z + 3}}{1}\) , điểm\(A\left( {3;2;1} \right).\)

Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua A cắt đồng thời vuông góc với đường thẳng d.

A.  \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 3t\\ y = 2 - 5t\\ z = 1 + 4t \end{array} \right.\)

B.  \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 3t\\ y = 1 - 5t\\ z = 1 + 4t \end{array} \right.\)

C.  \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 9t\\ y = 1 - 10t\\ z = 1 + 22t \end{array} \right.\)

D.  \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 9t\\ y = 2 - 10t\\ z = 1 + 22t \end{array} \right.\)

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 

\(d:\frac{{x + 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{z}{1}\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l} x = - 2 + t\\ y = 2 - t\\ z = 0 \end{array} \right.\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. d song song với d’    

B.  d vuông góc và không cắt d’

C.  d trùng với d’

D. d và d’ chéo nhau

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính khoảng cách d từ điểm A(1;-2;3) đến đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 10}}{5} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 2}}{1}.\)

A. \(d = \sqrt {\frac{{1361}}{{27}}}\)

B.  \(d = 7\)

C.  \(d =\frac{13}{2}\)

D.  \(d = \sqrt {\frac{{1358}}{{27}}}\)

Câu 5: Trong không gian với hệ trục Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A(0;1;2) trên mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z = 0.\)

A. (-1;0;1)

B. (-2;0;2)

C.  (-1;1;0)

D. (-2;2;0)

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(1;0;2) B(2;-1;3). Viết phương trình đường thẳng AB.​​

A. \(AB:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = - t\\ z = 2 + t \end{array} \right.\)

B.  \(AB:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\)

C.  \(AB:x - y + z - 3 = 0\)

D.  \(AB:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{1}\)

Qua bài học này giúp các em học sinh nắm được nội dung chính như sau:

• Dạng phương trình tham số và phương trình chính chắc của đường thẳng trong không gian.
• Xác định được vectơ chỉ phương của đường thẳng trong không gian.
• Xác định được toạ độ một điểm và toạ độ của một vectơ chỉ phương của đường thẳng khi biết phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc của đường thẳng đó.