Toán 12 Chương 2 Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit

Để giúp các em học sinh lớp 12 học tốt bài Phương trình mũ và phương trình lôgarit eLib xin mời các em cùng tham khảo ngay bài giảng dưới đây. Bài giảng gồm các kiến thức được trình bày cụ thể và chi tiết, cùng với các dạng bài tập minh họa giúp các em dễ dàng nắm vững được trọng tâm bài học.

Toán 12 Chương 2 Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Các phương pháp giải phương trình mũ

a) Phương trình mũ cơ bản

Phương trình có dạng \({a^x} = b\left( {0 < a \ne 1} \right)\)

+) Với \(b > 0\) ta có \({a^x} = b \Leftrightarrow x = {\log _a}b\).

+) Với \(b \le 0\) phương trình vô nghiệm.

Ví dụ: Giải phương trình \({5^x} = 125\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{5^x} = 125\\ \Leftrightarrow x = {\log _5}125\\ \Leftrightarrow x = 3\end{array}\)

b) Phương pháp lôgarit hóa

Với \(0 < a \neq 1, log_ab\) là số x sao cho \(a^x=b\)

Với \(a^x=b\Leftrightarrow x=log_ab\)

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

Kiểu 1: Đặt ẩn đưa về phương trình theo 1 ẩn mới

Dạng 1: \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c=0\)

Đặt \(t=m^{f(x)} \ \ \ (t>0)\)

Ta có: \(a.t^2+b.t+c=0\)

Dạng 2: \(a.m^{f(x)}+b.n^{f(x)}+c=0\) trong đó \(m.n=1\)

Đặt \(t=n^{f(x)}\Rightarrow m^{f(x)}=\frac{1}{t} \ (t>0)\)

Ta có: \(a.\frac{1}{t} + b.t + c = 0 \Leftrightarrow a + b.{t^2} + c.t = 0 \Leftrightarrow b.{t^2} + ct + a = 0\).

Dạng 3: \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}.n^{g(x)}+c.n^{2g(x)}=0\)

Chia 2 vế cho \(n^{2g(x)}\) ta có:

\(a.\left (\frac{m^{2f(x)}}{n^{2g(x)}} \right )^2+b.\left (\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}} \right )^2+c=0\)

Đặt \(t=\frac{m^{f(x)}}{n^{g(x)}}\)

Ta có \(a.t^4+b.t^2+c=0\).

Kiểu 2: Đặt 1 ẩn, nhưng không làm mất ẩn ban đầu. Khi đó 

Xem ẩn đầu là tham số

Đưa về phương trình tích

Đưa về hệ phương trình

Kiểu 3: Đặt nhiều ẩn. Khi đó

Đưa về phương trình tích

Đưa về hệ phương trình

d) Phương pháp hàm số

Xét hàm số \(y=a^x\):

Nếu \(a>1\): \(y=a^x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Nếu \(0

Tổng của hai hàm số đồng biến (NB) trên D là hàm số đồng biến (NB) trên D.

Tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên D là hàm số đồng biến trên D.

Cho hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\), nếu:

\(f(x)\)đồng biến trên D.

\(g(x)\) ​nghịch biến trên D.

⇒ \(f(x)-g(x)\) đồng biến trên D.

1.2. Các phương pháp giải phương trình lôgarit

a) Phương trình logarit cơ bản

Phương trình có dạng \({\log _a}x = b\) \(\left( {0 < a \ne 1} \right)\)

Ta có: \({\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}\).

Phương trình luôn có nghiệm \(x = {a^b}\).

Ví dụ: Giải phương trình \({\log _5}x =  - 2\).

Ta có: \({\log _5}x =  - 2 \Leftrightarrow x = {5^{ - 2}} \Leftrightarrow x = \frac{1}{{25}}\).

b) Giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số

Ví dụ: Giải phương trình \({\log _2}x + {\log _4}x = 1\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _2}x + {\log _4}x = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}x + \frac{1}{2}{\log _2}x = 1\\ \Leftrightarrow \frac{3}{2}{\log _2}x = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}x = \frac{2}{3}\\ \Leftrightarrow x = {2^{\frac{2}{3}}}\\ \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{4}\end{array}\)

c) Giải phương trình logarit bằng cách đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải phương trình \(\frac{1}{{\ln x}} + \frac{1}{{\ln x - 1}} = \frac{5}{6}\).

