Toán 12 Ôn tập chương 4: Số phức

• Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a,b\in\mathbb{R}\) và \(i^2=-1\)).
• Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di \Leftrightarrow\) \(a=c\) và \(b=d.\)
• Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ.

Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:

• \(z_1+z_2=(a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i\)
• \(z_1-z_2=(a + bi) - ( c + di) = (a - c) + (b - d)i\)
• \(z_1.z_2=(a + bi)( c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i\)

Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:

\(\frac{{c + di}}{{a + bi}} = \frac{{\left( {c + di} \right)(a - bi)}}{{{a^2} + {b^2}}} = \frac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i\)

(Nhân cả tử và mẫu với \(a - bi\)(số phức liên hợp của mẫu)).

Các căn bậc hai của số thực \(a<0\) là \(\pm i\sqrt a.\)

Xét phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\) với \(a,b,c\in \mathbb{R},a\ne0.\)

Đặt \(\Delta=b^2-4ac\)

• Nếu \(\Delta=0\) thì phương trình có một nghiệm kép (thực) \(x=-\frac{b}{2a}.\)
• Nếu \(\Delta>0\) thì phương trình có hai nghiệm thực \(x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt \Delta}{2a}.\)
• Nếu \(\Delta<0\) thì phương trình có hai nghiệm phức \({x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm i\sqrt {\left| \Delta \right|} }}{{2a}}.\)

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \((1+2i)z+(3+2i)\bar{z}=4+10i.\) Tìm môđun của số phức \(w=z+2\bar{z}.\)

Hướng dẫn giải

Đặt \(z=a+bi(a,b\in R)\Rightarrow \bar{z}=a-bi\)

Ta có \((1+2i)z+(3+2i)\bar{z}=4+10i\)

\(\Leftrightarrow (1+2i)(a+bi)+(3+2i)(a-bi)(a-bi)=4+10i\)

\(\Leftrightarrow 4a+(4a-2b)i=4+10i\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4a=4\\ 4a-2b=10 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=-3 \end{matrix}\right.\)

Do đó \(z= 1- 3i.\)

Ta có: \(w=z+2\bar{z}=1-3i+2(1+3i)=3+3i.\)

Suy ra môđun của w là \(\left | w \right |=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}.\)

Cho hai số phức \(z_1,z_2\) thỏa mãn \(\left |z_1 \right |=\left |z_2 \right |=1,\left |z_1 +z_2 \right | =\sqrt{3}\). Tính \(\left |z_1 -z_2 \right |.\)

Hướng dẫn giải

Đặt: \(z_1=a_1+b_1i;z_2=a_2+b_2i \ (a_1,a_2,b_1,b_2 \in R)\)

\(\left\{\begin{matrix} \left | z_1 \right | =\left | z_2 \right |=1\\ \left | z_1 +z_2\right |=\sqrt{3} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2_1+b^2_1=a^2_2+b^2_2=1\\ (a_1+b_2)^2+(b_1+b_2)^2=2 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow 2(a_1b_1+a_2b_2)=1\Rightarrow (a_1-a_2)^2+(b_1-b_2)^2=1\)

Vậy \(\left | z_1-z_2 \right |=1.\)

Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thoả mãn điều kiện \(z+(2+i)\bar{z}=3+5i.\)

Hướng dẫn giải

Giả sử \(z=a+bi(a,b\in R)\)

Ta có 

\(z+(1+i)\bar{z}=3+5i\Leftrightarrow a+bi+(2+i)(a-bi)=3+5i\)

\(\Leftrightarrow 3a+b+(a-b)i=3+5i\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3a+b=3\\ a-b=5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2\\ b=-3 \end{matrix}\right.\)

Vậy z=2-3i.

Do đó phần thực của z là 2 và phần ảo của z là –3.

Tìm số phức z sao cho (1 +2i)z là số thuần ảo và \(\left | 2.z-\bar{z} \right |=\sqrt{13}\).

