Toán 12 Chương 2 Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit
Để giúp các em học sinh lớp 12 học tốt bài Phương trình mũ và phương trình lôgarit eLib xin mời các em cùng tham khảo ngay bài giảng dưới đây. Bài giảng gồm các kiến thức được trình bày cụ thể và chi tiết, cùng với các dạng bài tập minh họa giúp các em dễ dàng nắm vững được trọng tâm bài học.
Mục lục nội dung
1. Tóm tắt lý thuyết
1.1. Các phương pháp giải phương trình mũ
a) Phương trình mũ cơ bản
Phương trình có dạng \({a^x} = b\left( {0 < a \ne 1} \right)\)
+) Với \(b > 0\) ta có \({a^x} = b \Leftrightarrow x = {\log _a}b\).
+) Với \(b \le 0\) phương trình vô nghiệm.
Ví dụ: Giải phương trình \({5^x} = 125\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}{5^x} = 125\\ \Leftrightarrow x = {\log _5}125\\ \Leftrightarrow x = 3\end{array}\)
b) Phương pháp lôgarit hóa
Với \(0 < a \neq 1, log_ab\) là số x sao cho \(a^x=b\)
Với \(a^x=b\Leftrightarrow x=log_ab\)
c) Phương pháp đặt ẩn phụ
Kiểu 1: Đặt ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới
Dạng 1: \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c=0\)
Đặt \(t=m^{f(x)} \ \ \ (t>0)\)
Ta có: \(a.t^2+b.t+c=0\)
Dạng 2: \(a.m^{f(x)}+b.n^{f(x)}+c=0\) trong đó \(m.n=1\)
Đặt \(t=n^{f(x)}\Rightarrow m^{f(x)}=\frac{1}{t} \ (t>0)\)
Ta có: \(a.\frac{1}{t} + b.t + c = 0 \Leftrightarrow a + b.{t^2} + c.t = 0 \Leftrightarrow b.{t^2} + ct + a = 0\).
Dạng 3: \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}.n^{g(x)}+c.n^{2g(x)}=0\)
Chia 2 vế cho \(n^{2g(x)}\) ta có:
\(a.\left (\frac{m^{2f(x)}}{n^{2g(x)}} \right )^2+b.\left (\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} \right )^2+c=0\)
Đặt \(t=\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}}\)
Ta có \(a.t^4+b.t^2+c=0\).
Kiểu 2: Đặt 1 ẩn, nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó
Xem ẩn đầu là tham số
Đưa về phương trình tích
Đưa về hệ phương trình
Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó
Đưa về phương trình tích
Đưa về hệ phương trình
d) Phương pháp hàm số
Xét hàm số \(y=a^x\):
Nếu \(a>1\): \(y=a^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
Tổng của hai hàm số đồng biến (NB) trên D là hàm số đồng biến (NB) trên D.
Tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên D là hàm số đồng biến trên D.
Cho hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\), nếu:
\(f(x)\)đồng biến trên D.
\(g(x)\) nghịch biến trên D.
⇒ \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.
1.2. Các phương pháp giải phương trình lôgarit
a) Phương trình logarit cơ bản
Phương trình có dạng \({\log _a}x = b\) \(\left( {0 < a \ne 1} \right)\)
Ta có: \({\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}\).
Phương trình luôn có nghiệm \(x = {a^b}\).
Ví dụ: Giải phương trình \({\log _5}x = - 2\).
Ta có: \({\log _5}x = - 2 \Leftrightarrow x = {5^{ - 2}} \Leftrightarrow x = \frac{1}{{25}}\).
b) Giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số
Ví dụ: Giải phương trình \({\log _2}x + {\log _4}x = 1\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\log _2}x + {\log _4}x = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}x + \frac{1}{2}{\log _2}x = 1\\ \Leftrightarrow \frac{3}{2}{\log _2}x = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}x = \frac{2}{3}\\ \Leftrightarrow x = {2^{\frac{2}{3}}}\\ \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{4}\end{array}\)
c) Giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ
Ví dụ: Giải phương trình \(\frac{1}{{\ln x}} + \frac{1}{{\ln x - 1}} = \frac{5}{6}\).
