Toán 12 Chương 2 Bài 3: Hàm số mũ Hàm số lôgarit

a) Định nghĩa hàm số mũ

Cho số thực dương \(a\) khác 1

Hàm số \(y=a^x\) được gọi là hàm số mũ cơ số \(a\).

b) Tính chất hàm số mũ

Tập xác định: \(\mathbb{R}.\)

Tập giá trị: \((0;+\infty )\)

Với \(a>1\) hàm số \(y=a^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Với \(0

Đồ thị hàm số mũ nhận trục \(Ox\) làm tiệm cận ngang.

c) Đạo hàm của hàm số mũ

Hàm số \(y=e^x\) có đạo hàm với mọi \(x\) và: \(\left ( e^x \right )'=e^x\)

Hàm số \(y=a^x(a>0,a\ne 1)\) có đạo hàm tại mọi \(x\) và: \(\left( {{a^x}} \right)' = {a^x}{\mathop{\rm lna}\nolimits}\)

Đối với hàm hợp

​\(({e^u})' = u'.{e^u}\)

​\(({a^u})' = {a^u}.\ln a.u'\)

a) Định nghĩa hàm số Lôgarit

Cho số thực dương \(a\) khác 1.

Hàm số \(y=\log_ax\) được gọi là hàm số lôgarit cơ số \(a.\)

b) Tính chất hàm số Lôgarit

Tập xác định: \(\left( {0; + \infty } \right).\)

Tập giá trị: \(\mathbb{R}.\)

Với \(a>1\): \(y=\log_ax\) là hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)

Với \(0

Với \(x_1>0,x_2>0\): \(\log_ax_1=\log_ax_2\Leftrightarrow x_1=x_2\)

c) Đạo hàm của hàm số logarit

\(\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}}\)

\(\left( {{{\log }_a}\left| x \right|} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}}\)

\(\left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\)

Đối với hàm hợp

​\(\left( {{{\log }_a}u} \right)' = \frac{{u'}}{{u.\ln a}}\)

​\(\left( {\ln u} \right)' = \frac{{u'}}{{\ln u}}\)

- Nếu \(a > 1\) thì \(\ln a > 0\), suy ra (ax)’ > 0,∀x và (logax)’ > 0, ∀x > 0; 

do đó hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số lớn hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn đồng biến.

Tương tự, nếu \(0 < a< 1\) thì \(\ln a < 0\), (ax)’ < 0 và (logax)’ < 0, ∀x > 0; hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số nhỏ hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn nghịch biến.

- Công thức đạo hàm của hàm số lôgarit có thể mở rộng thành

\( (\ln  |x|)'= \dfrac{1}{x}, ∀x \ne 0\) và (loga|x|)’ = \(\dfrac{1}{x \ln a}\), ∀x\(\ne\) 0.

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y = {\log _2}(25 - 4{x^2})\)

b) \(y = {\log _{2x + 1}}(3x + 1) - 2{\log _{3x + 1}}(2x + 1)\)

c) \(y = {\log _{\sqrt {3x + 2} }}(1 - \sqrt {1 - 4{x^2}} )\)

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện: \(25 - 4{x^2} > 0 \Leftrightarrow - \frac{5}{2} < x < \frac{5}{2}\)

Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left( { - \frac{5}{2};\frac{5}{2}} \right).\)

b) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} 0 < 2x + 1 \ne 1\\ 0 < 3x + 1 \ne 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge - \frac{1}{3}\\ x \ne 0 \end{array} \right.\)

Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left[ { - \frac{1}{3}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}\).

c) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} 0 < 3x + 2 \ne 1\\ 1 - \sqrt {1 - 4{x^2}} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > - \frac{2}{3}\\ x \ne - \frac{1}{3}\\ x \ne 0 \end{array} \right.\)

Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \left( { - \frac{2}{3}; + \infty } \right)\backslash \left\{ { - \frac{1}{3};0} \right\}\).

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) \(y = \left( {{x^2} - 2x + 2} \right){e^x}\)

b) \(y = {2^{{x^2} - 3x}}\)

c) \(y = \frac{{{2^x} - 1}}{{{5^x}}}\)

d) \(y = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\)

Hướng dẫn giải

a) \(y = \left( {{x^2} - 2x + 2} \right){e^x} \Rightarrow y' = \left( {2x - 2} \right){e^x} + \left( {{x^2} - 2x + 2} \right){e^x} = \left( {{x^2}} \right){e^x}\)

b) \(y = {2^{{x^2} - 3x}} \Rightarrow y' = (2x - 3){.2^{{x^2} - 3x}}.\ln 2\)

c) \(y = \frac{{{2^x} - 1}}{{{5^x}}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} - {\left( {\frac{1}{5}} \right)^x} \Rightarrow y' = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x}.\ln \frac{2}{5} - {\left( {\frac{1}{5}} \right)^x}.\ln \frac{1}{5}\)

d) \(y = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}\)

