Toán 12 Ôn tập chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

• Sự đơn điệu của hàm số.
• Cực trị của hàm số.
• Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của hàm số.
• Tiệm cận của đồ thị hàm số. 
• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

• Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
• Dạng 2: Định giá trị của tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên TXĐ.

+ Dạng 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số: Dùng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2.

+ Dạng 2: Định giá trị tham số m để hàm số đạt cực trị tại \(x_0.\)

• Tìm tập xác định.
• Tính \(y' \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right).\)
• Lập luận: Hàm số đạt cực đại tại \({x_0} \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = 0\), giải phương trình tìm được m.
• Với từng giá trị m vừa tìm được ta dùng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2 kiểm tra lại xem có thỏa điều kiện đề bài không.
• Kết luận giá trị m thỏa điều kiện.

+ Dạng 3: Định giá trị của tham số m để các hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,(a \ne 0)\) và \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}\,\,(a,m \ne 0)\)cực đại, cực tiểu:

• Tìm tập xác định D.
• Tính \(y'\).
• Tính \(\Delta _{y'}\).
• Lập luận: Hàm số luôn luôn có CĐ, CT khi và chỉ khi phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu hai lần khác nhau khi qua hai nghiệm đó. Phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta _{y'}>0\) giải tìm m.

+ Dạng 4: Định giá trị của tham số m để các hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,(a \ne 0)\) và \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}\,\,(a,m \ne 0)\) không có cực đại, cực tiểu:

• Tìm tập xác định D.
• Tính \(y'\).
• Tính \(\Delta _{y'}\).
• Lập luận: Hàm số không có CĐ, CT khi và chỉ khi phương trình \(y'=0\) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép. Phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta _{y'}\leq 0\) giải tìm m.

+ Dạng 5: Chứng minh với mọi giá trị của tham số m hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\,(a \ne 0)\) luôn luôn có cực đại, cực tiểu.

• Tìm tập xác đinh D.
• Tính \(y'\). 
• Tính \(\Delta _{y'}\) (nếu y’ là tam thức bậc 2 theo x).
• Chứng minh: \(\Delta _{y'}>0\) và y’ đổi dấu hai lần khác nhau khi qua hai nghiệm đó suy ra hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu.

• Tìm GTLN - GTNN của hàm sô trên một khoảng, nửa khoảng.
• Tìm GTLN - GTNN của hàm số trên một đoạn.

• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba.
• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc bốn (trùng phương)
• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất (hàm nhất biến).

• Tìm số giao điểm của hai đường \((C_1):y=f(x)\) và \((C_2):y=g(x).\)
• Biện luận theo m nghiệm của phương trình \(f(x)=m.\)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)=x^2-ln4x\) trên đoạn [1;e].

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định và liên tục trên đoạn [1;e].
\(f'(x)=2x-\frac{4}{x}=\frac{2x^2-4}{x}\); với \(x\in [1;e],f'(x)=0\Leftrightarrow x=\sqrt{2}\)
\(f(1)=1;f(e)=e^2-4;f(\sqrt{2})=2-2ln2\)
Do đó:
\(\underset{x\in [1;e]}{min}f(x)=f(\sqrt{2})=2-2ln2\).
\(\underset{x\in [1;e]}{max}f(x)=f(e)=e^2-4\).

 Cho hàm số: \(y=\frac{1}{3}x^3-mx^2+(m^2-m+1)x+1\). Tìm m để hàm số:
a) Có cực đại và cực tiểu. 
b) Đạt cực đại tại điểm x=1.

Hướng dẫn giải

TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\) 

Đạo hàm: \(y'=x^2-2mx+m^2-m+1\).

a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi: y'=0 có 2 nghiệm phân biệt.
Điều này xảy ra khi: \(\left\{\begin{matrix} a_{y'}\neq 0\\ \Delta '_{y'}>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1\neq 0\\ (-m)^2-(m^2-m+1)>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m-1>0\Leftrightarrow m>1\)
b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1
\(y'=x^2-2mx+m^2-m+1\) và \(y''=2x-2m\)
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} y'(1)=0\\ y''(1)<0 \end{matrix}\right. \ \ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m^2-3m+2=0\\ 2-2m<0 \end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m=1\vee m=2\\ m>1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=2\)
Thử lại với m=2 hàm số đạt cực đại tại x=1.