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\ln x \ne 0\\\ln x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 1\\x \ne e\end{array} \right.\)

Đặt \(t = \ln x\left( {t \ne 0,t \ne 1} \right)\) ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{t} + \frac{1}{{t - 1}} = \frac{5}{6}\\ \Leftrightarrow \frac{{6t - 6 + 6t}}{{6t\left( {t - 1} \right)}} = \frac{{5t\left( {t - 1} \right)}}{{6t\left( {t - 1} \right)}}\\ \Rightarrow 12t - 6 = 5{t^2} - 5t\\ \Leftrightarrow 5{t^2} - 17t + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t = \frac{2}{5}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\ln x = 3\\\ln x = \frac{2}{5}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {e^3}\\x = {e^{\frac{2}{5}}}\end{array} \right.\left( {TM} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {{e^3};{e^{\frac{2}{5}}}} \right\}\).

d) Giải phương trình logarit bằng cách mũ hóa

Ví dụ: Giải phương trình \({\log _3}\left( {3 - {3^x}} \right) = 1 + x\)

ĐK: \(3 - {3^x} > 0 \Leftrightarrow {3^x} < 3 \Leftrightarrow x < 1\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _3}\left( {3 - {3^x}} \right) = 1 + x\\ \Leftrightarrow 3 - {3^x} = {3^{1 + x}}\\ \Leftrightarrow 3 - {3^x} = {3.3^x}\\ \Leftrightarrow 3 = {4.3^x}\\ \Leftrightarrow {3^x} = \frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow x = {\log _3}\frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow x = 1 - {\log _3}4\left( {TM} \right)\end{array}\)

2. Bài tập minh họa

2.1. Dạng bài tập giải phương trình mũ

Câu 1: Giải các phương trình mũ sau (Dùng phương pháp đặt ẩn phụ)

a)  \({3.25^x} - {2.5^{x + 1}} + 7 = 0\)

b)  \({4^{{x^2} + x}} + {2^{1 - {x^2}}} = {2^{{{(x + 1)}^2}}} - 1\)

Hướng dẫn giải

a) Phương trình \(\Leftrightarrow {3.25^x} - {10.5^x} + 7 = 0\). Đặt \(t = {5^x}\,\left( {t > 0} \right)\)

Khi đó phương trình trở thành: \(3{t^2} - 10t + 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = \frac{7}{3} \end{array} \right.\)

(*) Với \(t = 1 \Rightarrow {5^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\)

(*) Với \(t = \frac{7}{3} \Rightarrow {5^x} = \frac{7}{3} \Leftrightarrow x = {\log _5}\left( {\frac{7}{3}} \right)\)

Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ {0;{{\log }_5}\left( {\frac{7}{3}} \right)} \right\}\).

b) Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = {4^{{x^2} + x}}\\ v = {2^{1 - {x^2}}} \end{array} \right.\,,u,v > 0\)

Nhận xét: \(u.v = {4^{{x^2} + x}}{.2^{1 - {x^2}}} = {2^{2({x^2} + x)}}{.2^{1 - {x^2}}} = {2^{{{(x + 1)}^2}}}\)

Khi đó phương trình tương đướng với:

\(u + v = uv + 1 \Leftrightarrow (u - 1)(v - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} u = 1\\ v = 1 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {4^{{x^2} + x}} = 1\\ {2^{1 - {x^2}}} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} + x = 0\\ 1 - {x^2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1\\ x = - 1 \end{array} \right.\).