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\ln x \ne 0\\\ln x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\\x \ne e\end{array} \right.\)
Đặt \(t = \ln x\left( {t \ne 0,t \ne 1} \right)\) ta được:
\(\begin{array}{l}\frac{1}{t} + \frac{1}{{t - 1}} = \frac{5}{6}\\ \Leftrightarrow \frac{{6t - 6 + 6t}}{{6t\left( {t - 1} \right)}} = \frac{{5t\left( {t - 1} \right)}}{{6t\left( {t - 1} \right)}}\\ \Rightarrow 12t - 6 = 5{t^2} - 5t\\ \Leftrightarrow 5{t^2} - 17t + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = \frac{2}{5}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\ln x = 3\\\ln x = \frac{2}{5}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {e^3}\\x = {e^{\frac{2}{5}}}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {{e^3};{e^{\frac{2}{5}}}} \right\}\).
d) Giải phương trình logarit bằng cách mũ hóa
Ví dụ: Giải phương trình \({\log _3}\left( {3 - {3^x}} \right) = 1 + x\)
ĐK: \(3 - {3^x} > 0 \Leftrightarrow {3^x} < 3 \Leftrightarrow x < 1\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{\log _3}\left( {3 - {3^x}} \right) = 1 + x\\ \Leftrightarrow 3 - {3^x} = {3^{1 + x}}\\ \Leftrightarrow 3 - {3^x} = {3.3^x}\\ \Leftrightarrow 3 = {4.3^x}\\ \Leftrightarrow {3^x} = \frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow x = {\log _3}\frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow x = 1 - {\log _3}4\left( {TM} \right)\end{array}\)
2. Bài tập minh họa
2.1. Dạng bài tập giải phương trình mũ
Câu 1: Giải các phương trình mũ sau (Dùng phương pháp đặt ẩn phụ)
a) \({3.25^x} - {2.5^{x + 1}} + 7 = 0\)
b) \({4^{{x^2} + x}} + {2^{1 - {x^2}}} = {2^{{{(x + 1)}^2}}} - 1\)
Hướng dẫn giải
a) Phương trình \(\Leftrightarrow {3.25^x} - {10.5^x} + 7 = 0\). Đặt \(t = {5^x}\,\left( {t > 0} \right)\)
Khi đó phương trình trở thành: \(3{t^2} - 10t + 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = \frac{7}{3} \end{array} \right.\)
(*) Với \(t = 1 \Rightarrow {5^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\)
(*) Với \(t = \frac{7}{3} \Rightarrow {5^x} = \frac{7}{3} \Leftrightarrow x = {\log _5}\left( {\frac{7}{3}} \right)\)
Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ {0;{{\log }_5}\left( {\frac{7}{3}} \right)} \right\}\).
b) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = {4^{{x^2} + x}}\\ v = {2^{1 - {x^2}}} \end{array} \right.\,,u,v > 0\)
Nhận xét: \(u.v = {4^{{x^2} + x}}{.2^{1 - {x^2}}} = {2^{2({x^2} + x)}}{.2^{1 - {x^2}}} = {2^{{{(x + 1)}^2}}}\)
Khi đó phương trình tương đướng với:
\(u + v = uv + 1 \Leftrightarrow (u - 1)(v - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} u = 1\\ v = 1 \end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {4^{{x^2} + x}} = 1\\ {2^{1 - {x^2}}} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} + x = 0\\ 1 - {x^2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = - 1 \end{array} \right.\).
