Giải bài tập SGK Toán 11 Bài 4: Phép thử và biến cố

Gieo một đồng tiền ba lần

a) Mô tả không gian mẫu

b) Xác định các biến cố

A: "Lần đầu xuất hiện mặt sấp"

B: "Mặt sấp xảy ra đúng một lần"

C: "Mặt ngửa xảy ra ít nhất một lần"

Phương pháp giải

a) Mô tả không gian mẫu bằng cách liệt kê các phần tử của không gian mẫu.

b) Liệt kê các phần tử từ không gian mẫu

Hướng dẫn giải

Câu a

Nếu ký hiệu N là mặt ngửa của đồng tiền xuất hiện;

S là mặt sấp của đồng tiền xuất hiện.

Thì không gian mẫu sẽ là:

 Ω = {SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN}.

SSN là kết quả: "lần đầu và lần 2 xuất hiện mặt sấp, lần cuối cùng xuất hiện mặt ngửa".

Câu b

Xác định các biến cố

A = {SSS, SSN, SNS, SNN},

B = {SNN, NSN, NNS},

C = {SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN}

Gieo một con súc sắc hai lần.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Phát biểu các biến cố sau dưới dạng mệnh đề:

A = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)};

B = {(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)};

C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}.

Phương pháp giải

Ω = {(i, j) | i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Trong đó (i, j) là kết quả "lần đầu xuất hiện mặt i chấm, lần sau xuất hiện mặt j chấm".

Hướng dẫn giải

Câu a

Phép thử \(T\) được xét là: "Gieo một con súc sắc hai lần".

Không gian mẫu: \(Ω \)={(1;1),(1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(1;6),(2;1),(2;2),(2;3),(2;4),(2;5),(2;6),(3;1),(3;2),(3;3),(3;4),(3;5),(3;6),(4;1),(4;2),(4;3),(4;4),(4;5),(4;6),(5;1),(5;2),(5;3),(5;4),(5;5),(5;6),(6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5),(6;6)}

Không gian mẫu có \(36\) phần tử.

Câu b

\(A\) = "Lần gieo đầu được mặt \(6\) chấm";

\(B\) = "Tổng số chấm trong hai lần gieo là \(8\)";

\(C\) = "Kết quả ở hai lần gieo là như nhau".

Một hộp chứa bốn cái thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xác định các biến cố sau.

A: "Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn";

B: "Tích các số trên hai thẻ là số chẵn".

Phương pháp giải

a) Mô tả không gian mẫu bằng cách liệt kê các phần tử của không gian mẫu.

b) A là tập con của không gian mẫu sao cho tổng các số trên hai thẻ là số chẵn.

B là tập con của không gian mẫu sao cho tích các số trên hai thẻ là số chẵn.

Hướng dẫn giải

Câu a

Mỗi một cách lấy hai thẻ là một phần tử của không gian mẫu. Nếu kí hiệu (i, j) là lấy được hai thẻ i và số j thì không gian mẫu sẽ là:

Ω = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}.

Câu b

Xác định các biến cố:

A = {(1, 3), (2, 4)}.

B = {(1, 2), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}

Hai xạ thủ cùng bắn vào bia.Kí hiệu Ak là biến cố: "Người thứ k bắn trúng", k = 1, 2.

a) Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố A1 A2:

A: "Không ai bắn trúng"

B: "Cả hai đểu bắn trúng"

C: "Có đúng một người bắn trúng"

D: "Có ít nhất một người bắn trúng"

b) Chứng tỏ rằng \(A = \overline{D}; B\) và C xung khắc.

Phương pháp giải

Sử dụng các khái niệm biến cố đối, biến cố xung khắc, các phép toán trên các biến cố.

Hướng dẫn giải

Câu a

Phép thử \(T\) được xét là: "Hai xạ thủ cùng bắn vào bia".

Theo đề ra ta có \(\overline{A_{k}}\) = "Người thứ \(k\) không bắn trúng", \(k = 1, 2\). Từ đó ta có:

\(A\) = "Không ai bắn trúng" = "Người thứ nhất không bắn trúng và người thứ hai không bắn trúng". Suy ra

\(A\) = \(\overline{A_{1}}\) . \(\overline{A_{2}}\).

Tương tự, ta có \(B\) = "Cả hai đều bắn trúng" = \(A_{1}\) . \(A_{2}\).

Xét \(C\) = "Có đúng một người bắn trúng", ta có \(C\) là hợp của hai biến cố sau:

"Người thứ nhất bắn trúng và người thứ hai bắn trượt" =\( A_1\) . \(\overline{A_{2}}\).

"Người thứ nhất bắn trượt và người thứ hai bắn trúng" = \(\overline{A_{1}}\) .\( A_2\).

