Giải bài tập SGK Toán 11 Ôn tập chương 2: Tổ hợp - Xác suất

Phát biểu quy tắc cộng, cho ví dụ áp dụng.

Phương pháp giải

Ôn tập lại quy tắc cộng ở SGK Đại số và Giải tích 11 trang 44: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có \(m\) cách thực hiện, hành động kia có \(n\) cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có \(m+n\) cách thực hiện.

Hướng dẫn giải

Quy tắc: Nếu hành động H gồm nhiều trường hợp thì số cách thực hiện hành động H bằng tổng số cách thực hiện từng trường hợp ấy.

* Ví dụ:

Trên một bàn học có 4 cây bút chì và 3 cây bút mực. Có mấy cách chọn ra một cây bút?

+ Trường hợp chọn bút chì: có 4 cách chọn

+ Trường hợp chọn bút mực: có 3 cách chọn

Vậy theo quy tắc cộng có: 4 + 3 = 7 cách chọn.

Phát biểu quy tắc nhân, cho ví dụ áp dụng.

Phương pháp giải

Ôn tập lại quy tắc nhân ở SGK Đại số và Giải tích 11 trang 45: Nếu công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có \(m\) cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có \(n\) cách thực hiện hành động thứ hai thì có \(m.n\) cách hoàn thành công việc.

Hướng dẫn giải

Quy tắc: Giả sử ta phải thực hiện hai hành động liên tiếp. Nếu hành động thứ nhất có m kết quả và ứng với mỗi kết quả đó, hành động thứ hai có n kết quả, thì có m.n kết quả của hai hành động liên tiếp ấy.

* Ví dụ:

Một lớp có 3 tổ, mỗi tổ có 6 nam và 4 nữ. Cần chọn từ mỗi tổ một người để thành lập đội thanh niên tình nguyện mùa hè xanh. Hỏi có bao nhiêu cách để lập được một đội?

Để lập đội, từ mỗi đội ta chọn một người:

+ Có 10 cách chọn 1 người từ tổ thứ nhất

+ Có 10 cách chọn 1 người từ tổ thứ hai

+ Có 10 cách chọn 1 người từ tổ thứ ba

Từ đó, theo quy tắc nhân ta có:

10. 10. 10 = 1000 (cách chọn)

Phân biệt sự khác nhau giữa một chỉnh hợp chập k của n phần tử và một tổ hợp chập k của n phần tử.

Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa của chỉnh hợp và tổ hợp.

- Cho tập hợp \(A\) gồm \(n\) phần tử \(\left( {n \ge 1} \right)\). Kết quả của việc lấy \(k\) phần tử khác nhau từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử đã cho.

- Cho \(n\) phần tử khác nhau (\(n ≥ 1\)). Mỗi tập con gồm \(k\) phần tử khác nhau (không phân biệt thứ tự) của tập hợp \(n\) phần tử đã cho (\(0 ≤ k ≤ n\)) được gọi là một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử đã cho (với quy ước tổ hợp chập \(0\) của n phần tử bất kỳ là tập rỗng).

Hướng dẫn giải

Đặc điểm khác nhau quan trọng nhất trong hai định nghĩa chỉnh hợp và tổ hợp chập k của n phần tử đó là: đối với chỉnh hợp chập k của n phần tử, k phần tử lấy ra từ n phần tử có yêu cầu sắp thứ tự còn đối với tổ hợp thì không.

Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số được tạo thành từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 sao cho:

a) Các chữ số có thể giống nhau

b) Các chữ số khác nhau

Phương pháp giải

Sử dụng linh hoạt các quy tắc đếm: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có \(m\) cách thực hiện, hành động kia có \(n\) cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có \(m + n\) cách thực hiện.

Hướng dẫn giải

Câu a: Gọi số chẵn có 4 chữ số được tạo thành từ các số đã cho có dạng \(\overline{abcd}.\)

Rõ ràng có 4 cách chọn số d, 7 cách chọn c, 7 cách chọn b và 6 cách chọn a. Theo quy tắc nhân có cả thay: 4.7.76=1176.

Câu b: Gọi số chẵn thoả mãn yêu cầu là \(\overline{abcd}.\) Ta chia thành hai trường hợp sau:

* Trường hợp 1: Số chẵn đó có chữ số hàng nghìn là chẵn và khác 0, có 3 cách chọn số a, 3 cách chọn số d, 5 cách chọn số c, 4 cách chọn số c, 4 cách chịn số b do đó có 3.3.4.5=180 số.

* Trường hợp 2: Số chẵn có chữ số hàng nghìn là số lẻ: có 3 cách chọn số a, có 3 cách chọn đô d, 5 cách chọn số c, 4 cách chọn số b, do đó 3.4.5.4=240 số.