Câu 2: Giải các phương trình mũ sau (Đưa về cùng cơ số):
a) \({2^{{x^2} + 3x - 2}} = \frac{1}{4}\)
b) \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.\sqrt {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{\frac{8}{x}}}} = \frac{9}{{16}}\)
Hướng dẫn giải
a) \({2^{{x^2} + 3x - 2}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + 3x - 2}} = {2^{ - 2}}\)
\(\Leftrightarrow {x^2} + 3x - 2 = - 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 3 \end{array} \right.\)
Vậy phương trình có hai nghiệm x=0 và x=-3.
b) \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.\sqrt {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{\frac{8}{x}}}} = \frac{9}{{16}}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.{\left( {\frac{4}{3}} \right)^{\frac{4}{x}}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{ - \frac{4}{x}}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} \end{array}\)
\(\Leftrightarrow x - 1 - \frac{4}{x} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_1} = - 1\\ {x_2} = 3 \end{array} \right. \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 3\).
Câu 3: Giải phương trình \({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1\) (Dùng phương pháp lôgarit hóa)
Hướng dẫn giải
Lấy logarit hai vế với cơ số 3, ta được:
\({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1 \Leftrightarrow {\log _3}({3^x}{.2^{{x^2}}}) = {\log _3}1\)
\(\Leftrightarrow x + {x^2}{\log _3}2 = 0 \Leftrightarrow x\left( {1 + x{{\log }_3}2} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 1 + x{\log _3}2 = 0 \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - \frac{1}{{{{\log }_3}2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - {\log _2}3 \end{array} \right.\)
Vậy phương trình có nghiệm: \(x = 0,x = - {\log _2}3\).
2.2. Dạng bài tập giải phương trình lôgarit
Câu 1: Giải phương trình \({\log _{{x^2} - 1}}\left( {2\sqrt 2 } \right) = \frac{1}{2}\) (Dùng phương pháp mũ hóa)
Hướng dẫn giải
Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - 1 > 0}\\ {{x^2} - 1 \ne 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x < - 1 \vee x > 1}\\ {x \ne \pm \sqrt 2 } \end{array}} \right.\)
\(\begin{array}{l} {\log _{{x^2} - 1}}\left( {2\sqrt 2 } \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2\sqrt 2 = {\left( {{x^2} - 1} \right)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {{x^2} - 1} \\ \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 8 \Leftrightarrow x = \pm 3. \end{array}\)
Vậy phương trình có hai nghiệm x=3 và x=-3.
Câu 2: Giải phương trình \(\log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5\) (Đặt ẩn phụ)
Hướng dẫn giải
\(\begin{array}{l} \log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5 \Leftrightarrow {{\rm{[}} - {\log _2}x{\rm{]}}^2} + 4{\mathop{\rm log_2x}\nolimits} = 5\\ \Leftrightarrow \log _2^2x + 4\log_2 x = 5 \end{array}\)
Đặt: \(t = {\log _2}x.\) Phương trình trở thành:
\({t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 5\\ t = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_2}x = - 5}\\ {{{\log }_2}x = 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = {2^{ - 5}}}\\ {x = 2} \end{array}.} \right.\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \(x=2\) và \(x=\frac{1}{32}\).
