Giải bài tập SGK Toán 11 Chương 5 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm

Bằng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = 7 + x - x^2$ tại $x_0 = 1$

b) $y = x^3 - 2x + 1$ tại $x_0 = 2$

Phương pháp giải

Bước 1: Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại $x_0$, tính $\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)$.

Bước 2: Lập tỉ số $\dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$.

Bước 3: Tìm $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$.

Kết luận $f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}$.

Hướng dẫn giải

Câu a

$y = 7 + x - x^2$ 

Tính y'(1)

Ta có: $\Delta y=7+(1+\Delta x)-(1+\Delta x)^2-(7+1-1^2)$

$=7+1+\Delta x-1-2\Delta x-(\Delta x)^2-7-1+1$

$=-\Delta x -(\Delta x)^2$

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=-1-\Delta x$

$y'(1)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}= \lim_{\Delta x\rightarrow 0}(-1-\Delta x)=-1$

Vậy y'(1) = -1.

Câu b

$y = x^3 - 2x + 1$

Tính y'(2)

Ta có:

$\Delta y=(2+\Delta x)^3-2(2+\Delta x)+1-(2^3-2.2.+1)$

$=2^3+12\Delta x+6(\Delta x)^2+(\Delta x)^3-4-2 \Delta x+1-5$

$=10\Delta x+6(\Delta x)^2+(\Delta x)^3$

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=10+6\Delta x+(\Delta x)^2$

$y'(2)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(10+6\Delta x+(\Delta x)^2) =10$.

Vậy y'(2) = 10.

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = x^5 - 4 x^3 + 2x - 3$

b) $y =\frac{1}{4}-\frac{1}{3}x+x^2-0,5x^4$

c) $y =\frac{x^{4}}{2}-\frac{2x^{3}}{3}+\frac{4x^{2}}{5}-1$

d) $y = 3x^5(8 - 3x^2)$

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính đạo hàm $\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}$.

Hướng dẫn giải

Câu a

$y = x^5 - 4 x^3 + 2x - 3$

$y'= (x^5 - 4 x^3 + 2x - 3)'= (x^5)' - (4 x^3)' + (2x)' - (3)'$

$= 5x^4-12x^3+2$

Câu b

$y =\frac{1}{4}-\frac{1}{3}x+x^2-0,5x^4$

$y' =\left (\frac{1}{4}-\frac{1}{3}x+x^2-0,5x^4 \right )'= (\frac{1}{4})'-(\frac{1}{3}x)'+(x^2)'-(0,5x^4)'$

$=-\frac{1}{3}+2x-2x^3$

Câu c

$y =\frac{x^{4}}{2}-\frac{2x^{3}}{3}+\frac{4x^{2}}{5}-1$

$y' =\left (\frac{x^{4}}{2}-\frac{2x^{3}}{3}+\frac{4x^{2}}{5}-1 \right )'= \left (\frac{x^{4}}{2} \right )'-\left (\frac{2x^{3}}{3} \right )'+\left (\frac{4x^{2}}{5} \right )'-(1)'$

$=\frac{4x^3}{2}-\frac{2.3x^2}{3}+\frac{8x}{5}= 2x^3-2x^2+\frac{8}{5}x.$

Câu d

 $y = 3x^5(8 - 3x^2)$

$y' = (3x^5)'(8 - 3x^2)+(3x^5)(8 - 3x^2)'$

$= 15x^4(8 - 3x^2)+3x^5(-6x)$

$=120x^4-45x^6-18x^6=120x^4-63x^3$

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = (x^7 - 5x^2)^3$

b) $y = (x^2 + 1)(5 - 3x^2)$

c) $y = \frac{2x}{x^{2}-1}$

d) $y =\frac{3-5x}{x^{2}-x+1}$

e) $y =\left ( m+\frac{n}{x^{2}} \right )^{3}$ (m, n là các hằng số)

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính đạo hàm $\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}$, đạo hàm của hàm hợp $\left[ {f\left( u \right)} \right]' = u'.f'\left( u \right)$, các quy tắc tính đạo hàm của tích và thương:

$\begin{array}{l}\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\\\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\end{array}$