Câu 2: Giải các phương trình mũ sau (Đưa về cùng cơ số):

a)  \({2^{{x^2} + 3x - 2}} = \frac{1}{4}\)

b) \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.\sqrt {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{\frac{8}{x}}}} = \frac{9}{{16}}\)  

Hướng dẫn giải

a) \({2^{{x^2} + 3x - 2}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow {2^{{x^2} + 3x - 2}} = {2^{ - 2}}\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + 3x - 2 = - 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 3 \end{array} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm x=0 và x=-3.

b) \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.\sqrt {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^{\frac{8}{x}}}} = \frac{9}{{16}}\)

 \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.{\left( {\frac{4}{3}} \right)^{\frac{4}{x}}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{ - \frac{4}{x}}} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} \end{array}\)

\(\Leftrightarrow x - 1 - \frac{4}{x} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_1} = - 1\\ {x_2} = 3 \end{array} \right. \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 3\).

Câu 3: Giải phương trình  \({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1\) (Dùng phương pháp lôgarit hóa)

Hướng dẫn giải

Lấy logarit hai vế với cơ số 3, ta được:

\({3^x}{.2^{{x^2}}} = 1 \Leftrightarrow {\log _3}({3^x}{.2^{{x^2}}}) = {\log _3}1\)

\(\Leftrightarrow x + {x^2}{\log _3}2 = 0 \Leftrightarrow x\left( {1 + x{{\log }_3}2} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ 1 + x{\log _3}2 = 0 \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - \frac{1}{{{{\log }_3}2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - {\log _2}3 \end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm: \(x = 0,x = - {\log _2}3\).

2.2. Dạng bài tập giải phương trình lôgarit

Câu 1: Giải phương trình \({\log _{{x^2} - 1}}\left( {2\sqrt 2 } \right) = \frac{1}{2}\) (Dùng phương pháp mũ hóa)

Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - 1 > 0}\\ {{x^2} - 1 \ne 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x < - 1 \vee x > 1}\\ {x \ne \pm \sqrt 2 } \end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l} {\log _{{x^2} - 1}}\left( {2\sqrt 2 } \right) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2\sqrt 2 = {\left( {{x^2} - 1} \right)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {{x^2} - 1} \\ \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 8 \Leftrightarrow x = \pm 3. \end{array}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm x=3 và x=-3.

Câu 2: Giải phương trình  \(\log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5\) (Đặt ẩn phụ)

Hướng dẫn giải

 \(\begin{array}{l} \log _{\frac{1}{2}}^2x + 2{\log _{\sqrt 2 }}x = 5 \Leftrightarrow {{\rm{[}} - {\log _2}x{\rm{]}}^2} + 4{\mathop{\rm log_2x}\nolimits} = 5\\ \Leftrightarrow \log _2^2x + 4\log_2 x = 5 \end{array}\)

Đặt: \(t = {\log _2}x.\) Phương trình trở thành:

\({t^2} + 4t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 5\\ t = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\log }_2}x = - 5}\\ {{{\log }_2}x = 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = {2^{ - 5}}}\\ {x = 2} \end{array}.} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \(x=2\) và \(x=\frac{1}{32}\).

Câu 3: Giải phương trình \({\log _3}({9^{50}} + 6{x^2}) = {\log _{\sqrt 3 }}({3^{50}} + 2x)\) (Đưa về cùng cơ số)

Hướng dẫn giải

Điều kiện: \({3^{50}} + 2x > 0\), khi đó ta có:

\({\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{3^{50}} + 2x} \right) \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{9^{50}} + 6{x^2}} \right) = {\log _3}{\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {\left( {{3^{50}} + 2x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {9^{50}} + 6{x^2} = {9^{50}} + 2.2x{.3^{50}} + 4{x^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x{.3^{50}} = 0\\ \Leftrightarrow 2x(x - {2.3^{50}}) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = {{2.3}^{50}}} \end{array}} \right. \end{array}\)

3. Luyện tập

3.1. Bài tập tự luận

Câu 1: Giải các phương trình mũ

a) \({{\left( 0,3 \right)}^{3x-2}}=1;\) 

b) \({{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{x}}=25;\)

c) \({{2}^{{{x}^{2}}-3x+2}}=4;\)

d) \({{\left( 0,5 \right)}^{x+7}}.{{\left( 0,5 \right)}^{1-2x}}=2. \) 