Hướng dẫn giải

Giả sử \(z=a+bi \ (a,b\in R)\).

Khi đó \((1+2i)z=(1+2i)(a+bi)=(a-2b)+(2a+b)i.\)

(1 +2i)z là số thuần ảo khi và chỉ khi: \(a-2b=0\Leftrightarrow a=2b\)

\(\left | 2.z-\bar{z} \right |=\left | a+3bi \right |=\left | 2b+3bi \right | =\sqrt{13b^2}=\sqrt{13}\Leftrightarrow b=\pm 1.\)

Vậy có hai số phức thỏa mãn đề bài: \(z=2+i;z=-2-i.\)

Câu 1: Tìm các số thực \(x, y\) sao cho:

a) \(3x + yi = 2y + 1 + (2-x)i\)

b) \(2x + y – 1 = (x – 2y – 5)i\)

Câu 2: Thực hiện các phép tính:

a) (2 + 3i)(3 – i) + (2 – 3i)(3 + i)                       

b) \({{2 + i\sqrt 2 } \over {1 - i\sqrt 2 }} + {{1 + i\sqrt 2 } \over {2 - i\sqrt 2 }}\)

c) \({{(1 + i)(2 + i)} \over {2 - i}} + {{(1 + i)(2 - i)} \over {2 + i}}\)

Câu 3: Thực hiện các phép tính:

a) \({(2 + 3i)^2} - {(2 - 3i)^2}\)                                         

b) \({{{{(1 + i)}^5}} \over {{{(1 - i)}^3}}}\)

Câu 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) (1 + 2i)x – (4 – 5i) = –7 + 3i                 

b) (3 + 2i)x – 6ix = (1 – 2i)[x – (1 + 5i)]

Câu 5: Thực hiện các phép tính sau:

a) \((3 + 2i)[(2 – i) + (3 – 2i)]\)

b) \(\displaystyle (4 - 3i) + {{1 + i} \over {2 + i}}\)

c) \((1 + i)^2 – (1 – i)^2\)

d) \(\displaystyle{{3 + i} \over {2 + i}} - {{4 - 3i} \over {2 - i}}\)

Câu 1: Gọi \(z_1\) và \(z_2\) là các nghiệm của phương trình \({z^2} - 2z + 5 = 0\) trên tập số phức. Tính \(P = {z_1}^4 + {z_2}^4.\) 

A. P=-14

B. P=14

C. P=-14i

D. P=14i

Câu 2: Tính tổng S của các số phức z thỏa \(\frac{{\overline z }}{z} = \frac{3}{5} - \frac{4}{5}i\) biết \(\left| z \right| = \sqrt 5 .\) 

A. S=2

B. S=2i

C. S=i

D. S=0

Câu 3: Phần thực và phần ảo của số phức \(z = {\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)^2}\) là

A. 1 và 3

B. 1 và -3 

C. -2 và \(2\sqrt 3 \)

D. 2 và \(-2\sqrt 3 \)

Câu 4: Môđun của số phức z thỏa mãn điều kiện \(z + \left( {2 - i} \right)\overline z  = 13 - 3i\) là

A. 3

B. 5

C. 17

D. \(\sqrt {17} \)

Câu 5: Môđun của số phức z thỏa mãn điều kiện (3z - \(\overline z \))(1 + i) - 5z = 8i - 1 là

A. 1

B. 5

C. \(\sqrt {13} \)

D. 13

Qua bài học này giúp các em học sinh nắm được một số ý chính như sau:

• Nắm được định nghĩa số phức, phần thực, phần ảo, môđun của số phức. Số phức liên hợp.
• Nắm vững được các phép toán: Cộng, trừ, nhân, chia số phức – Tính chất của phép cộng, nhân số phức.
• Nắm vững cách khai căn bậc hai của số thực âm. Giải phương trình bậc hai với hệ số thực.