\(\Rightarrow y' = \frac{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right) - \left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)}}{{{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}^2}}} = \frac{4}{{{{\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)}^2}}}\)

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right)\)

b) \(y = \frac{{\ln x}}{x}\)

c) \(y = \left( {1 + \ln x} \right)\ln x\)

d) \(y = {\log _3}(3{x^2} + 2x + 1)\)

Hướng dẫn giải

a) \(y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right) \Rightarrow y' = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\)

b) \(y = \frac{{\ln x}}{x} \Rightarrow y' = \frac{1}{{{x^2}}}\left( {\frac{1}{x}.x - \ln x} \right) = \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}\)

c) \(y = \left( {1 + \ln x} \right)\ln x \Rightarrow y' = \frac{{\ln x}}{x} + \frac{{1 + \ln x}}{x} = \frac{{1 + 2\ln x}}{x}\)

d) \(y = {\log _3}(3{x^2} + 2x + 1)\) \(\Rightarrow y' = \frac{{\left( {3{x^2} + 1x + 1} \right)'}}{{(3{x^2} + 2x + 1).\ln 3}} = \frac{{6x + 2}}{{(3{x^2} + 2x + 1).\ln 3}}\)

Tìm m để hàm số \(y={\log _2}(2{x^2} + 3x + 2m - 1)\) xác định \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(2{x^2} + 3x + 2m - 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Ta có: \(\Delta = {3^2} - 4.2.(2m - 1) = 17 - 16m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{{17}}{{16}}.\)

Vậy với \(m<\frac{17}{16}\) hàm số xác định \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Câu 1: Tính đạo hàm của các hàm số:

a) \(y=2x{{e}^{x}}+3\sin 2x\)

b) \(y=5{{x}^{2}}-{{2}^{x}}\cos x\) 

c) \(y=\dfrac{x+1}{{{3}^{x}}}\)

Câu 2: Tìm tập xác định của các hàm số:

a) \(y={{\log }_{2}}\left( 5-2x \right)\)

b) \(y={{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2x \right)\)

c) \(y=lo{{g}_{\frac{1}{5}}}\left( {{x}^{2}}-4x+3 \right)\) 

d) \(y={{\log }_{0,4}}\dfrac{3x+2}{1-x}\)

Câu 3: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị của mỗi cặp hàm số sau 
a) \(y=2^x\) và \(y=8\)

b) \(y=3^x\) và \(y=\dfrac 1 3\)

c) \(y={{\left( \dfrac{1}{4} \right)}^{x}} \) và \(y=\dfrac 1 {16}\)

Câu 4: Từ đồ thị hàm số \(y=3^x\), hãy vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) \(y=3^x-2\)

b) \( y=3^x+2\)

c) \(y=|3^x-2| \)

d) \(y=2-3^x\)

Câu 5: Vẽ đồ thị của các hàm số:

a) \(y=\log x\)

b) \(y={{\log }_{\frac{1}{2}}}x\)

Câu 1: Kết quả tính đạo hàm nào sau đây sai?

A. \({\left( {{{\log }_3}x} \right)'} = \frac{1}{{x\ln 3}}\)

B. \({\left( {{2^x}} \right)'} = {2^x}\ln 2\)

C. \({\left( {\ln x} \right)'} = \frac{1}{x}\)

D. \({\left( {{e^{5x}}} \right)'} = {e^{5x}}\)

Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln \frac{{x - 1}}{{x + 2}}.\)

A. \(y' = \frac{{ - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\) 

B. \(y' = \frac{3}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

C. \(y' = \frac{3}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\) 

D. \(y' = \frac{{ - 3}}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

Câu 3: Cho các hàm số \(y = {\log _2}x;y = {\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^x};\) \(y = \log {\rm{x}};y = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x}.\)

Trong các hàm số trên, có bao nhiêu hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó?

A. 2

B. 3

C. 1

D. 4

Câu 4: Tìm tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\log _3}\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\).

A. \(D = \left[ { - 2, - 1} \right].\) 

B. \(D = \left( { - \infty , - 2} \right) \cup \left( { - 1, + \infty } \right)\).

C. \(D = \left( { - 2, - 1} \right)\).

D. \(D = \left( { - \infty , - 2} \right] \cup \left[ { - 1, + \infty } \right)\).

Qua bài học này giúp các em học sinh nắm được một số nội dung chính như sau:

• Biết vận dụng tính chất các hàm mũ, hàm lôgarit vào việc so sánh hai số, hai biểu thức chứa mũ, hàm số lôgarit.
• Biết vẽ đồ thị các hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit.
• Tính được đạo hàm các hàm số y = ex, y = lnx