Giải bài tập SGK Toán 11 Chương 5 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Tìm số gia của hàm số $f(x) = x^3$, biết rằng :

a) $x_0 = 1; \Delta x = 1$

b) $x_0 = 1; \Delta x = -0,1$

Phương pháp giải

Số gia của hàm số $y = f\left( x \right)$ là: $\Delta f\left( x \right) = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)$

Hướng dẫn giải

Câu a

Với $x_0 = 1; \Delta x = 1$ ta có:

$\Delta y = f(x_0+\Delta x) - f(x_0) = f(2) - f(1) = 2^3 - 1^3 = 7.$

Câu b

Với $x_0 = 1; \Delta x = -0,1$ ta có:

$\Delta y = f(0,9) - f(1) = (0,9)^3 - 1^3 = -0,271.$

Tính $\Delta y$ và $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$ của các hàm số sau theo x và $\Delta x$:

a) $y = 2x - 5$

b) $y = x^2 - 1$

c) $y = 2x^3$

d) $y = \frac{1}{x}$

Phương pháp giải

Sử dụng công thức: $\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right)$ tính $\Delta y$, từ đó suy ra $\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$

(Trong công thức $\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)$ ta coi $x_0=x$)

Hướng dẫn giải

Câu a

Giả sử $\Delta x$ là số gia đối số tại x.

$\Rightarrow \Delta y = f(x+\Delta x) - f(x)$

$= 2(x+\Delta x) - 5 - (2x - 5) = 2\Delta x$

 $\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2\Delta x}{\Delta x}=2.$

Câu b

Giả sử $\Delta x$ là số gia đối số tại x.

Suy ra $\Delta y = f(x+\Delta x) - f(x)$

$= (x+ \Delta x)^{2} - 1 - (x^{2} - 1) = 2x.\Delta x + (\Delta x)^2$

$\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2x.\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x} = \Delta x+2x.$

Câu c

Giả sử $\Delta x$ là số gia đối số tại x.

Suy ra $\Delta y = f(x+\Delta x) - f(x)$

$=2(x+\Delta x)^3=-2x^3-6x^2.\Delta x+6x.(\Delta x)^2+2(\Delta x)^3$

$\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{6x^2.\Delta x+6x(\Delta x)^2+2(\Delta x)^3}{\Delta x}$

$=2(\Delta x)^2+6x.\Delta x+6x^2.$

Câu d

Giả sử $\Delta x$ là số gia đối số tại x.

Suy ra $\Delta y = f(x+\Delta x) - f(x)$

$=\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{2x}=\frac{-\Delta x}{x.(x+\Delta x)}.$

$\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{-\Delta x}{x(x+\Delta x)}.\frac{1}{\Delta x}= \frac{-1}{x(x+\Delta x)}.$

Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

a) $y = x^2 + x$ tại $x_0 = 1$

b) $y = \frac{1}{x}$ tại $x_0 = 2$

c) $y =\frac{x+1}{x-1}$ tại $x_0 = 0$

Phương pháp giải

Bước 1: Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại $x_0$, tính $\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)$.

Bước 2: Lập tỉ số $\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$.

Bước 3: Tìm $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$.

Kết luận $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$.

Hướng dẫn giải

Câu a

Giả sử ∆x là số gia của số đối tại x0 = 1. Ta có:

$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=(1+\Delta x)^2+(1+\Delta x)-2$

$=(\Delta x)^2+3\Delta x$

$\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(\Delta x)^2+3\Delta x}{\Delta x}= \Delta x+3$

Suy ra $y'(1)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}(\Delta x+3)=3$.

Câu b

Giả sử ∆x là số gia của số đối tại x0 = 2. Ta có:

$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)= \frac{1}{2+\Delta x}-\frac{1}{2}=\frac{-\Delta x}{2(2+\Delta x)}$

$\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-1}{2(2+\Delta x)}.$

Vậy $y'(2)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{-1}{2(2+\Delta x)} =-\frac{1}{4}$.

Câu c

Giả sử ∆x là số gia của số đối tại x0 = 0.Ta có:

$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)= \frac{\Delta x+1}{\Delta x-1}+1=\frac{2.\Delta x}{\Delta x-1}$

$\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2\Delta x}{\Delta x-1}.\frac{1}{\Delta x} =\frac{2}{\Delta x-1}$

Vậy $y'(0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{2}{\Delta x-1}=-2.$

Chứng minh rằng hàm số $f(x) = (x - 1)^2$ nếu $x \geq 0$ và $f(x) = -x^2$ nếu $x < 0$

không có đạo hàm tại điểm $x = 0$ nhưng có đạo hàm tại điểm $x = 2$

Phương pháp giải

Điều kiện cần để hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm $x=x_0$ là hàm số liên tục tại $x=x_0$.

Sử dụng định nghĩa chứng minh hàm số có đạo hàm tại $x=x_0$:

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên khoảng $(a;b)$ và ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$. Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( x_0 \right)}}{{x - {x_0}}}$ thì tồn tại đạo hàm của hàm số tại $x_0$.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\left( {x - 1} \right)^2} = {\left( {0 - 1} \right)^2} = 1\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - {x^2}} \right) = - {0^2} = 0\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) \end{array}$

Do đó hàm số $y = f(x)$ gián đoạn tại $x = 0$.

Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm $x = 0$ (vi phạm điều kiện cần).

Xét giới hạn: 

$\begin{array}{l} \,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 1}}{{x - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} x = 2 \end{array}$

Vậy hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm tại $x = 2$ và $f'(2) = 2$.