Câu 2: Giải các phương trình mũ sau:

a) \((0,75)^{2x-3}=\left(1\dfrac 1 3 \right)^{5-x}\)

b) \({{5}^{{{x}^{2}}-5x-6}}=1 \)

c) \({{\left( \dfrac{1}{7} \right)}^{{{x}^{2}}-2x-3}}={{7}^{x+1}} \)

d) \({{32}^{\frac{x+5}{x-7}}}=0,{{25.125}^{\frac{x+17}{x-3}}} \)

Câu 3: Giải các phương trình lôgarit:

a) \({{\log }_{3}}\left( 5x+3 \right)={{\log }_{3}}\left( 7x+5 \right);\)

b) \(\log \left( x-1 \right)-\log \left( 2x-11 \right)=\log 2;\)

c) \({{\log }_{2}}\left( x-5 \right)+{{\log }_{2}}\left( x+2 \right)=3;\)

d) \(\log \left( {{x}^{2}}-6x+7 \right)=\log \left( x-3 \right).\)

Câu 4: Giải các phương trình lôgarit:

a) \(\dfrac{1}{2}\log \left( {{x}^{2}}+x-5 \right)=\log 5x+\log \dfrac{1}{5x};\)

b) \(\dfrac{1}{2}\log \left( {{x}^{2}}-4x-1 \right)=\log 8x-\log 4x;\)

c) \({{\log }_{\sqrt{2}}}x+4{{\log }_{4}}x+{{\log }_{8}}x=13. \)

3.2. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho phương trình \({3^{2x + 1}} - {4.3^x} + 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) trong đó \({x_1} < {x_2}.\) Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \({x_1} + {x_2} = - 2\)

B. \({x_1} . {x_2} = - 1\)

C. \(2{x_1} + {x_2} = 0\)

D. \({x_1} +2 {x_2} = - 1\)

Câu 2: Tìm giá trị của m để phương trình \({2^x} + 3 = m\sqrt {{4^x} + 1}\) có hai nghiệm phân biệt.

A. \(m < \frac{1}{3}\)

B.  \(m > \sqrt{10}\)

C.   \(3 < m < \sqrt{10}\)

D.  \(1 \leq m < 3\)

Câu 3: Phương trình \(2{\log _2}\left( {x - 3} \right) = 2 + {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {3 - 2x}\) có bao nhiêu nghiệm?

A. 2

B. 0

C. 1

D. 3

Câu 4: Tìm m để phương trình \(\log _{\sqrt 3 }^2x - m{\log _{\sqrt 3 }}x + 1 = 0\) có nghiệm duy nhất.

A.  \(m=\pm1\)

B.  \(m=\pm3\)

C.  \(m=\pm 2\)

D. Không tồn tại m

Câu 5: Phương trình \({2^{2 + x}} - {2^{2 - x}} = 15\) có bao nhiêu nghiệm?

A. 2

B. 3

C. 0

D. 1

3.3. Trắc nghiệm Online

Các em hãy luyện tập bài trắc nghiệm Phương trình mũ và phương trình lôgarit Toán 12 sau để nắm rõ thêm kiến thức bài học.

Trắc Nghiệm

4. Kết luận

Qua bài học này giúp các em biết được một số nội dung sau:

  • Biết ác dạng phương trình mũ và phương trình logarit co bản, phương pháp giải một số phương trình mũ và phương trình logarit đơn giản.
  • Biết vận dụng các tính chất của hàm số mũ, hàm số logarit vào giải các phương trình mũ và logarit cơ bản.
  • Biết cách vận dụng phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp vẽ đồ thị và các phương pháp khác vào giải phương trình mũ, phương trình logarrit đơn giản. 
Ngày:03/08/2020 Chia sẻ bởi:

CÓ THỂ BẠN QUAN TÂM