Vậy có tổng cộng là 180 + 240 = 420 số

Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang. Tìm xác suất sao cho:

a) Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau

b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau

Phương pháp giải

a) Đánh số thứ tự ghế và chọn ghế sao cho nam, nữ ngồi xen kẽ nhau.

b) Sử dụng quy tắc buộc, buộc ba bạn nam lại và coi đó là 1 phần tử.

Hướng dẫn giải

Rõ ràng một cách xếp 6 bạn ngồi vào 6 chiếc ghế chính là một phần tử của không gian mẫu. Bởi vậy số phần tử của không gian mẫu là: 6! = 720.

Giả sử các ghế được đánh số từ 1 đến 6 như sau:

Ghế 1 Ghế 2 Ghế 3 Ghế 4 Ghế 5 Ghế 6

Câu a

Để xếp được các bạn nam, nữ xen kẻ nhau ta xét hai trường hợp sau: 

* Trường hợp 1: 3 bạn nam ngồi vào các vị trí ghế 1, ghế 3, ghế 5. Các bạn nữ ngồi ghế còn lại. Khi đó có 3! . 3! cách xếp hay có 36 cách xếp.

* Trường hợp 2: 3 bạn nữ ngồi vào các vị trí ghế 1, ghế 3, ghế 5. Còn các bạn nam ngồi ghế còn lại. Khi đó có 3! . 3! cách xếp hay có 36 cách xếp.

Vậy cả hai trường hợp có tổng cộng là 72 cách xếp để các bạn nam, nữ ngồi xen kẽ nhau.

Bởi vậy xác suất cùa biến cố này là: \(P_1=\frac{72}{720}=\frac{1}{10}\)

Câu b

Để xếp được ba bạn nam ngồi cạnh nhau thì có những trường hợp sau đây:

+ Ba bạn nam ngồi vào các ghế 1,2,3

+ Ba bạn nam ngồi vào các ghế 2,3,4

+ Ba bạn nam ngồi vào các ghế 3,4,5

+ Ba bạn nam ngồi vào các ghế 4,5,6

* Trường hợp 1: Ba bạn nam ngồi vào các ghế 1,2,3. Có 3! cách xếp ba bạn nam vào các vị trí này. Ứng với mỗi cách xếp ba bạn nam ngồi vào các ghế 1,2,3 có 3! cách xếp bạn nữ ngồi vào các ghế còn lại. Do đó có 3! . 3! = 36 cách xếp.

Các trường hợp còn lại đều được làm tương tự và mỗi trường hợp đề có 36 cách xếp.

Do đó có tổng cộng 4 . 36 = 144 cách xếp cho 3 bạn nam ngồi cạnh nhau. Vậy xác suất của biến có 3 bạn nam ngồi cạnh nhau là:

\(P_2=\frac{144}{720}=\frac{1}{5}=0,2.\)

Từ một hộp chứa sáu quả cầu trắng và bốn quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn quả. Tính xác suất sao cho:

a) Bốn quả lấy ra cùng màu

b) Có ít nhất một quả màu trắng

Phương pháp giải

a) Chia làm 2 TH

TH1: Chọn 4 quả cùng màu trắng.

TH2: Chọn 4 quả cùng màu đen.

b) Sử dụng biến cố đối

Hướng dẫn giải

Câu a

Phép thử: "Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu từ hộp 10 quả cầu".

Số phần tử của không gian mẫu: \(n(\Omega ) = C_{10}^4 = 210\)

Có \(C_6^4\) cách chọn bốn quả lấy ra cùng màu trắng và có \(C_4^4\) cách chọn bốn quả lấy ra cùng màu đen.

Kí hiệu \(A\) là biến cố “Bốn quả lấy ra cùng màu”.

Ta có: \(n(A)\) = \(C_6^4+C_4^4\)=\( 16\)

Vậy: \(P(A) = {{n(A)} \over {n(\Omega )}} = {{16} \over {210}} = {8 \over {105}}\)

Câu b

Kí hiệu \(B\) là biến cố: “ Bốn quả lấy ra có ít nhất một quả màu trắng”.

Biến cố đối: \(\overline B \):"Bốn quả lấy ra không có quả màu trắng nào (toàn màu đen)"

Ta có: \(n\left( {\overline B } \right) = C_4^4 = 1 \)

\(\Rightarrow n\left( B \right) = C_{10}^4 - 1 = 209\)

Vậy: \(P(B) = {{n(B)} \over {n(\Omega )}} = {{209} \over {210}}\)

Gieo một con súc sắc ba lần. Tính xác suất sao cho mặt sáu chấm xuất hiện ít nhất một lần

Phương pháp giải

Sử dụng biến cố đối: "Không lần nào xuất hiện mặt sáu chấm".