Hướng dẫn giải

Câu a

Đặt $u=x^7-5x^2\Rightarrow u'_x=7x^6 -10x$

$\Rightarrow y=u^3\Rightarrow y'_u=3u^2$

$\Rightarrow y'_x=y'_u.u'_x=3(x^7-5x^2)^2.(7x^6-10)$

Vậy $\left [ (x^7-5x^2)^3 \right ]'=3(x^7-5x^2)^2(7x^6-10x).$

Câu b

$y'=\left [ (x^2+1)(5-3x^2) \right ]'$

$=(x^2+1)'.(5-3x^2)+(x^2+1).(5-3x^2)'$

$=2x(5-3x^2)+(x^2+1)(-6x)=-12x^3+4x$

Câu c

 $y'=\left ( \frac{2x}{x^2-1} \right )'= \frac{\left ( 2x \right )'.\left ( x^{2}-1 \right )-2x\left ( x^{2}-1 \right )'}{\left ( x^{2}-1 \right )^{2}}$ $=\frac{2.\left ( x^{2}-1 \right )-2x.2x}{\left ( x^{2}-1 \right )^{2}}= \frac{-2\left ( x^{2}+1 \right )}{\left ( x^{2}-1 \right )^{2}}$ 

Câu d

 $y'=\left ( \frac{3-5x}{x^2-x+1} \right )'$$= \frac{\left ( 3-5x \right )\left ( x^{2}-x+1 \right )-\left ( 3-5x \right ).\left ( x^{2}-x+1 \right )'}{\left ( x^{2}-x+1 \right )^{2}}$

 $=\frac{-5\left ( x^{2}-x+1 \right )-\left ( 3-5x \right ).\left ( 2x-1 \right )}{\left ( x^{2}-x+1 \right )^{2}} =\frac{5x^{2}-6x-2}{\left ( x^{2}-x+1 \right )^{2}}$ 

Câu e

Ta có:

$y'=\left ( \left ( m+\frac{n}{x^2} \right )^3 \right )'= 3.\left ( m+\frac{n}{x^2} \right )^2.\left ( m+\frac{n}{x^2} \right )'$

$=-\frac{6n}{x^3}.\left ( m+\frac{n}{x^2} \right )^2.$

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = x^2 - x\sqrt{x} + 1$

b) $y = \sqrt{(2 - 5x - x^2)}$

c) $y =\frac{x^{3}}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$ ( a là hằng số)

d) $y = \frac{1+x}{\sqrt{1-x}}$

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức tính đạo hàm: $\left( {{x^n}} \right)' = n.{x^{n - 1}};\,\,\left( {\sqrt x } \right)' = \dfrac{1}{{2\sqrt x }}$.

Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp, quy tắc tính đạo hàm của tích, thương.

Hướng dẫn giải

Câu a

Ta có:

$y'=(x^2-x\sqrt{x}+1)'=(x^2)'-(x\sqrt{x})'+1'=2x-\frac{3}{2}\sqrt{x}.$

Câu b

$y'=(\sqrt{2-5x-x^2})'= \frac{\left ( 2-5x-x^{2} \right )'}{2.\sqrt{2-5x-x^{2}}}=\frac{-5-2x}{2\sqrt{2-5x-x^{2}}}$.

Câu c

$y'=\left ( \frac{x^3}{\sqrt{a^2-x^2}} \right )'= \frac{(x^3)'.\sqrt{a^2-x^2}-x^3(\sqrt{a^2-x^2})'}{a^2-x^2}$

$=\frac{3x^2.\sqrt{a^2-x^2}-x^3.\frac{(a^2-x^2)'}{2\sqrt{a^2-x^2}}}{a^2-x^2}$

$=\frac{3x^2.\sqrt{a^2-x^2}+\frac{x^4}{\sqrt{a^2-x^2}}}{a^2-x^2}$

$=\frac{x^2(3a^2-2x^2)}{\sqrt{(a^2-x^2)^3}}$

Câu d

$y'=\left ( \frac{1+x}{\sqrt{1-x}} \right )'= \frac{(1+x)'\sqrt{1-x}-(1+x)(\sqrt{1-x})'}{1-x}$

$=\frac{\sqrt{1-x}-(1+x)\frac{-1}{2\sqrt{1-x}}}{1-x}= \frac{3-x}{2\sqrt{(1-x)^2}}$

Cho $y = x^3 -3x^2 + 2$. Tìm x để:

a) $y' > 0$

b) $y' < 3$

Phương pháp giải

Tính đạo hàm của hàm số và giải các bất phương trình.

Hướng dẫn giải

Câu a 

Ta có:

$\begin{array}{l} y' = \left( {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right)'\\ = \left( {{x^3}} \right)' - \left( {3{x^2}} \right)' + \left( 2 \right)'\\ = 3{x^2} - 3.2x + 0\\ = 3{x^2} - 6x \end{array}$

$\begin{array}{l} y' > 0\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x > 0\\ \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2} \right) > 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 2\\ x < 0 \end{array} \right.\\ \Rightarrow S = \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right) \end{array}$

Câu b

$\begin{array}{l} \,\,y' < 3\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x < 3\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 3 < 0\\ \Leftrightarrow 1 - \sqrt 2 < x < 1 + \sqrt 2 \\ \Rightarrow S = \left( {1 - \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right) \end{array}$