Suy ra \(C = A_1\). \(\overline{A_{2}}\) ∪ \(\overline{A_{1}}\) . \(A_2\).

Tương tự, ta có \(D = A_1 ∪ A_2\).

Câu b

Gọi \(\overline{D}\) là biến cố: " Cả hai người đều bắn trượt". Ta có \(\overline{D}\) = \(\overline{A_{1}}\) . \(\overline{A_{2}}\) = \(A\).

Hiển nhiên \(B ∩ C =\phi \) vì nếu cả hai người bắn trúng thì sẽ không xảy ra trường hợp có đúng một người bắn trúng và ngược lại.

Vậy \(B\) và \(C\) xung khắc với nhau.

Từ một hộp chứa 10 cái thẻ, trong đó các thẻ đánh số 1, 2, 3, 4, 5 màu đỏ, thẻ đánh số 6 màu xanh và các thẻ đánh số 7, 8, 9, 10 màu trắng. Lấy ngẫu nhiên một thẻ.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Kí hiệu A, B, c là các biến cố sau:

A: "Lấy được thẻ màu đỏ"

B: "Lấy được thẻ màu trằng"

C: "Lấy được thẻ ghi số chẵn"

Hãy biểu diễn các biến cố A, B, C bởi các tập hợp con tương ứng của không gian mẫu.

Phương pháp giải

a) Mô tả không gian mẫu bằng cách liệt kê các phần tử của không gian mẫu.

b) Liệt kê số phần tử của các biến cố A, B, C.

Hướng dẫn giải

Câu a

Phép thử \(T\) được xét là: "Từ hộp đã cho, lấy ngẫu nhiên một thẻ".

Không gian mẫu được mô tả bởi tập \(Ω = \left\{{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}\right\}\).

Câu b

\(A =  \left\{{1, 2, 3, 4, 5}\right\}\);

\(B = \left\{{7, 8, 9, 10}\right\}\);

\(C = \left\{{2, 4, 6, 8, 10}\right\}\).

Gieo một đồng tiền liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp hoặc cả bốn lần ngửa thì dừng lại.

a) Mô tả không gian mẫu

b) Xác định các biến cố

A = "Số lần gieo không vượt quá ba"

B = "Số lần gieo là bốn"

Phương pháp giải

a)  Mô tả không gian mẫu bằng cách liệt kê các phần tử của không gian mẫu.

b) Liệt kê các phần tử.

Hướng dẫn giải

Câu a

Ký hiệu S là đồng tiền xuất hiện mặt sấp, N là đồng tiền xuất hiện mặt, ngửa. Thế thì: 

Ω = {S, NS, NNS, NNNS, NNNN}.

Ở đó, chẳng hạn NS là lần đầu xuất hiện mặt ngửa, lần hai xuất hiện mặt sấp

Câu b

A = {S, NS, NNS};

B = {NNNS, NNNN}.

Từ một hộp chứa năm quả cầu được đánh số 1, 2, 3, 4, 5, lấy ngẫu nhiên liên tiếp hai lần mỗi lần một quả và xếp theo thứ tự từ trái sang phải.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xác định các biến  cố sau:

A: "Chữ số sau lớn hơn chữ số trước"

B: "Chữ số trước gấp đôi chữ số sau"

C: "Hai chữ số bằng nhau"

Phương pháp giải

a)  Mô tả không gian mẫu bằng cách liệt kê các phần tử của không gian mẫu.

b) Liệt kê các phần tử của các tập hợp.

Hướng dẫn giải

Câu a

Khi lấy ngẫu nhiên liên tiếp hai quả cầu ta có quả cầu lấy lần một được đánh số i, quả cầu lấy lần hai được đánh số là j(i, j = 1, 2, 3, 4, 5, i \(\neq\) j). Ta thấy ký hiệu bộ hai quả cầu này là (i; j), Khi đó không gian mẫu là: 

\(\Omega =\left \{ (i;j)\ i, j = 1,2,3,4,5; i \neq j \right \}\)

Hiển nhiên \(n(\Omega )=A_{5}^{2}=20\)

Câu b

\(A =\left \{ (i;j)\ i, j = 1,2,3,4,5; i < j \right \}\)

= {(1, 2); (1, 3); (1,4); (1,5); (2,3); (2,4); (2;5); (3;4); (3,5); (4,5)}

Khi đó n(A) = 10.

\(B=\left \{ (2i,i) \ i =1,2,3,4,5,2i \leq 4 \right \}= \left \{ (2;1);(4;2) \right \}\)

\(C=O\) vì chỉ có 5 quả cầu đánh số 1,2,3,4,5 nên đã lấy ra quả đánh số i thì không thể còn quả đánh số i trong hộp nữa và do đó rút lần 2 sẽ không thể được quả đánh số i.