Hướng dẫn giải

Phép thử: "Gieo một con xúc sắc ba lần."

Không gian mẫu:

\(\eqalign{
& \Omega = \left\{ {{\rm{\{ j,j,k\} }}|1 \le i,j,k \le 6} \right\} \cr
& \Rightarrow n(\Omega ) = {6^3} = 216 \cr} \)

Gọi \(A\) là biến cố: “Mặt sáu chấm xuất hiện ít nhất một lần”

Suy ra biến cố đối là \(\overline A\): “Không lần nào xuất hiện mặt sáu chấm”.

Lần gieo thứ nhất không ra mặt 6 chấm nên có 5 kết quả có thể xảy ra (1, 2, 3, 4, 5 chấm)

Lần gieo thứ hai và thứ ba: tương tự có 5 kết quả có thể xảy ra.

Theo quy tắc nhân: \(n(\overline A ) = {5^3} = 125\)

\(\Rightarrow P(\bar A) = {{n(\bar A)} \over {n(\Omega )}} = {{125} \over {216}}\)

Do đó: \(P(A) = 1 - P(\bar A) = 1 - {{125} \over {216}} = {{91} \over {216}} \approx  0,4213\).

Cho một lúc giác đề ABCDEF. Viết các chữ cái ABCDEF vào 6 cái thẻ. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ đó là:

a) Các cạnh của lục giác

b) Đường chéo của lục giác

c) Đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác

Phương pháp giải

Tính số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega  \right)\).

Tính số phần tử của biến cố A: \(n\left( A \right)\).

Tính xác suất của biến cố A: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\).

Hướng dẫn giải

Câu a

Phép thử: "Lấy ngẫu nhiên hai thẻ"

Số phần tử không gian mẫu là số các tổ hợp chập \(2\) của \(6\) (đỉnh)

Do đó: \(n(\Omega ) = C_6^2 = 15\)

Gọi \(A:\)"Hai thẻ lấy ra là hai đỉnh tạo thành cạnh của lục giác"

Vì số cạnh của đa giác là \(6\) nên \(n(A) = 6\)

\(\Rightarrow P( A) = {6 \over {15}} = {2 \over 5}\)

Câu b

Gọi B: "Hai thẻ lấy ra là hai đỉnh tạo thành đường chéo"

Vì số đường chéo của lục giác là số đoạn thẳng nối \(2\) đỉnh của lục giác trừ đi số cạnh của lục giác

\(\Rightarrow n(B) = 15 – 6 = 9\)

Vậy: \(P(B) = {9 \over {15}} = {3 \over 5}\)

Câu c

Gọi C: "Hai thẻ lấy ra là hai đỉnh đối diện"

Lục giác có \(3\) cặp đỉnh đối diện là A-D, B-E, C-F nên \(n(C) = 3\)

Vậy \(P(C) = {{n(C)} \over {n(\Omega )}} = {3 \over {15}} = {1 \over 5}\)

Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất sao cho:

a) Hai con xúc sắc đều xuất hiện mặt chẵn

b) Tích các số chấm trên hai con xúc sắc là số lẻ

Phương pháp giải

Tính số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega  \right)\)

Tính số phần tử của biến cố A: \(n\left( A \right)\).

Tính xác suất của biến cố A: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\).

Hướng dẫn giải

Không gian mẫu là:

\(\Omega =\big \{ (1,1);(1,2);(1,3);(1,4);(1,5);(1,6);(2,2);(2,3);(2,4);(2,5);(2,6) \\ (3,3);(3,4);(3,5);(3,6);(4,4);(4,5);(4,6);(5,5);(5,6); (6,6) \big \}\)

Do vậy \(n(\Omega )=21\)

Câu a

Gọi A là biến cố: "Cả hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn".

Ta có: \(A=\left \{ (2;2);(2,4) ;(2,6) ;(4,4) ;(4,6); (6,6)\right \}\)

Nên \(n(A)=6\)

Từ đấy suy ra: \(P(A)=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}\)

Câu b

Gọi B là biến cố: "Tích các số chấm trên hai con súc sắc là một số lẻ".

Khi đó: \(B=\left \{ (1,1);(1,3) ;(1,5);(3,3) ;(3,5) ;(5,5) \right \}\)

Nên \(n(B)=6\)

Từ đấy suy ra: \(P(B)=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}\)

Lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con. Số cách lấy là:

(A) 104

(B) 1326

(C) 450

(D) 24

Phương pháp giải

Mỗi cách lấy là một tổ hợp chập 2 của 52 phần tử.

Hướng dẫn giải

Số cách lấy ra hai con bài trong 52 con chính là số chính là số các tổ hợp chập 2 của phần tử. Vậy số cách lấy là: \(C_{52}^{2}=1326.\)

Vậy phương án đúng là phương án (B).