 Cho hàm số \(y=-x^4+(m+2)x^2-m-1\) có đồ thị (C). Tìm m để đồ thị (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ đều nhỏ hơn 2.

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox:
\(-x^4+(m+2)x^2-m-1=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x^2=1\Leftrightarrow x=\pm 1\\ x^2=m+1 \end{matrix}\) (1)

(C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt 
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m+1>0\\ m+1\neq 1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>-1\\ m\neq 0 \end{matrix}\right.\)
Khi đó: \((1)\Leftrightarrow x=-1\cup x=1\cup x=-\sqrt{m+1}\cup x=\sqrt{m+1}\)
Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow \sqrt{m+1}<2\Leftrightarrow m+1<4\Leftrightarrow m<3\)
So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: \(\left\{\begin{matrix} -1

 Định m để hàm số \(y=x^3+3x^2+(m+1)x+4m\) nghịch biến trên khoảng (-1;1).

Hướng dẫn giải

TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)
Đạo hàm: \(y'=3x^2+6x+m+1\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1) khi và chỉ khi \(y'\leq 0,\forall x\in (-1;1)\)
\(\Leftrightarrow 3x^2+6x+m+1\leq 0, \forall x\in (-1;1) \ \ (1)\)
Xét BPT (1) \(\Leftrightarrow m\leq -3x^2-6x-1=g(x)\)
Xét hàm số  \(g(x), x\in (-1;1)\)
Có: \(g'(x)=-6x-6\leq 0, \forall x\in (-1;1)\)
BBT:

Từ BBT suy ra \(m\leq g(x), \forall x\in (-1;1)\Leftrightarrow m\leq -10\)
Vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng \((-1;1)\) khi và chỉ khi \(m\leq 10.\)

Câu 1: Cho hàm số: \(y = 4{x^3} + mx\) (\(m\) là tham số) (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với \(m = 1\).

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng \(y = 13x + 1\).

c) Xét sự biến thiên của hàm số (1) tùy thuộc giá trị của \(m\).

Câu 2: Cho hàm số \(y = \dfrac{{(a - 1){x^3}}}{3} + a{x^2} + (3a - 2)x\).

a) Xác định \(a\) để hàm số luôn luôn đồng biến.

b) Xác định \(a\) để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

Câu 3: Cho hàm số: \(y = {x^3}-3{x^2}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

b) Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^3}-3{x^2}-m = 0\;\) có ba nghiệm phân biệt.

Câu 4: Cho hàm số: \(y = f\left( x \right) = {x^4}-2m{x^2} + {m^3}-{m^2}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m = 1\).

b) Xác định \(m\) để đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt.

Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\) trên đoạn [0;2].

A. \(M = \frac{2}{5};\,m = 0\)

B. \(M = \frac{1}{2};m = 0\)

C. \(M = 1;m = \frac{1}{2}\)

D. \(M = \frac{1}{2};\,m = - \frac{1}{2}\)

Câu 2: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) biết \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có 2 điểm cực trị tại x=0 và x=1.   

B. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0 và cực đại tại điểm x=1.

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\) và đồng biến trên khoảng (0;1).

D. Hàm số không có điểm cực đại.

Câu 3: Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m - 1} \right)\sin x - 2}}{{\sin x - m}}.\) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\)

A. \(m \in \left( { - 1;2} \right)\)

B. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)

C. \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)

D. \(m \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)

Câu 4: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình \({x^3} + {x^2} + x = m{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}\) có nghiệm thuộc đoạn [0;1].

A. \(m\geq 1\)

B. \(m \leq 1\)

C. \(0\leq m \leq 1\)

D. \(0\leq m \leq \frac{3}{4}\)

Câu 5: Tìm tất cả các điểm cực đại của hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 1.\)

A. \(x=\pm 1\)

B. \(x=- 1\)

C. \(x= 1\)

D. \(x=0\)

Qua bài học này giúp học sinh

• Hiểu định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và mối liên hệ giữa khái niệm này với đạo hàm.
• Nắm được qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
• Biết vận dụng quy tắc xét tính đơn điệu của một hàm số và dấu đạo hàm ủa nó