Cho đường cong $y = x^3.$ Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong trong các trường hợp:

a) Tại điểm có tọa độ (-1;-1)

b) Tại điểm có hoành độ bằng 2

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3

Phương pháp giải

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ $x = {x_0}$ là: $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{array}{l} y = {x^3}\\ \Delta y = {(x + \Delta x)^3} - {x^3}\\ = {x^3} + 3{x^2}\Delta x + 3x{\left( {\Delta x} \right)^2} + {\left( {\Delta x} \right)^3} - {x^3}\\ = 3{x^2}\Delta x + 3x{\left( {\Delta x} \right)^2} + {\left( {\Delta x} \right)^3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 3{x^2} + 3x\Delta x + {\left( {\Delta x} \right)^2}\\ y'(x)= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 3{x^2} \end{array}$

Câu a

Với $x_0=-1\Rightarrow y'(-1)=3.$

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3$ tại điểm (-1;-1) là:

$y-y_0=y'(x_0)(x-x_0)$ hay $y+1=3(x+1)\Leftrightarrow y=3x+2$

Câu b

Với $x_0=2\Rightarrow y'(2)=12$ và $y_0=f(2)=8$

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3$ tại điểm có hoành độ bằng 2 là:

$y-y_0=y'(x_0)(x-x_0)$ hay 

$y-8=12(x-2)\Leftrightarrow y=12x-16.$

Câu c

Do hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3, nên 

$f' (x_0) = 3 \Leftrightarrow 3x_0^2 = 3 \Leftrightarrow x_0^2= 1 \Leftrightarrow x_0 = \pm 1.$

Với $x_0 = 1 \Rightarrow y_0=1$

Nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là: $y-1=3(x-1)$ hay $y=3x-2.$

Với $x_0 = -1 \Rightarrow y_0=-1$

Nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là: $y+1=3(x+1)$ hay $y=3x+2.$

Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol  $y =\frac{1}{x}$:

a) Tại điểm $(\frac{1}{2} ; 2)$

b) Tại điểm có hoành độ bằng -1

c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng $- \frac{1}{4}$

Phương pháp giải

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ $x = {x_0}$ là: $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có 

$\begin{array}{l} y = \frac{1}{x}\\ \Delta y = \frac{1}{{x + \Delta x}} - \frac{1}{x} = \frac{{x - (x + \Delta x)}}{{x\left( {x + \Delta x} \right)}} = - \frac{{\Delta x}}{{{x^2} + x.\Delta x}}\\ \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = - \frac{1}{{{x^2} + x.\Delta x}}\\ y'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = - \frac{1}{{{x^2}}} \end{array}$

Câu a

Tại $x_0=\frac{1}{2}\Rightarrow y'(\frac{1}{2})=-4$

⇒ Phương trình tiếp tuyến của đường hypebol $y=\frac{1}{x}$ tại điểm $\left ( \frac{1}{2};2 \right )$ là:

$y-2=-4(x-\frac{1}{2})$ hay $y=-4x+4$

Câu b

Tại $x_0=-1\Rightarrow y_0=y(-1)=-1$ và $y'(-1)=-1$

Vậy phương trình tiếp tuyến của đường hypebol $y=\frac{1}{x}$ tại điểm có hoành độ -1 là:

$y-y_0=y'(x_0)(x-x_0)$

Hay $y+1=-1(x+1)\Leftrightarrow y=-x-2.$

Câu c

Do hệ số góc của tiếp tuyến bằng $-\frac{1}{4}$, nên

$-\frac{1}{x^2_0}=-\frac{1}{4}\Leftrightarrow x_0=\pm 2.$

Với $x_0=2\Rightarrow y_0=\frac{1}{2}.$

Vậy phương trình tiếp tuyến là:

$y-y_0=-\frac{1}{4}(x-x_0)$ hay $y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}(x-2)$

$\Leftrightarrow y=-\frac{1}{4}x+1$

Với $x_0=-2\Rightarrow y_0=-\frac{1}{2}.$

Vậy phương trình tiếp tuyến là:

$y-y_0=-\frac{1}{4}(x-x_0)$ hay $y+\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}(x+2)$

$\Leftrightarrow y=-\frac{1}{4}x-1$.

Một vật rơi tự do theo phương trình $s=\frac{1}{2}gt^2,$ trong đó g ≈ 9,8 m/s² là gia tốc trọng trường

a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t=5s) đến t + ∆t, biết rằng ∆t = 0,1s; ∆t = 0,05s; ∆t = 0,001s

b) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5s

Phương pháp giải

Vận tốc trung bình trong khoảng thời gian $t+ \Delta t$ là: ${v_{tb}} = \frac{{S(t + \Delta t) - S(t)}}{{\Delta t}}.$

Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: $s=s(t)$ tại thời điểm $t_0$ là $v(t_0)=s'(t_0).$​

Hướng dẫn giải

Câu a

Khi $\Delta t =0,1s$, vận tốc trung bình của chuyển độnh là:

 $v_{tb}= \frac{\frac{1}{2}g(5,1^2-5^2)}{0,1}=\frac{\frac{1}{2}.9,8.0,1 10,1}{0,1}=49,49m/s$

Khi $\Delta t = 0,05s$, vận tốc trung bình của chuyển động là:

$v_{tb}= \frac{\frac{1}{2}g(5,05^2-5^2)}{0,05}=49,245 m/s.$

Khi $\Delta t = 0,001s$, vận tốc trung bình của chuyển động là:

$v_{th}=\frac{\frac{1}{2}g(5,001^2-5^2)}{0,001^2}=49,005m/s$ 

Câu b

Ta có: $v_{tb}=s'(t_0)=\left ( \frac{1}{2}.g.t^2 \right )'_{t_0}=gt_0$

Với $t_0=5s\Rightarrow v_{t_0}=9,8.5=49 m/s$