Năm người được xếp ngồi vào quanh một bàn tròn với năm ghế. Số cách xếp là:

A. 50                       B. 100                    C. 120                 D. 24

Phương pháp giải

Mỗi cách lấy là một tổ hợp chập 2 của 52 phần tử.

Hướng dẫn giải

Số cách xếp 5 người quanh một chiếc bàn tròn gồm 5 ghế chính là số hoán vị của 5 phần tử. Do đó số cách xếp là: 5! = 120.

Vậy phương án đúng là phương án (C).

Gieo một con xúc sắc hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là:

A. \(\frac{12}{36}\)           B. \(\frac{11}{36}\)      C. \(\frac{6}{36}\)       D. \(\frac{8}{36}\)

Phương pháp giải

Tính số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega  \right)\).

Tính số phần tử củ biến cố A: \(n\left( A \right)\).

Tính xác suất của biến cố A: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\).

Hướng dẫn giải

Ta có không gian mẫu là: \(\Omega =\left \{ (i,j) \setminus i,j \in \mathbb{Z}, 2\leq i,j \leq 6 \right \}\) và \(n(\Omega )=36\).

Gọi A là biến cố: "ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm".

Khi đó:

\(A=\left \{ (6,1);(6,2);(6,3);(6,4);(6,5);(6,6) \\ ;(1,6);(2,6);(3,6);(4,6);(5,6) \right \}\)

Vì vậy n(A) = 11.

Do đó \(P(A)=\frac{11}{36}\) nên phương án đúng là phương án (B).

Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng và hai quả cầu đen lấy ngẫu nhiên hai quả. Xác suất để lấy được cả hai quả trắng là:

A. \(\frac{9}{30}\)            B.\(\frac{12}{30}\)           C.\(\frac{10}{30}\)           D. \(\frac{6}{30}\)

Phương pháp giải

Tính số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega  \right)\).

Tính số phần tử củ biến cố A: \(n\left( A \right)\).

Tính xác suất của biến cố A: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\).

Hướng dẫn giải

Không gian mẫu có số phần tử là: \(n(\Omega )=C_{5}^{2}=10\)

Số khả năng lấy được cả hai quả cầu trắng là: \(C_{3}^{2}=3\)

Do đó xác suất để lấy được cả hai quả cầu trắng là: \(P=\frac{3}{10}=\frac{9}{10}.\)

Do đó phương án (A) là phương án đúng.

Gieo ba con xúc sắc. Xác suất để số chấm xuất hiện trên ba con như nhau là:

A. \(\frac{12}{216}\)              B. \(\frac{1}{216}\)            C. \(\frac{6}{216}\)                D. \(\frac{3}{216}\)

Phương pháp giải

Tính số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega  \right)\).

Tính số phần tử củ biến cố A: \(n\left( A \right)\).

Tính xác suất của biến cố A: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\).

Hướng dẫn giải

Không gian mẫu có 216 phần tử \(\Omega =\left \{ (i,j,k) \setminus i,j,k \in \mathbb{Z}, 2\leq i,j,k \leq 6 \right \}\)

Biến cố A: "Số chấm xuất hiện trên 3 con là như nhau" được viết là: 

\(A=\left \{ (1,1,1) ;(2,2,2) ;(3,3,3) ;(4,4,4) (5,5,5) ;(6,6,6) \right \}\)

\(\Rightarrow n(A)=6\)

Do đó \(P(A)=\frac{6}{216}\), nên phương án (C) là đúng.

Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Xác suất để cả bốn lần xuất hiện mặt sấp là:

A. \(\frac{4}{16}\)            B. \(\frac{2}{16}\)        C. \(\frac{1}{16}\)            D. \(\frac{6}{16}\)

Phương pháp giải

Tính số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega  \right)\).

Tính số phần tử củ biến cố A: \(n\left( A \right)\).

Tính xác suất của biến cố A: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\).

Hướng dẫn giải

Không gian mẫu \(\Omega\) có 16 phần tử, đó là:(S,S,S,S); (S,S,S,N); (S,S,N,S); (S,N,S,S); (N,S,S,S);(S,S,N,N); (S,N,S,N); (N,S,N,S); (N,N,S,S); (S,N,N,S); (N,S,S,N); (N,N,N,S); (N,N,S,N); (N,S,N,N); (S,N,N,N); (N,N,N,N) (Với kí hiệu N là xuất hiện mặt ngửa, S là xuất hiện mặt sấp)

A: "Cả 4 lần xuất hiện mặt sấp". Từ đây ta suy ra: n(A) = 1

Vì vậy \(P(A)=\frac{1}{16}\), phương án (C) là phương án đúng