Toán 12 Chương 4 Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức

Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:

• \(z_1+z_2=(a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i\)
• \(z_1-z_2=(a + bi) - ( c + di) = (a - c) + (b - d)i\)
• \(z_1.z_2=(a + bi)( c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i\)

- Phép cộng và phép nhân số phức được thực hiện tương tự như đối với số thực, với chú ý \(i^2=-1.\)

- Với mọi \(z,z'\in\mathbb{C}\):

• \(z + \overline z = 2a\) (với \(z = a + bi\))        
•  =  + '     
• \(z.\overline z = {\left| z \right|^2} = {\left| {\overline z } \right|^2}\)
• \(\left| {z.z'} \right| = \left| z \right|.\left| {z'} \right|\)     
• \(\left| {z + z'} \right| \le \left| z \right| + \left| {z'} \right|\)              

Tìm số phức \(z\) biết \((2z - i)(1 + i) + (\overline z + 1)(1 - i) = 2 - 2i.\)

Hướng dẫn giải

Cho \(z=a+bi (a,b\in\mathbb{R})\) suy ra \(\overline z = a - bi,\) từ giải thiết bài toán ta có:

\((2a + 2bi - 1)(1 + i) + (a - bi + 1)(1 - i) = 2 - 2i\)

\(\Leftrightarrow 3a - 3b + (a + b - 2)i = 2 - 2i\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a - 3b = 2\\ a + b - 2 = - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{3}\\ b = \frac{{ - 1}}{3} \end{array} \right.\)

Vậy \(z=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i.\)

Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa \(\left| {z - 1 + i} \right|=2.\)

Hướng dẫn giải

Đặt \(z=x+yi (x,y\in\mathbb{R})\) ta có: \(z - 1 + i = (x - 1) + (y + 1)i\)

\(\left| {z - 1 + i} \right|=2\) suy ra: \(\sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y + 1)}^2}} = 2 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} = 4\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1;-1), bán kính R=2.

Cho số phức \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i.\) Tìm các số phức sau \(\overline z\); \(z^2\); \({\left( {\overline z } \right)^3}\); \(1+z+z^2.\)

Hướng dẫn giải

\(z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i \Rightarrow \overline z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i\)

\({z^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i} \right)^2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)

\(\Rightarrow {\left( {\overline z } \right)^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)^2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)

\({\left( {\overline z } \right)^3} = {\left( {\overline z } \right)^2}.\overline z = \left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4} + \frac{1}{2}i + \frac{3}{4}i - \frac{{\sqrt 3 }}{4} = i\)

\(1 + z + {z^2} = 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i + \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2} - \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}i\)

Câu 1: Thực hiện các phép tính sau:

a) \((3 - 5i) + (2 + 4i)\)

b) \((-2 - 3i) + (-1 - 7i)\)

c) \((4 + 3i) - (5 - 7i)\)

d) \((2 - 3i) - ( 5 - 4i)\)

Câu 2: Tính \(α + β, α - β\), biết

a) \(α = 3, β = 2i\)

b) \(α = 1- 2i, β = 6i\)

c) \(α = 5i, β = -7i\)

d) \(α = 15, β = 4- 2i\)

Câu 3: Thực hiện các phép tính sau

a) \((3 - 2i)(2 - 3i)\)

b) \((-1 + i)(3 + 7i)\)

c) \(5(4 + 3i)\)

d) \((-2 - 5i).4i\)

Câu 4: Tính \({i^3},{i^4},{i^5}\)

Nêu cách tính \(i^n\) với \(n\) là một số tự nhiên tuỳ ý.

Câu 5: Tính

a) \((2 + 3i)^2\)

b) \((2 + 3i)^3\)

Câu 1: Cho số phức z, biết \(z - \left( {2 + 3i} \right)\bar z = 1 - 9i\). Tìm phần ảo của số phức z.

A. -1

B. -2

C. 1

D. 2

Câu 2: Tìm số phức z thỏa mãn \(z + z.\overline z = \frac{i}{2}\).

A. \(z = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\)

B. \(z = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i\)

C. \(z= \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i\)

D. \(z = - \frac{1}{2}i\)

Câu 3: Số phức z = 6+7i. Số phức liên hợp của z  có điểm biểu diễn là:

A. (6;7)

B. (6;-7)

C. (-6;7)

D. (-6;-7)

Câu 4: Cho số phức \(z = \left( {{m^2} + m - 2} \right) + \left( {{m^2} - 1} \right)i\,(m \in R)\). Tìm giá trị của m để z là số thuần ảo và khác 0.

A. m=1

B. m=2

C. m=-2

D.  \(m = \pm 1\)

Câu 5: Số phức z = 2-3i có điểm biểu diễn là

A. (2;3)

B. (-2;-3)

C. (2;-3)

D. (-2;3)

Qua bài học này giúp các em học sinh biết được một số nội dung chính như sau:

• Nắm được các công thức và quy tắc cộng trừ và nhân số phức.
• Biết vận dụng các công thức vào giải bài tập về số phức.