Câu 3: Giải phương trình \({\log _3}({9^{50}} + 6{x^2}) = {\log _{\sqrt 3 }}({3^{50}} + 2x)\) (Đưa về cùng cơ số)
Hướng dẫn giải
Điều kiện: \({3^{50}} + 2x > 0\), khi đó ta có:
\({\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{3^{50}} + 2x} \right) \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _3}{\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {9^{50}} + 2.2x{.3^{50}} + 4{x^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x{.3^{50}} = 0\\ \Leftrightarrow 2x(x - {2.3^{50}}) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = {{2.3}^{50}}} \end{array}} \right. \end{array}\)
3. Luyện tập
3.1. Bài tập tự luận
Câu 1: Giải các phương trình mũ
a) \({{\left( 0,3 \right)}^{3x-2}}=1;\)
b) \({{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{x}}=25;\)
c) \({{2}^{{{x}^{2}}-3x+2}}=4;\)
d) \({{\left( 0,5 \right)}^{x+7}}.{{\left( 0,5 \right)}^{1-2x}}=2. \)
Câu 2: Giải các phương trình mũ sau:
a) \((0,75)^{2x-3}=\left(1\dfrac 1 3 \right)^{5-x}\)
b) \({{5}^{{{x}^{2}}-5x-6}}=1 \)
c) \({{\left( \dfrac{1}{7} \right)}^{{{x}^{2}}-2x-3}}={{7}^{x+1}} \)
d) \({{32}^{\frac{x+5}{x-7}}}=0,{{25.125}^{\frac{x+17}{x-3}}} \)
Câu 3: Giải các phương trình lôgarit:
a) \({{\log }_{3}}\left( 5x+3 \right)={{\log }_{3}}\left( 7x+5 \right);\)
b) \(\log \left( x-1 \right)-\log \left( 2x-11 \right)=\log 2;\)
c) \({{\log }_{2}}\left( x-5 \right)+{{\log }_{2}}\left( x+2 \right)=3;\)
d) \(\log \left( {{x}^{2}}-6x+7 \right)=\log \left( x-3 \right).\)
Câu 4: Giải các phương trình lôgarit:
a) \(\dfrac{1}{2}\log \left( {{x}^{2}}+x-5 \right)=\log 5x+\log \dfrac{1}{5x};\)
b) \(\dfrac{1}{2}\log \left( {{x}^{2}}-4x-1 \right)=\log 8x-\log 4x;\)
c) \({{\log }_{\sqrt{2}}}x+4{{\log }_{4}}x+{{\log }_{8}}x=13. \)
3.2. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho phương trình \({3^{2x + 1}} - {4.3^x} + 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) trong đó \({x_1} < {x_2}.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \({x_1} + {x_2} = - 2\)
B. \({x_1} . {x_2} = - 1\)
C. \(2{x_1} + {x_2} = 0\)
D. \({x_1} +2 {x_2} = - 1\)
Câu 2: Tìm giá trị của m để phương trình \({2^x} + 3 = m\sqrt {{4^x} + 1}\) có hai nghiệm phân biệt.
A. \(m < \frac{1}{3}\)
B. \(m > \sqrt{10}\)
C. \(3 < m < \sqrt{10}\)
D. \(1 \leq m < 3\)
Câu 3: Phương trình \(2{\log _2}\left( {x - 3} \right) = 2 + {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {3 - 2x}\) có bao nhiêu nghiệm?
A. 2
B. 0
C. 1
D. 3
Câu 4: Tìm m để phương trình \(\log _{\sqrt 3 }^2x - m{\log _{\sqrt 3 }}x + 1 = 0\) có nghiệm duy nhất.
A. \(m=\pm1\)
B. \(m=\pm3\)
C. \(m=\pm 2\)
D. Không tồn tại m
Câu 5: Phương trình \({2^{2 + x}} - {2^{2 - x}} = 15\) có bao nhiêu nghiệm?
A. 2
B. 3
C. 0
D. 1
3.3. Trắc nghiệm Online
Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Phương trình mũ và phương trình lôgarit Toán 12 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.
4. Kết luận
Qua bài học này giúp các em biết được một số nội dung sau:
- Biết ác dạng phương trình mũ và phương trình logarit co bản, phương pháp giải một số phương trình mũ và phương trình logarit đơn giản.
- Biết vận dụng các tính chất của hàm số mũ, hàm số logarit vào giải các phương trình mũ và logarit cơ bản.
- Biết cách vận dụng phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp vẽ đồ thị và các phương pháp khác vào giải phương trình mũ, phương trình logarrit đơn giản.
Tham khảo thêm
- doc Toán 12 Chương 2 Bài 1: Lũy thừa
- doc Toán 12 Chương 2 Bài 2: Hàm số lũy thừa
- doc Toán 12 Chương 2 Bài 3: Lôgarit
- doc Toán 12 Chương 2 Bài 3: Hàm số mũ Hàm số lôgarit
- doc Toán 12 Chương 2 Bài 6: Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
- doc Toán 12 Ôn tập chương 2: Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ và Hàm số Lôgarit